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Theorem bernneq 12398
Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
bernneq  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6298 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  0 ) )
21oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  0 ) ) )
3 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
42, 3breq12d 4415 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  0 ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ 0 ) ) )
54imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) ) ) )
6 oveq2 6298 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  k ) )
76oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  k
) ) )
8 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
k ) )
97, 8breq12d 4415 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  k ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ k
) ) )
109imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
k ) ) ) )
11 oveq2 6298 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )
1211oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
13 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) )
1412, 13breq12d 4415 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 6298 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  N ) )
1716oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  N
) ) )
18 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )
1917, 18breq12d 4415 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ N
) ) )
2019imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
21 recn 9629 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
22 mul01 9812 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
2322oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  =  ( 1  +  0 ) )
24 1p0e1 10722 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  0 )  =  1
2523, 24syl6eq 2501 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  =  1 )
26 1le1 10240 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
27 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
28 addcl 9621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  A
)  e.  CC )
2927, 28mpan 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  A )  e.  CC )
30 exp0 12276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  +  A )  e.  CC  ->  (
( 1  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
3226, 31syl5breqr 4439 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  1  <_  ( ( 1  +  A ) ^ 0 ) )
3325, 32eqbrtrd 4423 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
3421, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
3534adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ 0 ) )
36 1re 9642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
37 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
38 remulcl 9624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( A  x.  k
)  e.  RR )
3937, 38sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A  x.  k
)  e.  RR )
40 readdcl 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( A  x.  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  e.  RR )
4136, 39, 40sylancr 669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR )
42 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
43 readdcl 9622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  e.  RR )
4441, 42, 43syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  e.  RR )
4544adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  e.  RR )
46 readdcl 9622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 1  +  A
)  e.  RR )
4736, 46mpan 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  A )  e.  RR )
4847adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  A
)  e.  RR )
4941, 48remulcld 9671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  e.  RR )
5049adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) )  e.  RR )
51 reexpcl 12289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ k
)  e.  RR )
5247, 51sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ k
)  e.  RR )
5352, 48remulcld 9671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  A ) ^
k )  x.  (
1  +  A ) )  e.  RR )
5453adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( ( 1  +  A ) ^ k
)  x.  ( 1  +  A ) )  e.  RR )
55 remulcl 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  x.  A
)  e.  RR )
5655anidms 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  A )  e.  RR )
57 msqge0 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  x.  A
) )
5856, 57jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  x.  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  A ) ) )
59 nn0ge0 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
6037, 59jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  e.  RR  /\  0  <_  k ) )
61 mulge0 10132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  A ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )
)  ->  0  <_  ( ( A  x.  A
)  x.  k ) )
6258, 60, 61syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  A )  x.  k ) )
6321adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
64 nn0cn 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
6564adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
6663, 63, 65mul32d 9843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  x.  A )  x.  k
)  =  ( ( A  x.  k )  x.  A ) )
6762, 66breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  k )  x.  A ) )
68 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
6938, 68remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  RR )
7037, 69sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  RR )
7144, 70addge01d 10201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  (
( A  x.  k
)  x.  A )  <-> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k )  x.  A ) ) ) )
7267, 71mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k )  x.  A ) ) )
73 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  k
)  e.  CC )
74 addcl 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  x.  k
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  e.  CC )
7527, 73, 74sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  CC )
76 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
7773, 76mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  CC )
7875, 76, 77addassd 9665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
79 muladd11 9803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
8073, 76, 79syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
8178, 80eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8221, 64, 81syl2an 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8372, 82breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8483adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  <_  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A
) ) )
8541adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR )
8652adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  A
) ^ k )  e.  RR )
8748adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  A )  e.  RR )
88 neg1rr 10714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  RR
89 leadd2 10083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u 1  <_  A 
<->  ( 1  +  -u
1 )  <_  (
1  +  A ) ) )
9088, 36, 89mp3an13 1355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  <->  ( 1  +  -u 1 )  <_ 
( 1  +  A
) ) )
91 1pneg1e0 10718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
9291breq1i 4409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  +  -u 1
)  <_  ( 1  +  A )  <->  0  <_  ( 1  +  A ) )
9390, 92syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  <->  0  <_  ( 1  +  A ) ) )
9493biimpa 487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  0  <_  ( 1  +  A ) )
9594ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( 1  +  A
) )
96 simprr 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
k ) )
9785, 86, 87, 95, 96lemul1ad 10546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) )  <_  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
9845, 50, 54, 84, 97letrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  <_  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
99 adddi 9628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) ) )
10027, 99mp3an3 1353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) ) )
101 mulid1 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
102101adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
103102oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  A ) )
104100, 103eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  A ) )
105104oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
106 addass 9626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
10727, 106mp3an1 1351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
10873, 76, 107syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
109105, 108eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
11021, 64, 109syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
111110adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
11227, 21, 28sylancr 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  A )  e.  CC )
113 expp1 12279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A
) ^ k )  x.  ( 1  +  A ) ) )
114112, 113sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A
) ^ k )  x.  ( 1  +  A ) ) )
115114adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
11698, 111, 1153brtr4d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) )
117116exp43 617 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
k  e.  NN0  ->  (
-u 1  <_  A  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k )  ->  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
118117com12 32 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ k )  -> 
( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
119118impd 433 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k )  ->  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
120119a2d 29 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
1215, 10, 15, 20, 35, 120nn0ind 11030 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ N ) ) )
122121expd 438 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
123122com12 32 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
1241233imp 1202 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    <_ cle 9676   -ucneg 9861   NN0cn0 10869   ^cexp 12272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12214  df-exp 12273
This theorem is referenced by:  bernneq2  12399  stoweidlem1  37861  stoweidlem10  37870  stoweidlem42  37903
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