Theorem bernneq 7898

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748).

Assertion

Ref	Expression
bernneq	|- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. N)) <_ ((1 + A)^N))

Proof of Theorem bernneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (j = 0 -> (A x. j) = (A x. 0))
2	1	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = 0 -> (1 + (A x. j)) = (1 + (A x. 0)))
3		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = 0 -> ((1 + A)^j) = ((1 + A)^0))
4	2, 3	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = 0 -> ((1 + (A x. j)) <_ ((1 + A)^j) <-> (1 + (A x. 0)) <_ ((1 + A)^0)))
5	4	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = 0 -> (((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. j)) <_ ((1 + A)^j)) <-> ((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. 0)) <_ ((1 + A)^0))))
6		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (j = k -> (A x. j) = (A x. k))
7	6	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = k -> (1 + (A x. j)) = (1 + (A x. k)))
8		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = k -> ((1 + A)^j) = ((1 + A)^k))
9	7, 8	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = k -> ((1 + (A x. j)) <_ ((1 + A)^j) <-> (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k)))
10	9	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = k -> (((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. j)) <_ ((1 + A)^j)) <-> ((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))))
11		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (j = (k + 1) -> (A x. j) = (A x. (k + 1)))
12	11	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = (k + 1) -> (1 + (A x. j)) = (1 + (A x. (k + 1))))
13		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = (k + 1) -> ((1 + A)^j) = ((1 + A)^(k + 1)))
14	12, 13	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = (k + 1) -> ((1 + (A x. j)) <_ ((1 + A)^j) <-> (1 + (A x. (k + 1))) <_ ((1 + A)^(k + 1))))
15	14	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = (k + 1) -> (((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. j)) <_ ((1 + A)^j)) <-> ((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. (k + 1))) <_ ((1 + A)^(k + 1)))))
16		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (j = N -> (A x. j) = (A x. N))
17	16	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = N -> (1 + (A x. j)) = (1 + (A x. N)))
18		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = N -> ((1 + A)^j) = ((1 + A)^N))
19	17, 18	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = N -> ((1 + (A x. j)) <_ ((1 + A)^j) <-> (1 + (A x. N)) <_ ((1 + A)^N)))
20	19	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = N -> (((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. j)) <_ ((1 + A)^j)) <-> ((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. N)) <_ ((1 + A)^N))))
21		recn 6466	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> A e. CC)
22		mul01 6606	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (A x. 0) = 0)
23	22	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (1 + (A x. 0)) = (1 + 0))
24		ax1cn 6422	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
25	24	addid1i 6483	. . . . . . . . 9 |- (1 + 0) = 1
26	23, 25	syl6eq 1944	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (1 + (A x. 0)) = 1)
27		addcl 6454	. . . . . . . . . . 11 |- ((1 e. CC /\ A e. CC) -> (1 + A) e. CC)
28	24, 27	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (1 + A) e. CC)
29		exp0 7814	. . . . . . . . . 10 |- ((1 + A) e. CC -> ((1 + A)^0) = 1)
30	28, 29	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> ((1 + A)^0) = 1)
31		1re 6598	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
32	31	leidi 6790	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
33	30, 32	syl5breqr 3373	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> 1 <_ ((1 + A)^0))
34	26, 33	eqbrtrd 3357	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (1 + (A x. 0)) <_ ((1 + A)^0))
35	21, 34	syl 12	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (1 + (A x. 0)) <_ ((1 + A)^0))
36	35	adantr 425	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. 0)) <_ ((1 + A)^0))
37		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((1 e. RR /\ (A x. k) e. RR) -> (1 + (A x. k)) e. RR)
38		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ k e. RR) -> (A x. k) e. RR)
39		nn0re 7317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN0 -> k e. RR)
40	38, 39	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A x. k) e. RR)
41	37, 31, 40	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (1 + (A x. k)) e. RR)
42		simpl 346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> A e. RR)
43		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((1 + (A x. k)) e. RR /\ A e. RR) -> ((1 + (A x. k)) + A) e. RR)
44	41, 42, 43	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((1 + (A x. k)) + A) e. RR)
45	44	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> ((1 + (A x. k)) + A) e. RR)
46		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((1 e. RR /\ A e. RR) -> (1 + A) e. RR)
47	31, 46	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. RR -> (1 + A) e. RR)
48	47	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (1 + A) e. RR)
49		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((1 + (A x. k)) e. RR /\ (1 + A) e. RR) -> ((1 + (A x. k)) x. (1 + A)) e. RR)
50	41, 48, 49	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((1 + (A x. k)) x. (1 + A)) e. RR)
51	50	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> ((1 + (A x. k)) x. (1 + A)) e. RR)
52		reexpcl 7823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((1 + A) e. RR /\ k e. NN0) -> ((1 + A)^k) e. RR)
53	52, 47	sylan 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((1 + A)^k) e. RR)
54		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((1 + A)^k) e. RR /\ (1 + A) e. RR) -> (((1 + A)^k) x. (1 + A)) e. RR)
55	53, 48, 54	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (((1 + A)^k) x. (1 + A)) e. RR)
56	55	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> (((1 + A)^k) x. (1 + A)) e. RR)
57		mulge0 6868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((A x. A) e. RR /\ 0 <_ (A x. A)) /\ (k e. RR /\ 0 <_ k)) -> 0 <_ ((A x. A) x. k))
58		axmulrcl 6427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. RR /\ A e. RR) -> (A x. A) e. RR)
59	58	anidms 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. RR -> (A x. A) e. RR)
60		msqge0 6798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. RR -> 0 <_ (A x. A))
61	59, 60	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. RR -> ((A x. A) e. RR /\ 0 <_ (A x. A)))
62		nn0ge0 7326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k e. NN0 -> 0 <_ k)
63	39, 62	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN0 -> (k e. RR /\ 0 <_ k))
64	57, 61, 63	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> 0 <_ ((A x. A) x. k))
65	21	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> A e. CC)
66		nn0cn 7318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k e. NN0 -> k e. CC)
67	66	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> k e. CC)
68		mul23 6580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ A e. CC /\ k e. CC) -> ((A x. A) x. k) = ((A x. k) x. A))
69	65, 65, 67, 68	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((A x. A) x. k) = ((A x. k) x. A))
70	64, 69	breqtrd 3361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> 0 <_ ((A x. k) x. A))
71		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. RR /\ k e. RR) -> A e. RR)
72		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A x. k) e. RR /\ A e. RR) -> ((A x. k) x. A) e. RR)
73	38, 71, 72	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. RR /\ k e. RR) -> ((A x. k) x. A) e. RR)
74	73, 39	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((A x. k) x. A) e. RR)
75		addge01 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((1 + (A x. k)) + A) e. RR /\ ((A x. k) x. A) e. RR) -> (0 <_ ((A x. k) x. A) <-> ((1 + (A x. k)) + A) <_ (((1 + (A x. k)) + A) + ((A x. k) x. A))))
76	44, 74, 75	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (0 <_ ((A x. k) x. A) <-> ((1 + (A x. k)) + A) <_ (((1 + (A x. k)) + A) + ((A x. k) x. A))))
77	70, 76	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((1 + (A x. k)) + A) <_ (((1 + (A x. k)) + A) + ((A x. k) x. A)))
78		addcl 6454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((1 e. CC /\ (A x. k) e. CC) -> (1 + (A x. k)) e. CC)
79		mulcl 6456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> (A x. k) e. CC)
80	78, 24, 79	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> (1 + (A x. k)) e. CC)
81		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> A e. CC)
82		mulcl 6456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A x. k) e. CC /\ A e. CC) -> ((A x. k) x. A) e. CC)
83	79, 81, 82	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> ((A x. k) x. A) e. CC)
84		addass 6460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((1 + (A x. k)) e. CC /\ A e. CC /\ ((A x. k) x. A) e. CC) -> (((1 + (A x. k)) + A) + ((A x. k) x. A)) = ((1 + (A x. k)) + (A + ((A x. k) x. A))))
85	80, 81, 83, 84	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> (((1 + (A x. k)) + A) + ((A x. k) x. A)) = ((1 + (A x. k)) + (A + ((A x. k) x. A))))
86		muladd11 6584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A x. k) e. CC /\ A e. CC) -> ((1 + (A x. k)) x. (1 + A)) = ((1 + (A x. k)) + (A + ((A x. k) x. A))))
87	79, 81, 86	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> ((1 + (A x. k)) x. (1 + A)) = ((1 + (A x. k)) + (A + ((A x. k) x. A))))
88	85, 87	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> (((1 + (A x. k)) + A) + ((A x. k) x. A)) = ((1 + (A x. k)) x. (1 + A)))
89	88, 21, 66	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (((1 + (A x. k)) + A) + ((A x. k) x. A)) = ((1 + (A x. k)) x. (1 + A)))
90	77, 89	breqtrd 3361	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((1 + (A x. k)) + A) <_ ((1 + (A x. k)) x. (1 + A)))
91	90	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> ((1 + (A x. k)) + A) <_ ((1 + (A x. k)) x. (1 + A)))
92	41	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> (1 + (A x. k)) e. RR)
93	53	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> ((1 + A)^k) e. RR)
94	48	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> (1 + A) e. RR)
95	31	renegcli 6576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -u1 e. RR
96		leadd2 6809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-u1 e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR) -> (-u1 <_ A <-> (1 + -u1) <_ (1 + A)))
97	95, 31, 96	mp3an13 1182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. RR -> (-u1 <_ A <-> (1 + -u1) <_ (1 + A)))
98	24	negidi 6537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (1 + -u1) = 0
99	98	breq1i 3345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((1 + -u1) <_ (1 + A) <-> 0 <_ (1 + A))
100	97, 99	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. RR -> (-u1 <_ A <-> 0 <_ (1 + A)))
101	100	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> 0 <_ (1 + A))
102	101	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> 0 <_ (1 + A))
103	94, 102	jca 310	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> ((1 + A) e. RR /\ 0 <_ (1 + A)))
104		simprr 451	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))
105		lemul1a 7019	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((1 + (A x. k)) e. RR /\ ((1 + A)^k) e. RR /\ ((1 + A) e. RR /\ 0 <_ (1 + A))) /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k)) -> ((1 + (A x. k)) x. (1 + A)) <_ (((1 + A)^k) x. (1 + A)))
106	92, 93, 103, 104, 105	syl31anc 1103	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> ((1 + (A x. k)) x. (1 + A)) <_ (((1 + A)^k) x. (1 + A)))
107	45, 51, 56, 91, 106	letrd 6696	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> ((1 + (A x. k)) + A) <_ (((1 + A)^k) x. (1 + A)))
108		adddi 6462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC) -> (A x. (k + 1)) = ((A x. k) + (A x. 1)))
109	24, 108	mp3an3 1180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> (A x. (k + 1)) = ((A x. k) + (A x. 1)))
110		ax1id 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
111	110	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> (A x. 1) = A)
112	111	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> ((A x. k) + (A x. 1)) = ((A x. k) + A))
113	109, 112	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> (A x. (k + 1)) = ((A x. k) + A))
114	113	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> (1 + (A x. (k + 1))) = (1 + ((A x. k) + A)))
115		addass 6460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((1 e. CC /\ (A x. k) e. CC /\ A e. CC) -> ((1 + (A x. k)) + A) = (1 + ((A x. k) + A)))
116	24, 115	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A x. k) e. CC /\ A e. CC) -> ((1 + (A x. k)) + A) = (1 + ((A x. k) + A)))
117	79, 81, 116	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> ((1 + (A x. k)) + A) = (1 + ((A x. k) + A)))
118	114, 117	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ k e. CC) -> (1 + (A x. (k + 1))) = ((1 + (A x. k)) + A))
119	118, 21, 66	syl2an 503	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (1 + (A x. (k + 1))) = ((1 + (A x. k)) + A))
120	119	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> (1 + (A x. (k + 1))) = ((1 + (A x. k)) + A))
121		expp1 7817	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 + A) e. CC /\ k e. NN0) -> ((1 + A)^(k + 1)) = (((1 + A)^k) x. (1 + A)))
122	27, 24, 21	sylancr 526	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. RR -> (1 + A) e. CC)
123	121, 122	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((1 + A)^(k + 1)) = (((1 + A)^k) x. (1 + A)))
124	123	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> ((1 + A)^(k + 1)) = (((1 + A)^k) x. (1 + A)))
125	107, 120, 124	3brtr4d 3367	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ (-u1 <_ A /\ (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k))) -> (1 + (A x. (k + 1))) <_ ((1 + A)^(k + 1)))
126	125	exp43 415	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (k e. NN0 -> (-u1 <_ A -> ((1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k) -> (1 + (A x. (k + 1))) <_ ((1 + A)^(k + 1))))))
127	126	com12 14	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (A e. RR -> (-u1 <_ A -> ((1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k) -> (1 + (A x. (k + 1))) <_ ((1 + A)^(k + 1))))))
128	127	imp3a 388	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> ((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> ((1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k) -> (1 + (A x. (k + 1))) <_ ((1 + A)^(k + 1)))))
129	128	a2d 16	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. k)) <_ ((1 + A)^k)) -> ((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. (k + 1))) <_ ((1 + A)^(k + 1)))))
130	5, 10, 15, 20, 36, 129	nn0ind 7424	. . . 4 |- (N e. NN0 -> ((A e. RR /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. N)) <_ ((1 + A)^N)))
131	130	exp3a 405	. . 3 |- (N e. NN0 -> (A e. RR -> (-u1 <_ A -> (1 + (A x. N)) <_ ((1 + A)^N))))
132	131	com12 14	. 2 |- (A e. RR -> (N e. NN0 -> (-u1 <_ A -> (1 + (A x. N)) <_ ((1 + A)^N))))
133	132	3imp 1061	1 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ -u1 <_ A) -> (1 + (A x. N)) <_ ((1 + A)^N))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391  -ucneg 6446   <_ cle 6448  NN0cn0 6450  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  bernneq2 7900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain