HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bdophsi Structured version   Unicode version

Theorem bdophsi 26838
Description: The sum of two bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1  |-  S  e.  BndLinOp
nmoptri.2  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
bdophsi  |-  ( S 
+op  T )  e.  BndLinOp

Proof of Theorem bdophsi
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . 4  |-  S  e.  BndLinOp
2 bdopln 26603 . . . 4  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  LinOp )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  S  e. 
LinOp
4 nmoptri.2 . . . 4  |-  T  e.  BndLinOp
5 bdopln 26603 . . . 4  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  LinOp )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
73, 6lnophsi 26743 . 2  |-  ( S 
+op  T )  e. 
LinOp
8 bdopf 26604 . . . . . 6  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
91, 8ax-mp 5 . . . . 5  |-  S : ~H
--> ~H
10 bdopf 26604 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
114, 10ax-mp 5 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
129, 11hoaddcli 26510 . . . 4  |-  ( S 
+op  T ) : ~H --> ~H
13 nmopxr 26608 . . . 4  |-  ( ( S  +op  T ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( S  +op  T ) )  e.  RR* )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  ( normop `  ( S  +op  T
) )  e.  RR*
15 nmopre 26612 . . . . 5  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  S
)  e.  RR )
161, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  ( normop `  S )  e.  RR
17 nmopre 26612 . . . . 5  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
184, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  ( normop `  T )  e.  RR
1916, 18readdcli 9621 . . 3  |-  ( (
normop `  S )  +  ( normop `  T )
)  e.  RR
20 nmopgtmnf 26610 . . . 4  |-  ( ( S  +op  T ) : ~H --> ~H  -> -oo 
<  ( normop `  ( S  +op  T ) ) )
2112, 20ax-mp 5 . . 3  |- -oo  <  (
normop `  ( S  +op  T ) )
221, 4nmoptrii 26836 . . 3  |-  ( normop `  ( S  +op  T
) )  <_  (
( normop `  S )  +  ( normop `  T
) )
23 xrre 11382 . . 3  |-  ( ( ( ( normop `  ( S  +op  T ) )  e.  RR*  /\  (
( normop `  S )  +  ( normop `  T
) )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  (
normop `  ( S  +op  T ) )  /\  ( normop `  ( S  +op  T
) )  <_  (
( normop `  S )  +  ( normop `  T
) ) ) )  ->  ( normop `  ( S  +op  T ) )  e.  RR )
2414, 19, 21, 22, 23mp4an 673 . 2  |-  ( normop `  ( S  +op  T
) )  e.  RR
25 elbdop2 26613 . 2  |-  ( ( S  +op  T )  e.  BndLinOp 
<->  ( ( S  +op  T )  e.  LinOp  /\  ( normop `  ( S  +op  T
) )  e.  RR ) )
267, 24, 25mpbir2an 918 1  |-  ( S 
+op  T )  e.  BndLinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503    + caddc 9507   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   ~Hchil 25659    +op chos 25678   normopcnop 25685   LinOpclo 25687   BndLinOpcbo 25688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvmulass 25747  ax-hvdistr1 25748  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750  ax-hfi 25819  ax-his1 25822  ax-his2 25823  ax-his3 25824  ax-his4 25825
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ablo 25107  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-nmcv 25316  df-hnorm 25708  df-hba 25709  df-hvsub 25711  df-hosum 26472  df-nmop 26581  df-lnop 26583  df-bdop 26584
This theorem is referenced by:  bdophdi  26839  nmoptri2i  26841  unierri  26846
  Copyright terms: Public domain W3C validator