HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bdophsi Structured version   Unicode version

Theorem bdophsi 25522
Description: The sum of two bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1  |-  S  e.  BndLinOp
nmoptri.2  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
bdophsi  |-  ( S 
+op  T )  e.  BndLinOp

Proof of Theorem bdophsi
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . 4  |-  S  e.  BndLinOp
2 bdopln 25287 . . . 4  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  LinOp )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  S  e. 
LinOp
4 nmoptri.2 . . . 4  |-  T  e.  BndLinOp
5 bdopln 25287 . . . 4  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  LinOp )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
73, 6lnophsi 25427 . 2  |-  ( S 
+op  T )  e. 
LinOp
8 bdopf 25288 . . . . . 6  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
91, 8ax-mp 5 . . . . 5  |-  S : ~H
--> ~H
10 bdopf 25288 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
114, 10ax-mp 5 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
129, 11hoaddcli 25194 . . . 4  |-  ( S 
+op  T ) : ~H --> ~H
13 nmopxr 25292 . . . 4  |-  ( ( S  +op  T ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( S  +op  T ) )  e.  RR* )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  ( normop `  ( S  +op  T
) )  e.  RR*
15 nmopre 25296 . . . . 5  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  S
)  e.  RR )
161, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  ( normop `  S )  e.  RR
17 nmopre 25296 . . . . 5  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
184, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  ( normop `  T )  e.  RR
1916, 18readdcli 9420 . . 3  |-  ( (
normop `  S )  +  ( normop `  T )
)  e.  RR
20 nmopgtmnf 25294 . . . 4  |-  ( ( S  +op  T ) : ~H --> ~H  -> -oo 
<  ( normop `  ( S  +op  T ) ) )
2112, 20ax-mp 5 . . 3  |- -oo  <  (
normop `  ( S  +op  T ) )
221, 4nmoptrii 25520 . . 3  |-  ( normop `  ( S  +op  T
) )  <_  (
( normop `  S )  +  ( normop `  T
) )
23 xrre 11162 . . 3  |-  ( ( ( ( normop `  ( S  +op  T ) )  e.  RR*  /\  (
( normop `  S )  +  ( normop `  T
) )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  (
normop `  ( S  +op  T ) )  /\  ( normop `  ( S  +op  T
) )  <_  (
( normop `  S )  +  ( normop `  T
) ) ) )  ->  ( normop `  ( S  +op  T ) )  e.  RR )
2414, 19, 21, 22, 23mp4an 673 . 2  |-  ( normop `  ( S  +op  T
) )  e.  RR
25 elbdop2 25297 . 2  |-  ( ( S  +op  T )  e.  BndLinOp 
<->  ( ( S  +op  T )  e.  LinOp  /\  ( normop `  ( S  +op  T
) )  e.  RR ) )
267, 24, 25mpbir2an 911 1  |-  ( S 
+op  T )  e.  BndLinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   class class class wbr 4313   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302    + caddc 9306   -oocmnf 9437   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440   ~Hchil 24343    +op chos 24362   normopcnop 24369   LinOpclo 24371   BndLinOpcbo 24372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-hilex 24423  ax-hfvadd 24424  ax-hvcom 24425  ax-hvass 24426  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430  ax-hvmulass 24431  ax-hvdistr1 24432  ax-hvdistr2 24433  ax-hvmul0 24434  ax-hfi 24503  ax-his1 24506  ax-his2 24507  ax-his3 24508  ax-his4 24509
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ablo 23791  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-nmcv 24000  df-hnorm 24392  df-hba 24393  df-hvsub 24395  df-hosum 25156  df-nmop 25265  df-lnop 25267  df-bdop 25268
This theorem is referenced by:  bdophdi  25523  nmoptri2i  25525  unierri  25530
  Copyright terms: Public domain W3C validator