HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bdophdi Structured version   Unicode version

Theorem bdophdi 25436
Description: The difference between two bounded linear operators is bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1  |-  S  e.  BndLinOp
nmoptri.2  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
bdophdi  |-  ( S  -op  T )  e.  BndLinOp

Proof of Theorem bdophdi
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . 4  |-  S  e.  BndLinOp
2 bdopf 25201 . . . 4  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  S : ~H
--> ~H
4 nmoptri.2 . . . 4  |-  T  e.  BndLinOp
5 bdopf 25201 . . . 4  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
73, 6honegsubi 25135 . 2  |-  ( S 
+op  ( -u 1  .op  T ) )  =  ( S  -op  T
)
8 neg1cn 10421 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
94bdophmi 25371 . . . 4  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1  .op  T
)  e.  BndLinOp )
108, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ( -u
1  .op  T )  e. 
BndLinOp
111, 10bdophsi 25435 . 2  |-  ( S 
+op  ( -u 1  .op  T ) )  e.  BndLinOp
127, 11eqeltrri 2512 1  |-  ( S  -op  T )  e.  BndLinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1761   -->wf 5411  (class class class)co 6090   CCcc 9276   1c1 9279   -ucneg 9592   ~Hchil 24256    +op chos 24275    .op chot 24276    -op chod 24277   BndLinOpcbo 24285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-hilex 24336  ax-hfvadd 24337  ax-hvcom 24338  ax-hvass 24339  ax-hv0cl 24340  ax-hvaddid 24341  ax-hfvmul 24342  ax-hvmulid 24343  ax-hvmulass 24344  ax-hvdistr1 24345  ax-hvdistr2 24346  ax-hvmul0 24347  ax-hfi 24416  ax-his1 24419  ax-his2 24420  ax-his3 24421  ax-his4 24422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-grpo 23613  df-gid 23614  df-ablo 23704  df-vc 23859  df-nv 23905  df-va 23908  df-ba 23909  df-sm 23910  df-0v 23911  df-nmcv 23913  df-hnorm 24305  df-hba 24306  df-hvsub 24308  df-hosum 25069  df-homul 25070  df-hodif 25071  df-nmop 25178  df-lnop 25180  df-bdop 25181
This theorem is referenced by:  unierri  25443
  Copyright terms: Public domain W3C validator