Theorem bddnghm 20423

Description: A bounded group homomorphism is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	|- N = ( S normOp T )

Assertion

Ref	Expression
bddnghm	|- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( A e. RR /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )

Proof of Theorem bddnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . . 5 |- N = ( S normOp T )
2	1	nmocl 20417	. . . 4 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( N ` F ) e. RR* )
3	1	nmoge0 20418	. . . 4 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> 0 <_ ( N ` F ) )
4	2, 3	jca 532	. . 3 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( ( N ` F ) e. RR* /\ 0 <_ ( N ` F ) ) )
5		xrrege0 11249	. . . 4 |- ( ( ( ( N ` F ) e. RR* /\ A e. RR ) /\ ( 0 <_ ( N ` F ) /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> ( N ` F ) e. RR )
6	5	an4s 822	. . 3 |- ( ( ( ( N ` F ) e. RR* /\ 0 <_ ( N ` F ) ) /\ ( A e. RR /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> ( N ` F ) e. RR )
7	4, 6	sylan 471	. 2 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( A e. RR /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> ( N ` F ) e. RR )
8	1	isnghm2 20421	. . 3 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F e. ( S NGHom T ) <-> ( N ` F ) e. RR ) )
9	8	adantr 465	. 2 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( A e. RR /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> ( F e. ( S NGHom T ) <-> ( N ` F ) e. RR ) )
10	7, 9	mpbird 232	1 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( A e. RR /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   RR*cxr 9520   <_ cle 9522   GrpHom cghm 15848  NrmGrpcngp 20288   normOpcnmo 20402   NGHom cnghm 20403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-ico 11409  df-nmo 20405  df-nghm 20406

This theorem is referenced by:  nghmco  20435  nghmplusg  20437  nmhmcn  20793