MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bddnghm Structured version   Unicode version

Theorem bddnghm 20423
Description: A bounded group homomorphism is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
Assertion
Ref Expression
bddnghm  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  ( N `
 F )  <_  A ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )

Proof of Theorem bddnghm
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . . 5  |-  N  =  ( S normOp T )
21nmocl 20417 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
31nmoge0 20418 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
42, 3jca 532 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( N `  F ) ) )
5 xrrege0 11249 . . . 4  |-  ( ( ( ( N `  F )  e.  RR*  /\  A  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( N `  F
)  /\  ( N `  F )  <_  A
) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
65an4s 822 . . 3  |-  ( ( ( ( N `  F )  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  F ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  ( N `  F
)  <_  A )
)  ->  ( N `  F )  e.  RR )
74, 6sylan 471 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  ( N `
 F )  <_  A ) )  -> 
( N `  F
)  e.  RR )
81isnghm2 20421 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( S NGHom  T )  <-> 
( N `  F
)  e.  RR ) )
98adantr 465 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  ( N `
 F )  <_  A ) )  -> 
( F  e.  ( S NGHom  T )  <->  ( N `  F )  e.  RR ) )
107, 9mpbird 232 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  ( N `
 F )  <_  A ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   RR*cxr 9520    <_ cle 9522    GrpHom cghm 15848  NrmGrpcngp 20288   normOpcnmo 20402   NGHom cnghm 20403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-ico 11409  df-nmo 20405  df-nghm 20406
This theorem is referenced by:  nghmco  20435  nghmplusg  20437  nmhmcn  20793
  Copyright terms: Public domain W3C validator