Theorem bddnghm 21399

Description: A bounded group homomorphism is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	|- N = ( S normOp T )

Assertion

Ref	Expression
bddnghm	|- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( A e. RR /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )

Proof of Theorem bddnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . . 5 |- N = ( S normOp T )
2	1	nmocl 21393	. . . 4 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( N ` F ) e. RR* )
3	1	nmoge0 21394	. . . 4 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> 0 <_ ( N ` F ) )
4	2, 3	jca 530	. . 3 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( ( N ` F ) e. RR* /\ 0 <_ ( N ` F ) ) )
5		xrrege0 11378	. . . 4 |- ( ( ( ( N ` F ) e. RR* /\ A e. RR ) /\ ( 0 <_ ( N ` F ) /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> ( N ` F ) e. RR )
6	5	an4s 824	. . 3 |- ( ( ( ( N ` F ) e. RR* /\ 0 <_ ( N ` F ) ) /\ ( A e. RR /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> ( N ` F ) e. RR )
7	4, 6	sylan 469	. 2 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( A e. RR /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> ( N ` F ) e. RR )
8	1	isnghm2 21397	. . 3 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F e. ( S NGHom T ) <-> ( N ` F ) e. RR ) )
9	8	adantr 463	. 2 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( A e. RR /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> ( F e. ( S NGHom T ) <-> ( N ` F ) e. RR ) )
10	7, 9	mpbird 232	1 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( A e. RR /\ ( N ` F ) <_ A ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   RR*cxr 9616   <_ cle 9618   GrpHom cghm 16463  NrmGrpcngp 21264   normOpcnmo 21378   NGHom cnghm 21379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-ico 11538  df-nmo 21381  df-nghm 21382

This theorem is referenced by:  nghmco  21411  nghmplusg  21413  nmhmcn  21769