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Theorem bddmulibl 22411
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl |- ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 /\ E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> ( F oF x. G ) e. L^1 )
Distinct variable groups:   x, y, F   x, G, y
Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 22200 . . . . . . 7 |- ( F e. MblFn -> F : dom F --> CC )
21ad2antrr 723 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> F : dom F --> CC )
3 ffn 5713 . . . . . 6 |- ( F : dom F --> CC -> F Fn dom F )
42, 3syl 16 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> F Fn dom F )
5 iblmbf 22340 . . . . . . . 8 |- ( G e. L^1 -> G e. MblFn )
65ad2antlr 724 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G e. MblFn )
7 mbff 22200 . . . . . . 7 |- ( G e. MblFn -> G : dom G --> CC )
86, 7syl 16 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G : dom G --> CC )
9 ffn 5713 . . . . . 6 |- ( G : dom G --> CC -> G Fn dom G )
108, 9syl 16 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G Fn dom G )
11 mbfdm 22201 . . . . . 6 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )
1211ad2antrr 723 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> dom F e. dom vol )
13 mbfdm 22201 . . . . . 6 |- ( G e. MblFn -> dom G e. dom vol )
146, 13syl 16 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> dom G e. dom vol )
15 eqid 2454 . . . . 5 |- ( dom F i^i dom G ) = ( dom F i^i dom G )
16 eqidd 2455 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
17 eqidd 2455 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
184, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6520 . . . 4 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( F oF x. G ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
19 ovex 6298 . . . . . 6 |- ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. _V
2019a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. _V )
21 simpll 751 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> F e. MblFn )
2221, 6mbfmul 22299 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( F oF x. G ) e. MblFn )
2318, 22eqeltrrd 2543 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. MblFn )
2423, 20mbfmptcl 22210 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
25 eqidd 2455 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
26 absf 13252 . . . . . . . . . 10 |- abs : CC --> RR
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> abs : CC --> RR )
2827feqmptd 5901 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> abs = ( y e. CC |-> ( abs ` y ) ) )
29 fveq2 5848 . . . . . . . 8 |- ( y = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) -> ( abs ` y ) = ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
3024, 25, 28, 29fmptco 6040 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( abs o. ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) )
31 eqid 2454 . . . . . . . . 9 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
3224, 31fmptd 6031 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC )
33 ax-resscn 9538 . . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
34 ssid 3508 . . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
35 cncfss 21569 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC ) )
3633, 34, 35mp2an 670 . . . . . . . . . 10 |- ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC )
37 abscncf 21571 . . . . . . . . . 10 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
3836, 37sselii 3486 . . . . . . . . 9 |- abs e. ( CC -cn-> CC )
3938a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> abs e. ( CC -cn-> CC ) )
40 cncombf 22231 . . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. MblFn /\ ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ abs e. ( CC -cn-> CC ) ) -> ( abs o. ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn )
4123, 32, 39, 40syl3anc 1226 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( abs o. ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn )
4230, 41eqeltrrd 2543 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn )
4324abscld 13349 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. RR )
4443rexrd 9632 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. RR* )
4524absge0d 13357 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
46 elxrge0 11632 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) )
4744, 45, 46sylanbrc 662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
48 0e0iccpnf 11634 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
5047, 49ifclda 3961 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
5150adantr 463 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52 eqid 2454 . . . . . . . 8 |- ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
5351, 52fmptd 6031 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
54 reex 9572 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> RR e. _V )
56 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> x e. RR )
5756ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) /\ z e. RR ) -> x e. RR )
58 elin 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) <-> ( z e. dom F /\ z e. dom G ) )
5958simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom G )
60 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G : dom G --> CC /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) e. CC )
618, 59, 60syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
6261abscld 13349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
6361absge0d 13357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) )
64 elrege0 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
6562, 63, 64sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
66 0e0icopnf 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
6865, 67ifclda 3961 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
6968ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
70 fconstmpt 5032 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR X. { x } ) = ( z e. RR |-> x )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( RR X. { x } ) = ( z e. RR |-> x ) )
72 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) )
7355, 57, 69, 71, 72offval2 6529 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( z e. RR |-> ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) )
74 ovif2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , ( x x. 0 ) )
7556recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> x e. CC )
7675adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> x e. CC )
7776mul01d 9768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( x x. 0 ) = 0 )
7877ifeq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , ( x x. 0 ) ) = if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
7974, 78syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
8079mpteq2dv 4526 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( z e. RR |-> ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
8173, 80eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
8281fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) = ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) )
8368adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
84 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) )
8583, 84fmptd 6031 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
8685adantr 463 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
87 inss2 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dom F i^i dom G ) C_ dom G
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( dom F i^i dom G ) C_ dom G )
8923, 20mbfdm2 22211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( dom F i^i dom G ) e. dom vol )
908ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) e. CC )
918feqmptd 5901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G = ( z e. dom G |-> ( G ` z ) ) )
92 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G e. L^1 )
9391, 92eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. dom G |-> ( G ` z ) ) e. L^1 )
9488, 89, 90, 93iblss 22377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( G ` z ) ) e. L^1 )
9561, 94iblabs 22401 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. L^1 )
9662, 63iblpos 22365 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. L^1 <-> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
9795, 96mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
9897simprd 461 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
9998adantr 463 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
100 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> x e. RR )
101 neq0 3794 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( dom F i^i dom G ) = (/) <-> E. z z e. ( dom F i^i dom G ) )
102 0re 9585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 e. RR )
10458simplbi 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom F )
105 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : dom F --> CC /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. CC )
1062, 104, 105syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
107106abscld 13349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR )
108 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> x e. RR )
109106absge0d 13357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
110 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
111 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
112111fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = z -> ( abs ` ( F ` y ) ) = ( abs ` ( F ` z ) ) )
113112breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = z -> ( ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x ) )
114113rspccva 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x /\ z e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x )
115110, 104, 114syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x )
116103, 107, 108, 109, 115letrd 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ x )
117116ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> 0 <_ x ) )
118117exlimdv 1729 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( E. z z e. ( dom F i^i dom G ) -> 0 <_ x ) )
119101, 118syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( -. ( dom F i^i dom G ) = (/) -> 0 <_ x ) )
120119imp 427 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> 0 <_ x )
121 elrege0 11630 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
122100, 120, 121sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
12386, 99, 122itg2mulc 22320 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) = ( x x. ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) )
12482, 123eqtr3d 2497 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) = ( x x. ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) )
125100, 99remulcld 9613 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( x x. ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
126124, 125eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
127126ex 432 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( -. ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
128 noel 3787 . . . . . . . . . . . . . 14 |- -. z e. (/)
129 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) <-> z e. (/) ) )
130128, 129mtbiri 301 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. z e. ( dom F i^i dom G ) )
131 iffalse 3938 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = 0 )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = 0 )
133132mpteq2dv 4526 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> 0 ) )
134 fconstmpt 5032 . . . . . . . . . . 11 |- ( RR X. { 0 } ) = ( z e. RR |-> 0 )
135133, 134syl6eqr 2513 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( RR X. { 0 } ) )
136135fveq2d 5852 . . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) )
137 itg20 22310 . . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) = 0
138137, 102eqeltri 2538 . . . . . . . . 9 |- ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) e. RR
139136, 138syl6eqel 2550 . . . . . . . 8 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
140127, 139pm2.61d2 160 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
141108, 62remulcld 9613 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. RR )
142141rexrd 9632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. RR* )
143108, 62, 116, 63mulge0d 10125 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
144 elxrge0 11632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) ) )
145142, 143, 144sylanbrc 662 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
146145, 49ifclda 3961 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
147146adantr 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
148 eqid 2454 . . . . . . . . 9 |- ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
149147, 148fmptd 6031 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
150106, 61absmuld 13367 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
151 abscl 13193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` z ) e. CC -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
152 absge0 13202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` z ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) )
153151, 152jca 530 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G ` z ) e. CC -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
15461, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
155 lemul1a 10392 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR /\ x e. RR /\ ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
156107, 108, 154, 115, 155syl31anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
157150, 156eqbrtrd 4459 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
158 iftrue 3935 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
159158adantl 464 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
160 iftrue 3935 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
161160adantl 464 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
162157, 159, 1613brtr4d 4469 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
163 0le0 10621 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 0
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> 0 <_ 0 )
165 iffalse 3938 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) = 0 )
166164, 165, 1313brtr4d 4469 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
167166adantl 464 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
168162, 167pm2.61dan 789 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
169168ralrimivw 2869 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> A. z e. RR if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
17054a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> RR e. _V )
171 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
172 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
173170, 51, 147, 171, 172ofrfval2 6530 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) <-> A. z e. RR if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
174169, 173mpbird 232 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
175 itg2le 22312 . . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) )
17653, 149, 174, 175syl3anc 1226 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) )
177 itg2lecl 22311 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
17853, 140, 176, 177syl3anc 1226 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
17943, 45iblpos 22365 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
18042, 178, 179mpbir2and 920 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. L^1 )
18120, 23, 180iblabsr 22402 . . . 4 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. L^1 )
18218, 181eqeltrd 2542 . . 3 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( F oF x. G ) e. L^1 )
183182rexlimdvaa 2947 . 2 |- ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) -> ( E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x -> ( F oF x. G ) e. L^1 ) )
1841833impia 1191 1 |- ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 /\ E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> ( F oF x. G ) e. L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   {csn 4016   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   X. cxp 4986   dom cdm 4988   o. ccom 4992   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   oFcof 6511   oRcofr 6512   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   x. cmul 9486   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616   <_ cle 9618   [,)cico 11534   [,]cicc 11535   abscabs 13149   -cn->ccncf 21546   volcvol 22041  MblFncmbf 22189   S.2citg2 22191   L^1cibl 22192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-ovol 22042  df-vol 22043  df-mbf 22194  df-itg1 22195  df-itg2 22196  df-ibl 22197  df-0p 22243
This theorem is referenced by:  bddibl  22412  itgsubstlem  22615  fourierdlem16  32144  fourierdlem21  32149  fourierdlem22  32150  fourierdlem83  32211
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