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Theorem bddmulibl 22875
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y

Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 22662 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
21ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F : dom  F --> CC )
3 ffn 5739 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F  Fn  dom  F )
5 iblmbf 22804 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  L^1  ->  G  e. MblFn )
65ad2antlr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  e. MblFn )
7 mbff 22662 . . . . . . 7  |-  ( G  e. MblFn  ->  G : dom  G --> CC )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G : dom  G --> CC )
9 ffn 5739 . . . . . 6  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
108, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  Fn  dom  G )
11 mbfdm 22663 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1211ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
13 mbfdm 22663 . . . . . 6  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
146, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  dom  G  e. 
dom  vol )
15 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
16 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
17 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
184, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6557 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
19 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  e. 
_V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  _V )
21 simpll 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F  e. MblFn )
2221, 6mbfmul 22763 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  e. MblFn )
2318, 22eqeltrrd 2550 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e. MblFn )
2423, 20mbfmptcl 22672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  CC )
25 eqidd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) )
26 absf 13477 . . . . . . . . . 10  |-  abs : CC
--> RR
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs : CC --> RR )
2827feqmptd 5932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs  =  ( y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
29 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
3024, 25, 28, 29fmptco 6072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ) )
31 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )
3224, 31fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> CC )
33 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
34 ssid 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
35 cncfss 22009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
3633, 34, 35mp2an 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
37 abscncf 22011 . . . . . . . . . 10  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
3836, 37sselii 3415 . . . . . . . . 9  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )
40 cncombf 22693 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. MblFn  /\  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) : ( dom  F  i^i  dom 
G ) --> CC  /\  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) )  e. MblFn )
4123, 32, 39, 40syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) )  e. MblFn )
4230, 41eqeltrrd 2550 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e. MblFn
)
4324abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e.  RR )
4443rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. 
RR* )
4524absge0d 13583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
46 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ) )
4744, 45, 46sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
48 0e0iccpnf 11769 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5047, 49ifclda 3904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5150adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
52 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )
5351, 52fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
54 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  RR  e.  _V )
56 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  x  e.  RR )
5756ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  /\  z  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
58 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  z  e.  dom  G ) )
5958simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  G
)
60 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
618, 59, 60syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
6261abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR )
6361absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) )
64 elrege0 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs `  ( G `
 z ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( G `  z
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z
) ) ) )
6562, 63, 64sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
66 0e0icopnf 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6865, 67ifclda 3904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6968ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ,  ( abs `  ( G `
 z ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
70 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
X.  { x }
)  =  ( z  e.  RR  |->  x )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( RR  X.  {
x } )  =  ( z  e.  RR  |->  x ) )
72 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )
7355, 57, 69, 71, 72offval2 6567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( RR  X.  { x } )  oF  x.  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) ) )
74 ovif2 6393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  ( x  x.  0 ) )
7556recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  x  e.  CC )
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  CC )
7776mul01d 9850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  0 )  =  0 )
7877ifeq2d 3891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  ( x  x.  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
7974, 78syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
8079mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
8173, 80eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( RR  X.  { x } )  oF  x.  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
8281fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( ( RR  X.  { x } )  oF  x.  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
8368adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
84 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )
8583, 84fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
87 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_ 
dom  G )
8923, 20mbfdm2 22673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  e.  dom  vol )
908ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
918feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  =  ( z  e.  dom  G 
|->  ( G `  z
) ) )
92 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  e.  L^1 )
9391, 92eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  dom  G  |->  ( G `
 z ) )  e.  L^1 )
9488, 89, 90, 93iblss 22841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( G `
 z ) )  e.  L^1 )
9561, 94iblabs 22865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  L^1 )
9662, 63iblpos 22829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  ( G `  z )
) )  e.  L^1 
<->  ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
9795, 96mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  ( G `  z )
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
9897simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
100 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  RR )
101 neq0 3733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  =  (/)  <->  E. z  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) )
102 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  e.  RR )
10458simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  F
)
105 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
1062, 104, 105syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
107106abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  e.  RR )
108 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  x  e.  RR )
109106absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  z )
) )
110 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)
111 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
112111fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
113112breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  x
) )
114113rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  x )
115110, 104, 114syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  x )
116103, 107, 108, 109, 115letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  x )
117116ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  ->  0  <_  x ) )
118117exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( E. z  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  ->  0  <_  x ) )
119101, 118syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( -.  ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  0  <_  x ) )
120119imp 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
0  <_  x )
121 elrege0 11764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
122100, 120, 121sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  ( 0 [,) +oo ) )
12386, 99, 122itg2mulc 22784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( ( RR  X.  { x } )  oF  x.  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) ) )
12482, 123eqtr3d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) ) )
125100, 99remulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
126124, 125eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
127126ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( -.  ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
128 noel 3726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  z  e.  (/)
129 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  <-> 
z  e.  (/) ) )
130128, 129mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)
131 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 )  =  0 )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  0 )
133132mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  0 ) )
134 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( z  e.  RR  |->  0 )
135133, 134syl6eqr 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } ) )
136135fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) ) )
137 itg20 22774 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
138137, 102eqeltri 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  e.  RR
139136, 138syl6eqel 2557 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
140127, 139pm2.61d2 165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
141108, 62remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  RR )
142141rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e. 
RR* )
143108, 62, 116, 63mulge0d 10211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
144 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ) )
145142, 143, 144sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
146145, 49ifclda 3904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
147146adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
148 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
149147, 148fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
150106, 61absmuld 13593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) ) )
151 abscl 13418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR )
152 absge0 13427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) )
153151, 152jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
15461, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
155 lemul1a 10481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )  /\  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  x )  -> 
( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
156107, 108, 154, 115, 155syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
157150, 156eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
158 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )
159158adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )
160 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
161160adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
162157, 159, 1613brtr4d 4426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
163 0le0 10721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  0
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  0  <_  0
)
165 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  =  0 )
166164, 165, 1313brtr4d 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
167166adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
168162, 167pm2.61dan 808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
169168ralrimivw 2810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  A. z  e.  RR  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
17054a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  RR  e.  _V )
171 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) ) )
172 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )
173170, 51, 147, 171, 172ofrfval2 6568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  oR  <_  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. z  e.  RR  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
174169, 173mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
175 itg2le 22776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  oR  <_  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
17653, 149, 174, 175syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
177 itg2lecl 22775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
17853, 140, 176, 177syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
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)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
17943, 45iblpos 22829 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
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)  <_  x )
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z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )  e.  L^1 
<->  ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
18042, 178, 179mpbir2and 936 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
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G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e.  L^1 )
18120, 23, 180iblabsr 22866 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
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G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e.  L^1 )
18218, 181eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
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)  <_  x )
)  ->  ( F  oF  x.  G
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183182rexlimdvaa 2872 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  -> 
( E. x  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
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1841833impia 1228 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839    o. ccom 4843    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548    oRcofr 6549   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   abscabs 13374   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493  MblFncmbf 22651   S.2citg2 22653   L^1cibl 22654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-0p 22707
This theorem is referenced by:  bddibl  22876  itgsubstlem  23079  fourierdlem16  38097  fourierdlem21  38102  fourierdlem22  38103  fourierdlem83  38165
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