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Theorem bddmulibl 21432
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y

Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 21221 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
21ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F : dom  F --> CC )
3 ffn 5657 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F  Fn  dom  F )
5 iblmbf 21361 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  L^1  ->  G  e. MblFn )
65ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  e. MblFn )
7 mbff 21221 . . . . . . 7  |-  ( G  e. MblFn  ->  G : dom  G --> CC )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G : dom  G --> CC )
9 ffn 5657 . . . . . 6  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  Fn  dom  G )
11 mbfdm 21222 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1211ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
13 mbfdm 21222 . . . . . 6  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
146, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  dom  G  e. 
dom  vol )
15 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
16 eqidd 2452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
17 eqidd 2452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
184, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6427 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
19 ovex 6215 . . . . . 6  |-  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  e. 
_V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  _V )
21 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F  e. MblFn )
2221, 6mbfmul 21320 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  e. MblFn )
2318, 22eqeltrrd 2540 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e. MblFn )
2423, 20mbfmptcl 21231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  CC )
25 eqidd 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) )
26 absf 12927 . . . . . . . . . 10  |-  abs : CC
--> RR
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs : CC --> RR )
2827feqmptd 5843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs  =  ( y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
29 fveq2 5789 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
3024, 25, 28, 29fmptco 5975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ) )
31 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )
3224, 31fmptd 5966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> CC )
33 ax-resscn 9440 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
34 ssid 3473 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
35 cncfss 20591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
3633, 34, 35mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
37 abscncf 20593 . . . . . . . . . 10  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
3836, 37sselii 3451 . . . . . . . . 9  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )
40 cncombf 21252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. MblFn  /\  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) : ( dom  F  i^i  dom 
G ) --> CC  /\  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) )  e. MblFn )
4123, 32, 39, 40syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) )  e. MblFn )
4230, 41eqeltrrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e. MblFn
)
4324abscld 13024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e.  RR )
4443rexrd 9534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. 
RR* )
4524absge0d 13032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
46 elxrge0 11495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ) )
4744, 45, 46sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
48 0e0iccpnf 11497 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5047, 49ifclda 3919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
52 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )
5351, 52fmptd 5966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
54 reex 9474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  RR  e.  _V )
56 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  x  e.  RR )
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  /\  z  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
58 elin 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  z  e.  dom  G ) )
5958simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  G
)
60 ffvelrn 5940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
618, 59, 60syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
6261abscld 13024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR )
6361absge0d 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) )
64 elrege0 11493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs `  ( G `
 z ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( G `  z
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z
) ) ) )
6562, 63, 64sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
66 0e0icopnf 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6865, 67ifclda 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ,  ( abs `  ( G `
 z ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
70 fconstmpt 4980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
X.  { x }
)  =  ( z  e.  RR  |->  x )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( RR  X.  {
x } )  =  ( z  e.  RR  |->  x ) )
72 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )
7355, 57, 69, 71, 72offval2 6436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( RR  X.  { x } )  oF  x.  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) ) )
74 oveq2 6198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( G `  z
) )  ->  (
x  x.  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
75 oveq2 6198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 )  =  0  -> 
( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  ( x  x.  0 ) )
7674, 75ifsb 3900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  ( x  x.  0 ) )
7756recnd 9513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  x  e.  CC )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  CC )
7978mul01d 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  0 )  =  0 )
8079ifeq2d 3906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  ( x  x.  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
8176, 80syl5eq 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
8281mpteq2dv 4477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
8373, 82eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( RR  X.  { x } )  oF  x.  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
8483fveq2d 5793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( ( RR  X.  { x } )  oF  x.  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
8568adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
86 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )
8785, 86fmptd 5966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
8887adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
89 inss2 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_ 
dom  G )
9123, 20mbfdm2 21232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  e.  dom  vol )
928ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
938feqmptd 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  =  ( z  e.  dom  G 
|->  ( G `  z
) ) )
94 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  e.  L^1 )
9593, 94eqeltrrd 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  dom  G  |->  ( G `
 z ) )  e.  L^1 )
9690, 91, 92, 95iblss 21398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( G `
 z ) )  e.  L^1 )
9761, 96iblabs 21422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  L^1 )
9862, 63iblpos 21386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  ( G `  z )
) )  e.  L^1 
<->  ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
9997, 98mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  ( G `  z )
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
10099simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
102 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  RR )
103 neq0 3745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  =  (/)  <->  E. z  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) )
104 0re 9487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  e.  RR )
10658simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  F
)
107 ffvelrn 5940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
1082, 106, 107syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
109108abscld 13024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  e.  RR )
110 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  x  e.  RR )
111108absge0d 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  z )
) )
112 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)
113 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
114113fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
115114breq1d 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  x
) )
116115rspccva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  x )
117112, 106, 116syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  x )
118105, 109, 110, 111, 117letrd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  x )
119118ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  ->  0  <_  x ) )
120119exlimdv 1691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( E. z  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  ->  0  <_  x ) )
121103, 120syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( -.  ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  0  <_  x ) )
122121imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
0  <_  x )
123 elrege0 11493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
124102, 122, 123sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  ( 0 [,) +oo ) )
12588, 101, 124itg2mulc 21341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( ( RR  X.  { x } )  oF  x.  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) ) )
12684, 125eqtr3d 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) ) )
127102, 101remulcld 9515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
128126, 127eqeltrd 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
129128ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( -.  ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
130 noel 3739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  z  e.  (/)
131 eleq2 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  <-> 
z  e.  (/) ) )
132130, 131mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)
133 iffalse 3897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 )  =  0 )
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  0 )
135134mpteq2dv 4477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  0 ) )
136 fconstmpt 4980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( z  e.  RR  |->  0 )
137135, 136syl6eqr 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } ) )
138137fveq2d 5793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) ) )
139 itg20 21331 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
140139, 104eqeltri 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  e.  RR
141138, 140syl6eqel 2547 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
142129, 141pm2.61d2 160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
143110, 62remulcld 9515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  RR )
144143rexrd 9534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e. 
RR* )
145110, 62, 118, 63mulge0d 10017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
146 elxrge0 11495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ) )
147144, 145, 146sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
148147, 49ifclda 3919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
149148adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
150 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
151149, 150fmptd 5966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
152108, 61absmuld 13042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) ) )
153 abscl 12869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR )
154 absge0 12878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) )
155153, 154jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
15661, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
157 lemul1a 10284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )  /\  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  x )  -> 
( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
158109, 110, 156, 117, 157syl31anc 1222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
159152, 158eqbrtrd 4410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
160 iftrue 3895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )
161160adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )
162 iftrue 3895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
163162adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
164159, 161, 1633brtr4d 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
165 0le0 10512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  0
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  0  <_  0
)
167 iffalse 3897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  =  0 )
168166, 167, 1333brtr4d 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
169168adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
170164, 169pm2.61dan 789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
171170ralrimivw 2823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  A. z  e.  RR  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
17254a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  RR  e.  _V )
173 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) ) )
174 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )
175172, 51, 149, 173, 174ofrfval2 6437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  oR  <_  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. z  e.  RR  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
176171, 175mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
177 itg2le 21333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  oR  <_  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
17853, 151, 176, 177syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
179 itg2lecl 21332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
18053, 142, 178, 179syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
18143, 45iblpos 21386 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )  e.  L^1 
<->  ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
18242, 180, 181mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e.  L^1 )
18320, 23, 182iblabsr 21423 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e.  L^1 )
18418, 183eqeltrd 2539 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  e.  L^1 )
185184rexlimdvaa 2938 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1 )  -> 
( E. x  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x  ->  ( F  oF  x.  G )  e.  L^1 ) )
1861853impia 1185 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3068    i^i cin 3425    C_ wss 3426   (/)c0 3735   ifcif 3889   {csn 3975   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448    X. cxp 4936   dom cdm 4938    o. ccom 4942    Fn wfn 5511   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    oFcof 6418    oRcofr 6419   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383    x. cmul 9388   +oocpnf 9516   RR*cxr 9518    <_ cle 9520   [,)cico 11403   [,]cicc 11404   abscabs 12825   -cn->ccncf 20568   volcvol 21063  MblFncmbf 21210   S.2citg2 21212   L^1cibl 21213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cc 8705  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4361  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-ofr 6421  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-acn 8213  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-cmp 19106  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-ovol 21064  df-vol 21065  df-mbf 21215  df-itg1 21216  df-itg2 21217  df-ibl 21218  df-0p 21264
This theorem is referenced by:  bddibl  21433  itgsubstlem  21636
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