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Theorem bddmulibl 22796
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl |- ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 /\ E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> ( F oF x. G ) e. L^1 )
Distinct variable groups:   x, y, F   x, G, y
Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 22583 . . . . . . 7 |- ( F e. MblFn -> F : dom F --> CC )
21ad2antrr 732 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> F : dom F --> CC )
3 ffn 5728 . . . . . 6 |- ( F : dom F --> CC -> F Fn dom F )
42, 3syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> F Fn dom F )
5 iblmbf 22725 . . . . . . . 8 |- ( G e. L^1 -> G e. MblFn )
65ad2antlr 733 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G e. MblFn )
7 mbff 22583 . . . . . . 7 |- ( G e. MblFn -> G : dom G --> CC )
86, 7syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G : dom G --> CC )
9 ffn 5728 . . . . . 6 |- ( G : dom G --> CC -> G Fn dom G )
108, 9syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G Fn dom G )
11 mbfdm 22584 . . . . . 6 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )
1211ad2antrr 732 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> dom F e. dom vol )
13 mbfdm 22584 . . . . . 6 |- ( G e. MblFn -> dom G e. dom vol )
146, 13syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> dom G e. dom vol )
15 eqid 2451 . . . . 5 |- ( dom F i^i dom G ) = ( dom F i^i dom G )
16 eqidd 2452 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
17 eqidd 2452 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
184, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6538 . . . 4 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( F oF x. G ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
19 ovex 6318 . . . . . 6 |- ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. _V
2019a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. _V )
21 simpll 760 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> F e. MblFn )
2221, 6mbfmul 22684 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( F oF x. G ) e. MblFn )
2318, 22eqeltrrd 2530 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. MblFn )
2423, 20mbfmptcl 22593 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
25 eqidd 2452 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
26 absf 13400 . . . . . . . . . 10 |- abs : CC --> RR
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> abs : CC --> RR )
2827feqmptd 5918 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> abs = ( y e. CC |-> ( abs ` y ) ) )
29 fveq2 5865 . . . . . . . 8 |- ( y = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) -> ( abs ` y ) = ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
3024, 25, 28, 29fmptco 6056 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( abs o. ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) )
31 eqid 2451 . . . . . . . . 9 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
3224, 31fmptd 6046 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC )
33 ax-resscn 9596 . . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
34 ssid 3451 . . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
35 cncfss 21931 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC ) )
3633, 34, 35mp2an 678 . . . . . . . . . 10 |- ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC )
37 abscncf 21933 . . . . . . . . . 10 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
3836, 37sselii 3429 . . . . . . . . 9 |- abs e. ( CC -cn-> CC )
3938a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> abs e. ( CC -cn-> CC ) )
40 cncombf 22614 . . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. MblFn /\ ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ abs e. ( CC -cn-> CC ) ) -> ( abs o. ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn )
4123, 32, 39, 40syl3anc 1268 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( abs o. ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn )
4230, 41eqeltrrd 2530 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn )
4324abscld 13498 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. RR )
4443rexrd 9690 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. RR* )
4524absge0d 13506 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
46 elxrge0 11741 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) )
4744, 45, 46sylanbrc 670 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
48 0e0iccpnf 11743 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
5047, 49ifclda 3913 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
5150adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52 eqid 2451 . . . . . . . 8 |- ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
5351, 52fmptd 6046 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
54 reex 9630 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> RR e. _V )
56 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> x e. RR )
5756ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) /\ z e. RR ) -> x e. RR )
58 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) <-> ( z e. dom F /\ z e. dom G ) )
5958simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom G )
60 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G : dom G --> CC /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) e. CC )
618, 59, 60syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
6261abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
6361absge0d 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) )
64 elrege0 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
6562, 63, 64sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
66 0e0icopnf 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
6865, 67ifclda 3913 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
6968ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
70 fconstmpt 4878 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR X. { x } ) = ( z e. RR |-> x )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( RR X. { x } ) = ( z e. RR |-> x ) )
72 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) )
7355, 57, 69, 71, 72offval2 6548 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( z e. RR |-> ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) )
74 ovif2 6374 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , ( x x. 0 ) )
7556recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> x e. CC )
7675adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> x e. CC )
7776mul01d 9832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( x x. 0 ) = 0 )
7877ifeq2d 3900 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , ( x x. 0 ) ) = if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
7974, 78syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
8079mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( z e. RR |-> ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
8173, 80eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
8281fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) = ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) )
8368adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
84 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) )
8583, 84fmptd 6046 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
8685adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
87 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dom F i^i dom G ) C_ dom G
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( dom F i^i dom G ) C_ dom G )
8923, 20mbfdm2 22594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( dom F i^i dom G ) e. dom vol )
908ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) e. CC )
918feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G = ( z e. dom G |-> ( G ` z ) ) )
92 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G e. L^1 )
9391, 92eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. dom G |-> ( G ` z ) ) e. L^1 )
9488, 89, 90, 93iblss 22762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( G ` z ) ) e. L^1 )
9561, 94iblabs 22786 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. L^1 )
9662, 63iblpos 22750 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. L^1 <-> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
9795, 96mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
9897simprd 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
9998adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
100 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> x e. RR )
101 neq0 3742 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( dom F i^i dom G ) = (/) <-> E. z z e. ( dom F i^i dom G ) )
102 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 e. RR )
10458simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom F )
105 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : dom F --> CC /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. CC )
1062, 104, 105syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
107106abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR )
108 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> x e. RR )
109106absge0d 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
110 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
111 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
112111fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = z -> ( abs ` ( F ` y ) ) = ( abs ` ( F ` z ) ) )
113112breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = z -> ( ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x ) )
114113rspccva 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x /\ z e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x )
115110, 104, 114syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x )
116103, 107, 108, 109, 115letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ x )
117116ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> 0 <_ x ) )
118117exlimdv 1779 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( E. z z e. ( dom F i^i dom G ) -> 0 <_ x ) )
119101, 118syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( -. ( dom F i^i dom G ) = (/) -> 0 <_ x ) )
120119imp 431 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> 0 <_ x )
121 elrege0 11738 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
122100, 120, 121sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
12386, 99, 122itg2mulc 22705 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) = ( x x. ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) )
12482, 123eqtr3d 2487 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) = ( x x. ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) )
125100, 99remulcld 9671 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( x x. ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
126124, 125eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
127126ex 436 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( -. ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
128 noel 3735 . . . . . . . . . . . . . 14 |- -. z e. (/)
129 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) <-> z e. (/) ) )
130128, 129mtbiri 305 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. z e. ( dom F i^i dom G ) )
131 iffalse 3890 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = 0 )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = 0 )
133132mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> 0 ) )
134 fconstmpt 4878 . . . . . . . . . . 11 |- ( RR X. { 0 } ) = ( z e. RR |-> 0 )
135133, 134syl6eqr 2503 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( RR X. { 0 } ) )
136135fveq2d 5869 . . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) )
137 itg20 22695 . . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) = 0
138137, 102eqeltri 2525 . . . . . . . . 9 |- ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) e. RR
139136, 138syl6eqel 2537 . . . . . . . 8 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
140127, 139pm2.61d2 164 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
141108, 62remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. RR )
142141rexrd 9690 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. RR* )
143108, 62, 116, 63mulge0d 10190 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
144 elxrge0 11741 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) ) )
145142, 143, 144sylanbrc 670 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
146145, 49ifclda 3913 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
147146adantr 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
148 eqid 2451 . . . . . . . . 9 |- ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
149147, 148fmptd 6046 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
150106, 61absmuld 13516 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
151 abscl 13341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` z ) e. CC -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
152 absge0 13350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` z ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) )
153151, 152jca 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G ` z ) e. CC -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
15461, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
155 lemul1a 10459 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR /\ x e. RR /\ ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
156107, 108, 154, 115, 155syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
157150, 156eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
158 iftrue 3887 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
159158adantl 468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
160 iftrue 3887 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
161160adantl 468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
162157, 159, 1613brtr4d 4433 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
163 0le0 10699 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 0
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> 0 <_ 0 )
165 iffalse 3890 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) = 0 )
166164, 165, 1313brtr4d 4433 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
167166adantl 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
168162, 167pm2.61dan 800 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
169168ralrimivw 2803 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> A. z e. RR if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
17054a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> RR e. _V )
171 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
172 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
173170, 51, 147, 171, 172ofrfval2 6549 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) <-> A. z e. RR if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
174169, 173mpbird 236 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
175 itg2le 22697 . . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) )
17653, 149, 174, 175syl3anc 1268 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) )
177 itg2lecl 22696 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
17853, 140, 176, 177syl3anc 1268 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
17943, 45iblpos 22750 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
18042, 178, 179mpbir2and 933 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. L^1 )
18120, 23, 180iblabsr 22787 . . . 4 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. L^1 )
18218, 181eqeltrd 2529 . . 3 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( F oF x. G ) e. L^1 )
183182rexlimdvaa 2880 . 2 |- ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) -> ( E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x -> ( F oF x. G ) e. L^1 ) )
1841833impia 1205 1 |- ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 /\ E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> ( F oF x. G ) e. L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   dom cdm 4834   o. ccom 4838   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   oFcof 6529   oRcofr 6530   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   <_ cle 9676   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   abscabs 13297   -cn->ccncf 21908   volcvol 22415  MblFncmbf 22572   S.2citg2 22574   L^1cibl 22575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-0p 22628
This theorem is referenced by:  bddibl  22797  itgsubstlem  23000  fourierdlem16  37985  fourierdlem21  37990  fourierdlem22  37991  fourierdlem83  38053
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