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Theorem bddmulibl 22670
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl |- ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 /\ E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> ( F oF x. G ) e. L^1 )
Distinct variable groups:   x, y, F   x, G, y
Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 22457 . . . . . . 7 |- ( F e. MblFn -> F : dom F --> CC )
21ad2antrr 730 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> F : dom F --> CC )
3 ffn 5737 . . . . . 6 |- ( F : dom F --> CC -> F Fn dom F )
42, 3syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> F Fn dom F )
5 iblmbf 22599 . . . . . . . 8 |- ( G e. L^1 -> G e. MblFn )
65ad2antlr 731 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G e. MblFn )
7 mbff 22457 . . . . . . 7 |- ( G e. MblFn -> G : dom G --> CC )
86, 7syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G : dom G --> CC )
9 ffn 5737 . . . . . 6 |- ( G : dom G --> CC -> G Fn dom G )
108, 9syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G Fn dom G )
11 mbfdm 22458 . . . . . 6 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )
1211ad2antrr 730 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> dom F e. dom vol )
13 mbfdm 22458 . . . . . 6 |- ( G e. MblFn -> dom G e. dom vol )
146, 13syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> dom G e. dom vol )
15 eqid 2420 . . . . 5 |- ( dom F i^i dom G ) = ( dom F i^i dom G )
16 eqidd 2421 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
17 eqidd 2421 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
184, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6543 . . . 4 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( F oF x. G ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
19 ovex 6324 . . . . . 6 |- ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. _V
2019a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. _V )
21 simpll 758 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> F e. MblFn )
2221, 6mbfmul 22558 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( F oF x. G ) e. MblFn )
2318, 22eqeltrrd 2509 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. MblFn )
2423, 20mbfmptcl 22467 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
25 eqidd 2421 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
26 absf 13368 . . . . . . . . . 10 |- abs : CC --> RR
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> abs : CC --> RR )
2827feqmptd 5925 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> abs = ( y e. CC |-> ( abs ` y ) ) )
29 fveq2 5872 . . . . . . . 8 |- ( y = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) -> ( abs ` y ) = ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
3024, 25, 28, 29fmptco 6062 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( abs o. ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) )
31 eqid 2420 . . . . . . . . 9 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) = ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
3224, 31fmptd 6052 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC )
33 ax-resscn 9585 . . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
34 ssid 3480 . . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
35 cncfss 21820 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC ) )
3633, 34, 35mp2an 676 . . . . . . . . . 10 |- ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC )
37 abscncf 21822 . . . . . . . . . 10 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
3836, 37sselii 3458 . . . . . . . . 9 |- abs e. ( CC -cn-> CC )
3938a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> abs e. ( CC -cn-> CC ) )
40 cncombf 22488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. MblFn /\ ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ abs e. ( CC -cn-> CC ) ) -> ( abs o. ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn )
4123, 32, 39, 40syl3anc 1264 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( abs o. ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn )
4230, 41eqeltrrd 2509 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn )
4324abscld 13465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. RR )
4443rexrd 9679 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. RR* )
4524absge0d 13473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
46 elxrge0 11728 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) )
4744, 45, 46sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
48 0e0iccpnf 11730 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
5047, 49ifclda 3938 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
5150adantr 466 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52 eqid 2420 . . . . . . . 8 |- ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
5351, 52fmptd 6052 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
54 reex 9619 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> RR e. _V )
56 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> x e. RR )
5756ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) /\ z e. RR ) -> x e. RR )
58 elin 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) <-> ( z e. dom F /\ z e. dom G ) )
5958simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom G )
60 ffvelrn 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G : dom G --> CC /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) e. CC )
618, 59, 60syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
6261abscld 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
6361absge0d 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) )
64 elrege0 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
6562, 63, 64sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
66 0e0icopnf 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
6865, 67ifclda 3938 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
6968ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
70 fconstmpt 4889 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR X. { x } ) = ( z e. RR |-> x )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( RR X. { x } ) = ( z e. RR |-> x ) )
72 eqidd 2421 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) )
7355, 57, 69, 71, 72offval2 6553 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( z e. RR |-> ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) )
74 ovif2 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , ( x x. 0 ) )
7556recnd 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> x e. CC )
7675adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> x e. CC )
7776mul01d 9821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( x x. 0 ) = 0 )
7877ifeq2d 3925 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , ( x x. 0 ) ) = if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
7974, 78syl5eq 2473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
8079mpteq2dv 4504 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( z e. RR |-> ( x x. if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
8173, 80eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
8281fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) = ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) )
8368adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
84 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) )
8583, 84fmptd 6052 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
8685adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
87 inss2 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dom F i^i dom G ) C_ dom G
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( dom F i^i dom G ) C_ dom G )
8923, 20mbfdm2 22468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( dom F i^i dom G ) e. dom vol )
908ffvelrnda 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) e. CC )
918feqmptd 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G = ( z e. dom G |-> ( G ` z ) ) )
92 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> G e. L^1 )
9391, 92eqeltrrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. dom G |-> ( G ` z ) ) e. L^1 )
9488, 89, 90, 93iblss 22636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( G ` z ) ) e. L^1 )
9561, 94iblabs 22660 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. L^1 )
9662, 63iblpos 22624 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. L^1 <-> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
9795, 96mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
9897simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
9998adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
100 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> x e. RR )
101 neq0 3769 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( dom F i^i dom G ) = (/) <-> E. z z e. ( dom F i^i dom G ) )
102 0re 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 e. RR )
10458simplbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom F )
105 ffvelrn 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : dom F --> CC /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. CC )
1062, 104, 105syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
107106abscld 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR )
108 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> x e. RR )
109106absge0d 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
110 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
111 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
112111fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = z -> ( abs ` ( F ` y ) ) = ( abs ` ( F ` z ) ) )
113112breq1d 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = z -> ( ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x ) )
114113rspccva 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x /\ z e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x )
115110, 104, 114syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x )
116103, 107, 108, 109, 115letrd 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ x )
117116ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> 0 <_ x ) )
118117exlimdv 1768 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( E. z z e. ( dom F i^i dom G ) -> 0 <_ x ) )
119101, 118syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( -. ( dom F i^i dom G ) = (/) -> 0 <_ x ) )
120119imp 430 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> 0 <_ x )
121 elrege0 11726 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
122100, 120, 121sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
12386, 99, 122itg2mulc 22579 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( ( RR X. { x } ) oF x. ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) = ( x x. ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) )
12482, 123eqtr3d 2463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) = ( x x. ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) )
125100, 99remulcld 9660 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( x x. ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( G ` z ) ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
126124, 125eqeltrd 2508 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
127126ex 435 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( -. ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
128 noel 3762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- -. z e. (/)
129 eleq2 2493 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) <-> z e. (/) ) )
130128, 129mtbiri 304 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. z e. ( dom F i^i dom G ) )
131 iffalse 3915 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = 0 )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = 0 )
133132mpteq2dv 4504 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> 0 ) )
134 fconstmpt 4889 . . . . . . . . . . 11 |- ( RR X. { 0 } ) = ( z e. RR |-> 0 )
135133, 134syl6eqr 2479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( RR X. { 0 } ) )
136135fveq2d 5876 . . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) )
137 itg20 22569 . . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) = 0
138137, 102eqeltri 2504 . . . . . . . . 9 |- ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) e. RR
139136, 138syl6eqel 2516 . . . . . . . 8 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
140127, 139pm2.61d2 163 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
141108, 62remulcld 9660 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. RR )
142141rexrd 9679 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. RR* )
143108, 62, 116, 63mulge0d 10179 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> 0 <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
144 elxrge0 11728 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) ) )
145142, 143, 144sylanbrc 668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
146145, 49ifclda 3938 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
147146adantr 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
148 eqid 2420 . . . . . . . . 9 |- ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
149147, 148fmptd 6052 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
150106, 61absmuld 13483 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
151 abscl 13309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` z ) e. CC -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
152 absge0 13318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` z ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) )
153151, 152jca 534 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G ` z ) e. CC -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
15461, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
155 lemul1a 10448 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR /\ x e. RR /\ ( ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
156107, 108, 154, 115, 155syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
157150, 156eqbrtrd 4437 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) <_ ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
158 iftrue 3912 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
159158adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
160 iftrue 3912 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
161160adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) = ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) )
162157, 159, 1613brtr4d 4447 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
163 0le0 10688 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 0
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> 0 <_ 0 )
165 iffalse 3915 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) = 0 )
166164, 165, 1313brtr4d 4447 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. z e. ( dom F i^i dom G ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
167166adantl 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ -. z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
168162, 167pm2.61dan 798 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
169168ralrimivw 2838 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> A. z e. RR if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) )
17054a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> RR e. _V )
171 eqidd 2421 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
172 eqidd 2421 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
173170, 51, 147, 171, 172ofrfval2 6554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) <-> A. z e. RR if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) <_ if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
174169, 173mpbird 235 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) )
175 itg2le 22571 . . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) )
17653, 149, 174, 175syl3anc 1264 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) )
177 itg2lecl 22570 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( x x. ( abs ` ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
17853, 140, 176, 177syl3anc 1264 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
17943, 45iblpos 22624 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. ( dom F i^i dom G ) , ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
18042, 178, 179mpbir2and 930 . . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) e. L^1 )
18120, 23, 180iblabsr 22661 . . . 4 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) e. L^1 )
18218, 181eqeltrd 2508 . . 3 |- ( ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( F oF x. G ) e. L^1 )
183182rexlimdvaa 2916 . 2 |- ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 ) -> ( E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x -> ( F oF x. G ) e. L^1 ) )
1841833impia 1202 1 |- ( ( F e. MblFn /\ G e. L^1 /\ E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> ( F oF x. G ) e. L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078   i^i cin 3432   C_ wss 3433   (/)c0 3758   ifcif 3906   {csn 3993   class class class wbr 4417   |-> cmpt 4475   X. cxp 4843   dom cdm 4845   o. ccom 4849   Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   oFcof 6534   oRcofr 6535   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   x. cmul 9533   +oocpnf 9661   RR*cxr 9663   <_ cle 9665   [,)cico 11626   [,]cicc 11627   abscabs 13265   -cn->ccncf 21797   volcvol 22289  MblFncmbf 22446   S.2citg2 22448   L^1cibl 22449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cc 8854  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-disj 4389  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-acn 8366  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298  df-xrs 15352  df-qtop 15357  df-imas 15358  df-xps 15360  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cn 20167  df-cnp 20168  df-cmp 20326  df-tx 20501  df-hmeo 20694  df-xms 21259  df-ms 21260  df-tms 21261  df-cncf 21799  df-ovol 22290  df-vol 22292  df-mbf 22451  df-itg1 22452  df-itg2 22453  df-ibl 22454  df-0p 22502
This theorem is referenced by:  bddibl  22671  itgsubstlem  22874  fourierdlem16  37558  fourierdlem21  37563  fourierdlem22  37564  fourierdlem83  37625
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