Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdayelon Structured version   Unicode version

Theorem bdayelon 27966
Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
bdayelon  |-  ( bday `  A )  e.  On

Proof of Theorem bdayelon
StepHypRef Expression
1 bdayfun 27962 . . 3  |-  Fun  bday
2 fvelrn 5949 . . . 4  |-  ( ( Fun  bday  /\  A  e. 
dom  bday )  ->  ( bday `  A )  e. 
ran  bday )
3 bdayrn 27963 . . . 4  |-  ran  bday  =  On
42, 3syl6eleq 2552 . . 3  |-  ( ( Fun  bday  /\  A  e. 
dom  bday )  ->  ( bday `  A )  e.  On )
51, 4mpan 670 . 2  |-  ( A  e.  dom  bday  ->  (
bday `  A )  e.  On )
6 ndmfv 5824 . . 3  |-  ( -.  A  e.  dom  bday  -> 
( bday `  A )  =  (/) )
7 0elon 4881 . . 3  |-  (/)  e.  On
86, 7syl6eqel 2550 . 2  |-  ( -.  A  e.  dom  bday  -> 
( bday `  A )  e.  On )
95, 8pm2.61i 164 1  |-  ( bday `  A )  e.  On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    e. wcel 1758   (/)c0 3746   Oncon0 4828   dom cdm 4949   ran crn 4950   Fun wfun 5521   ` cfv 5527   bdaycbday 27928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-1o 7031  df-no 27929  df-bday 27931
This theorem is referenced by:  fvnobday  27968  nodenselem3  27969  nodenselem4  27970  nodenselem6  27972  nodense  27975  nocvxminlem  27976  nobndlem2  27979  nobndlem4  27981  nobndlem5  27982  nobndlem6  27983  nobndlem8  27985
  Copyright terms: Public domain W3C validator