Theorem bdayelon 14017

Description: The value of the birthday function is always an ordinal.

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	|- ( bday ` A) e. On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfun 14013	. . 3 |- Fun bday
2		fvelrn 4785	. . . 4 |- ((Fun bday /\ A e. dom bday ) -> ( bday ` A) e. ran bday )
3		bdayrn 14014	. . . 4 |- ran bday = On
4	2, 3	syl6eleq 1981	. . 3 |- ((Fun bday /\ A e. dom bday ) -> ( bday ` A) e. On)
5	1, 4	mpan 759	. 2 |- (A e. dom bday -> ( bday ` A) e. On)
6		ndmfv 4702	. . 3 |- (-. A e. dom bday -> ( bday ` A) = (/))
7		0elon 3716	. . 3 |- (/) e. On
8	6, 7	syl6eqel 1979	. 2 |- (-. A e. dom bday -> ( bday ` A) e. On)
9	5, 8	pm2.61i 140	1 |- ( bday ` A) e. On

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 240   e. wcel 1300  (/)c0 2875  Oncon0 3657  dom cdm 3986  ran crn 3987  Fun wfun 3992  ` cfv 3998   bday cbday 13983

This theorem is referenced by:  axdenselem3 14021  axdenselem4 14022  axdenselem6 14024  axdense 14027  nocvxminlem 14028  axfelem1 14031  axfelem3 14033  axfelem4 14034  axfelem5 14035

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-1o 5177  df-no 13984  df-bday 13986

Copyright terms: Public domain