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Theorem bcval5 12489
Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient  ( N  _C  K )  =  ( N  x.  ( N  -  1 )  x. 
...  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  /  K ! explicitly. In this form, it is valid even for  N  <  K, although it is no longer valid for nonpositive  K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcval5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )

Proof of Theorem bcval5
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 12476 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
21adantl 467 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )
3 mulcl 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  x
)  e.  CC )
43adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( k  x.  x
)  e.  CC )
5 mulass 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( k  x.  x
)  x.  y )  =  ( k  x.  ( x  x.  y
) ) )
65adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( k  x.  x )  x.  y
)  =  ( k  x.  ( x  x.  y ) ) )
7 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN )
8 elfzuz3 11784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
98adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
10 eluznn 11218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  NN )
117, 9, 10syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
1211adantrr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
13 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  K  e.  NN )
14 nnre 10605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
15 nnrp 11300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR+ )
16 ltsubrp 11324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR+ )  -> 
( N  -  K
)  <  N )
1714, 15, 16syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  <  N )
1812, 13, 17syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  <  N )
1912nnzd 11028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  ZZ )
20 nnz 10948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
2120ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
2219, 21zsubcld 11034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
23 zltp1le 10975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  <->  ( ( N  -  K
)  +  1 )  <_  N ) )
2422, 19, 23syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  <  N  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2518, 24mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  N )
2622peano2zd 11032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  ZZ )
27 eluz 11161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2826, 19, 27syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2925, 28mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
30 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
31 nnuz 11183 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3230, 31syl6eleq 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
33 fvi 5929 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
34 elfzelz 11787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
3534zcnd 11030 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
3633, 35eqeltrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
3736adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
384, 6, 29, 32, 37seqsplit 12232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )
) )
39 facnn 12447 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
4012, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
41 facnn 12447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) ) )
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) ) )
4342oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
4438, 40, 433eqtr4d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
4544expr 618 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
46 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
47 faccl 12455 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
48 nncn 10606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
5049mulid2d 9650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
5111, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) )
5251oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
5350, 52eqtr3d 2463 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
54 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  ( ! `  0
) )
55 fac0 12448 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 0 )  =  1
5654, 55syl6eq 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  1 )
57 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
58 0p1e1 10710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5957, 58syl6eq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  1 )
6059seqeq1d 12205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  )  =  seq 1 (  x.  ,  _I  ) )
6160fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
6256, 61oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
) )
6362eqeq2d 2434 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )
)  <->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
6453, 63syl5ibrcom 225 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
65 fznn0sub 11818 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
6665adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
67 elnn0 10860 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
6866, 67sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
6945, 64, 68mpjaod 382 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
7069oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
71 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
72 nn0z 10949 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
73 zsubcl 10968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
7472, 20, 73syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
7574peano2zd 11032 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
7675adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
77 fvi 5929 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
78 eluzelcn 11159 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  k  e.  CC )
7977, 78eqeltrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
8079adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
813adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
8271, 76, 80, 81seqf 12220 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) : ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) --> CC )
8311, 7, 17syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  <  N
)
8474adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
8511nnzd 11028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8684, 85, 23syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N
) )
8783, 86mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N )
8876, 85, 27syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <-> 
( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N )
)
8987, 88mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
9082, 89ffvelrnd 6029 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  e.  CC )
91 elfznn0 11874 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
9291adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN0 )
93 faccl 12455 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
9492, 93syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
9594nncnd 10614 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
96 faccl 12455 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
9766, 96syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  NN )
9897nncnd 10614 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  CC )
9994nnne0d 10643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  =/=  0
)
10097nnne0d 10643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  =/=  0
)
10190, 95, 98, 99, 100divcan5d 10398 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
1022, 70, 1013eqtrd 2465 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )
103 nnnn0 10865 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
104103ad2antlr 731 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  NN0 )
105 nncn 10606 . . . . 5  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
106 nnne0 10631 . . . . 5  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  ( ! `  K )  =/=  0 )
107105, 106div0d 10371 . . . 4  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  (
0  /  ( ! `
 K ) )  =  0 )
108104, 93, 1073syl 18 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  /  ( ! `
 K ) )  =  0 )
1093adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
110 fvi 5929 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
111 elfzelz 11787 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ZZ )
112111zcnd 11030 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  CC )
113110, 112eqeltrd 2508 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
114113adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
115 mul02 9800 . . . . . 6  |-  ( k  e.  CC  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
116115adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
117 mul01 9801 . . . . . 6  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
118117adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
119 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )
120 nn0uz 11182 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
121104, 120syl6eleq 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
12272ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ZZ )
123 elfz5 11779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
124121, 122, 123syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
125 nn0re 10867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
126125ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
127 nnre 10605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
128127ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  RR )
129126, 128subge0d 10192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  <_  ( N  -  K )  <->  K  <_  N ) )
130124, 129bitr4d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  0  <_  ( N  -  K ) ) )
131119, 130mtbid 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  0  <_  ( N  -  K ) )
13274adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
133132zred 11029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
134 0re 9632 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
135 ltnle 9702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K ) ) )
136133, 134, 135sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K
) ) )
137131, 136mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  <  0 )
138 0z 10937 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
139 zltp1le 10975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  ( ( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 ) )
140132, 138, 139sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_ 
0 ) )
141137, 140mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 )
142 nn0ge0 10884 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
143142ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  <_  N )
144 0zd 10938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ZZ )
14575adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  ZZ )
146 elfz 11777 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  <-> 
( ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
147144, 145, 122, 146syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N )  <->  ( (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
148141, 143, 147mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )
149 simpll 758 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
150 0cn 9624 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
151 fvi 5929 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
152150, 151mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
153109, 114, 116, 118, 148, 149, 152seqz 12247 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  0 )
154153oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
(  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
)  =  ( 0  /  ( ! `  K ) ) )
155 bcval3 12477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
15620, 155syl3an2 1298 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
1571563expa 1205 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
158108, 154, 1573eqtr4rd 2472 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
159102, 158pm2.61dan 798 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   class class class wbr 4417    _I cid 4755   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533    < clt 9664    <_ cle 9665    - cmin 9849    / cdiv 10258   NNcn 10598   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ZZ>=cuz 11148   RR+crp 11291   ...cfz 11771    seqcseq 12199   !cfa 12445    _C cbc 12473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-fz 11772  df-seq 12200  df-fac 12446  df-bc 12474
This theorem is referenced by:  bcn2  12490
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