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Theorem bcval5 12364
Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient  ( N  _C  K )  =  ( N  x.  ( N  -  1 )  x. 
...  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  /  K ! explicitly. In this form, it is valid even for  N  <  K, although it is no longer valid for nonpositive  K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcval5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )

Proof of Theorem bcval5
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 12351 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
21adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )
3 mulcl 9576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  x
)  e.  CC )
43adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( k  x.  x
)  e.  CC )
5 mulass 9580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( k  x.  x
)  x.  y )  =  ( k  x.  ( x  x.  y
) ) )
65adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( k  x.  x )  x.  y
)  =  ( k  x.  ( x  x.  y ) ) )
7 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN )
8 elfzuz3 11685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
98adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
10 eluznn 11152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  NN )
117, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
1211adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
13 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  K  e.  NN )
14 nnre 10543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
15 nnrp 11229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR+ )
16 ltsubrp 11251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR+ )  -> 
( N  -  K
)  <  N )
1714, 15, 16syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  <  N )
1812, 13, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  <  N )
1912nnzd 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  ZZ )
20 nnz 10886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
2219, 21zsubcld 10971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
23 zltp1le 10912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  <->  ( ( N  -  K
)  +  1 )  <_  N ) )
2422, 19, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  <  N  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2518, 24mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  N )
2622peano2zd 10969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  ZZ )
27 eluz 11095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2826, 19, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2925, 28mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
30 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
31 nnuz 11117 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3230, 31syl6eleq 2565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
33 fvi 5924 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
34 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
3534zcnd 10967 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
3633, 35eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
3736adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
384, 6, 29, 32, 37seqsplit 12108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )
) )
39 facnn 12323 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
4012, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
41 facnn 12323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) ) )
4230, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) ) )
4342oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
4438, 40, 433eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
4544expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
46 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
47 faccl 12331 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
48 nncn 10544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
4946, 47, 483syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
5049mulid2d 9614 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
5111, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) )
5251oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
5350, 52eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
54 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  ( ! `  0
) )
55 fac0 12324 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 0 )  =  1
5654, 55syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  1 )
57 oveq1 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
58 0p1e1 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5957, 58syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  1 )
6059seqeq1d 12081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  )  =  seq 1 (  x.  ,  _I  ) )
6160fveq1d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
6256, 61oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
) )
6362eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )
)  <->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
6453, 63syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
65 fznn0sub 11716 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
6665adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
67 elnn0 10797 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
6866, 67sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
6945, 64, 68mpjaod 381 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
7069oveq1d 6299 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
71 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
72 nn0z 10887 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
73 zsubcl 10905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
7472, 20, 73syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
7574peano2zd 10969 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
7675adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
77 fvi 5924 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
78 eluzelz 11091 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
7978zcnd 10967 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  k  e.  CC )
8077, 79eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
8180adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
823adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
8371, 76, 81, 82seqf 12096 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) : ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) --> CC )
8411, 7, 17syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  <  N
)
8574adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
8611nnzd 10965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8785, 86, 23syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N
) )
8884, 87mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N )
8976, 86, 27syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <-> 
( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N )
)
9088, 89mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
9183, 90ffvelrnd 6022 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  e.  CC )
92 elfznn0 11770 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
9392adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN0 )
94 faccl 12331 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
9593, 94syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
9695nncnd 10552 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
97 faccl 12331 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
9866, 97syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  NN )
9998nncnd 10552 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  CC )
10095nnne0d 10580 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  =/=  0
)
10198nnne0d 10580 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  =/=  0
)
10291, 96, 99, 100, 101divcan5d 10346 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
1032, 70, 1023eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )
104 nnnn0 10802 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
105104ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  NN0 )
106 nncn 10544 . . . . 5  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
107 nnne0 10568 . . . . 5  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  ( ! `  K )  =/=  0 )
108106, 107div0d 10319 . . . 4  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  (
0  /  ( ! `
 K ) )  =  0 )
109105, 94, 1083syl 20 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  /  ( ! `
 K ) )  =  0 )
1103adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
111 fvi 5924 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
112 elfzelz 11688 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ZZ )
113112zcnd 10967 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  CC )
114111, 113eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
115114adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
116 mul02 9757 . . . . . 6  |-  ( k  e.  CC  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
117116adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
118 mul01 9758 . . . . . 6  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
119118adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
120 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )
121 nn0uz 11116 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
122105, 121syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
12372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ZZ )
124 elfz5 11680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
125122, 123, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
126 nn0re 10804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
127126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
128 nnre 10543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
129128ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  RR )
130127, 129subge0d 10142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  <_  ( N  -  K )  <->  K  <_  N ) )
131125, 130bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  0  <_  ( N  -  K ) ) )
132120, 131mtbid 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  0  <_  ( N  -  K ) )
13374adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
134133zred 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
135 0re 9596 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
136 ltnle 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K ) ) )
137134, 135, 136sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K
) ) )
138132, 137mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  <  0 )
139 0z 10875 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
140 zltp1le 10912 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  ( ( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 ) )
141133, 139, 140sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_ 
0 ) )
142138, 141mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 )
143 nn0ge0 10821 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
144143ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  <_  N )
145 0zd 10876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ZZ )
14675adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  ZZ )
147 elfz 11678 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  <-> 
( ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
148145, 146, 123, 147syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N )  <->  ( (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
149142, 144, 148mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )
150 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
151 0cn 9588 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
152 fvi 5924 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
153151, 152mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
154110, 115, 117, 119, 149, 150, 153seqz 12123 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  0 )
155154oveq1d 6299 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
(  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
)  =  ( 0  /  ( ! `  K ) ) )
156 bcval3 12352 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
15720, 156syl3an2 1262 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
1581573expa 1196 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
159109, 155, 1583eqtr4rd 2519 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
160103, 159pm2.61dan 789 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447    _I cid 4790   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   ...cfz 11672    seqcseq 12075   !cfa 12321    _C cbc 12348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-seq 12076  df-fac 12322  df-bc 12349
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