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Theorem bcval5 12541
Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient  ( N  _C  K )  =  ( N  x.  ( N  -  1 )  x. 
...  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  /  K ! explicitly. In this form, it is valid even for  N  <  K, although it is no longer valid for nonpositive  K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcval5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )

Proof of Theorem bcval5
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 12528 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
21adantl 473 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )
3 mulcl 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  x
)  e.  CC )
43adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( k  x.  x
)  e.  CC )
5 mulass 9645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( k  x.  x
)  x.  y )  =  ( k  x.  ( x  x.  y
) ) )
65adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( k  x.  x )  x.  y
)  =  ( k  x.  ( x  x.  y ) ) )
7 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN )
8 elfzuz3 11823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
98adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
10 eluznn 11252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  NN )
117, 9, 10syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
1211adantrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
13 simplr 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  K  e.  NN )
14 nnre 10638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
15 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR+ )
16 ltsubrp 11358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR+ )  -> 
( N  -  K
)  <  N )
1714, 15, 16syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  <  N )
1812, 13, 17syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  <  N )
1912nnzd 11062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  ZZ )
20 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
2120ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
2219, 21zsubcld 11068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
23 zltp1le 11010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  <->  ( ( N  -  K
)  +  1 )  <_  N ) )
2422, 19, 23syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  <  N  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2518, 24mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  N )
2622peano2zd 11066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  ZZ )
27 eluz 11196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2826, 19, 27syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2925, 28mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
30 simprr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
31 nnuz 11218 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3230, 31syl6eleq 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
33 fvi 5937 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
34 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
3534zcnd 11064 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
3633, 35eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
3736adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
384, 6, 29, 32, 37seqsplit 12284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )
) )
39 facnn 12499 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
4012, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
41 facnn 12499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) ) )
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) ) )
4342oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
4438, 40, 433eqtr4d 2515 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
4544expr 626 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
46 simpll 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
47 faccl 12507 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
48 nncn 10639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
5049mulid2d 9679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
5111, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) )
5251oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
5350, 52eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
54 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  ( ! `  0
) )
55 fac0 12500 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 0 )  =  1
5654, 55syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  1 )
57 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
58 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5957, 58syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  1 )
6059seqeq1d 12257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  )  =  seq 1 (  x.  ,  _I  ) )
6160fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
6256, 61oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
) )
6362eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )
)  <->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
6453, 63syl5ibrcom 230 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
65 fznn0sub 11857 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
6665adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
67 elnn0 10895 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
6866, 67sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
6945, 64, 68mpjaod 388 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
7069oveq1d 6323 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
71 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
72 nn0z 10984 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
73 zsubcl 11003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
7472, 20, 73syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
7574peano2zd 11066 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
7675adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
77 fvi 5937 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
78 eluzelcn 11194 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  k  e.  CC )
7977, 78eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
8079adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
813adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
8271, 76, 80, 81seqf 12272 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) : ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) --> CC )
8311, 7, 17syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  <  N
)
8474adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
8511nnzd 11062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8684, 85, 23syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N
) )
8783, 86mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N )
8876, 85, 27syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <-> 
( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N )
)
8987, 88mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
9082, 89ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  e.  CC )
91 elfznn0 11913 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
9291adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN0 )
93 faccl 12507 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
9492, 93syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
9594nncnd 10647 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
96 faccl 12507 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
9766, 96syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  NN )
9897nncnd 10647 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  CC )
9994nnne0d 10676 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  =/=  0
)
10097nnne0d 10676 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  =/=  0
)
10190, 95, 98, 99, 100divcan5d 10431 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
1022, 70, 1013eqtrd 2509 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )
103 nnnn0 10900 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
104103ad2antlr 741 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  NN0 )
105 nncn 10639 . . . . 5  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
106 nnne0 10664 . . . . 5  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  ( ! `  K )  =/=  0 )
107105, 106div0d 10404 . . . 4  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  (
0  /  ( ! `
 K ) )  =  0 )
108104, 93, 1073syl 18 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  /  ( ! `
 K ) )  =  0 )
1093adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
110 fvi 5937 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
111 elfzelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ZZ )
112111zcnd 11064 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  CC )
113110, 112eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
114113adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
115 mul02 9829 . . . . . 6  |-  ( k  e.  CC  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
116115adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
117 mul01 9830 . . . . . 6  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
118117adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
119 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )
120 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
121104, 120syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
12272ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ZZ )
123 elfz5 11818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
124121, 122, 123syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
125 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
126125ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
127 nnre 10638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
128127ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  RR )
129126, 128subge0d 10224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  <_  ( N  -  K )  <->  K  <_  N ) )
130124, 129bitr4d 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  0  <_  ( N  -  K ) ) )
131119, 130mtbid 307 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  0  <_  ( N  -  K ) )
13274adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
133132zred 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
134 0re 9661 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
135 ltnle 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K ) ) )
136133, 134, 135sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K
) ) )
137131, 136mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  <  0 )
138 0z 10972 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
139 zltp1le 11010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  ( ( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 ) )
140132, 138, 139sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_ 
0 ) )
141137, 140mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 )
142 nn0ge0 10919 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
143142ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  <_  N )
144 0zd 10973 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ZZ )
14575adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  ZZ )
146 elfz 11816 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  <-> 
( ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
147144, 145, 122, 146syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N )  <->  ( (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
148141, 143, 147mpbir2and 936 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )
149 simpll 768 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
150 0cn 9653 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
151 fvi 5937 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
152150, 151mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
153109, 114, 116, 118, 148, 149, 152seqz 12299 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  0 )
154153oveq1d 6323 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
(  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
)  =  ( 0  /  ( ! `  K ) ) )
155 bcval3 12529 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
15620, 155syl3an2 1326 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
1571563expa 1231 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
158108, 154, 1573eqtr4rd 2516 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
159102, 158pm2.61dan 808 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   class class class wbr 4395    _I cid 4749   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810    seqcseq 12251   !cfa 12497    _C cbc 12525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-seq 12252  df-fac 12498  df-bc 12526
This theorem is referenced by:  bcn2  12542
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