MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval4 Structured version   Unicode version

Theorem bcval4 12364
Description: Value of the binomial coefficient,  N choose  K, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  -> 
( N  _C  K
)  =  0 )

Proof of Theorem bcval4
StepHypRef Expression
1 elfzle1 11698 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
2 0re 9599 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3 elfzelz 11697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
43zred 10974 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  RR )
5 lenlt 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  K  <->  -.  K  <  0 ) )
62, 4, 5sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0  <_  K  <->  -.  K  <  0 ) )
71, 6mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  K  <  0 )
87adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  K  <  0 )
9 elfzle2 11699 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  <_  N )
109adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  <_  N
)
11 nn0re 10810 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
12 lenlt 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <_  N  <->  -.  N  <  K ) )
134, 11, 12syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  <_  N 
<->  -.  N  <  K
) )
1410, 13mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  N  <  K )
15 ioran 490 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( K  <  0  \/  N  <  K )  <-> 
( -.  K  <  0  /\  -.  N  <  K ) )
168, 14, 15sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  < 
K ) )
1716ex 434 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  <  K ) ) )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  < 
K ) ) )
1918con2d 115 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <  0  \/  N  < 
K )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... N ) ) )
20193impia 1194 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  ->  -.  K  e.  (
0 ... N ) )
21 bcval3 12363 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
2220, 21syld3an3 1274 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  -> 
( N  _C  K
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495    < clt 9631    <_ cle 9632   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ...cfz 11681    _C cbc 12359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-xr 9635  df-le 9637  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-bc 12360
This theorem is referenced by:  bc0k  12368  bcn1  12370  bcpasc  12378  hashf1  12485  ram0  14417  srgbinomlem3  17067  srgbinomlem4  17068  basellem2  23227  bcmono  23424  cusgrasizeindb1  24343  binomfallfaclem2  29137  altgsumbcALT  32675
  Copyright terms: Public domain W3C validator