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Theorem bcthlem5 21893
Description: Lemma for bcth 21894. The proof makes essential use of the Axiom of Dependent Choice axdc4uz 12096, which in the form used here accepts a "selection" function  F from each element of  K to a nonempty subset of  K, and the result function  g maps  g (
n  +  1 ) to an element of  F ( n ,  g ( n ) ). The trick here is thus in the choice of  F and  K: we let  K be the set of all tagged nonempty open sets (tagged here meaning that we have a point and an open set, in an ordered pair), and  F ( k ,  <. x ,  z >. ) gives the set of all balls of size less than  1  /  k, tagged by their centers, whose closures fit within the given open set  z and miss  M ( k ).

Since  M ( k ) is closed,  z  \  M ( k ) is open and also nonempty, since  z is nonempty and  M ( k ) has empty interior. Then there is some ball contained in it, and hence our function  F is valid (it never maps to the empty set). Now starting at a point in the interior of  U. ran  M, DC gives us the function  g all whose elements are constrained by  F acting on the previous value. (This is all proven in this lemma.) Now  g is a sequence of tagged open balls, forming an inclusion chain (see bcthlem2 21890) and whose sizes tend to zero, since they are bounded above by  1  /  k. Thus, the centers of these balls form a Cauchy sequence, and converge to a point  x (see bcthlem4 21892). Since the inclusion chain also ensures the closure of each ball is in the previous ball, the point  x must be in all these balls (see bcthlem3 21891) and hence misses each  M ( k ), contradicting the fact that  x is in the interior of  U. ran  M (which was the starting point). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2014.)

Hypotheses
Ref Expression
bcth.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
bcthlem.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bcthlem.5  |-  F  =  ( k  e.  NN ,  z  e.  ( X  X.  RR+ )  |->  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) } )
bcthlem.6  |-  ( ph  ->  M : NN --> ( Clsd `  J ) )
bcthlem5.7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
bcthlem5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  =  (/) )
Distinct variable groups:    k, r, x, z, D    k, F, r, x, z    k, J, r, x, z    k, M, r, x, z    ph, k,
r, x, z    k, X, r, x, z

Proof of Theorem bcthlem5
Dummy variables  n  g  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 21851 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 metxmet 20963 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
41, 2, 33syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
5 bcth.2 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntop 21069 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 bcthlem.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M : NN --> ( Clsd `  J ) )
9 frn 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  ->  ran  M 
C_  ( Clsd `  J
) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  M  C_  ( Clsd `  J ) )
11 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1211cldss2 19658 . . . . . . . 8  |-  ( Clsd `  J )  C_  ~P U. J
1310, 12syl6ss 3511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  M  C_  ~P U. J )
14 sspwuni 4421 . . . . . . 7  |-  ( ran 
M  C_  ~P U. J  <->  U.
ran  M  C_  U. J
)
1513, 14sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  M  C_  U. J )
1611ntropn 19677 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U.
ran  M  C_  U. J
)  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  e.  J )
177, 15, 16syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  e.  J )
184, 17jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  e.  J ) )
195mopni2 21122 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  e.  J  /\  n  e.  (
( int `  J
) `  U. ran  M
) )  ->  E. m  e.  RR+  ( n (
ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
) )
20193expa 1196 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  e.  J )  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )  ->  E. m  e.  RR+  ( n (
ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
) )
2118, 20sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )  ->  E. m  e.  RR+  ( n (
ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
) )
225mopnuni 21070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
234, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
2411topopn 19542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
257, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. J  e.  J
)
2623, 25eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
27 reex 9600 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
28 rpssre 11255 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  C_  RR
2927, 28ssexi 4601 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  e.  _V
30 xpexg 6601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  J  /\  RR+ 
e.  _V )  ->  ( X  X.  RR+ )  e.  _V )
3126, 29, 30sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  X.  RR+ )  e.  _V )
32313ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( X  X.  RR+ )  e.  _V )
3311ntrss3 19688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U.
ran  M  C_  U. J
)  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  C_  U. J )
347, 15, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  C_  U. J )
3534, 23sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  C_  X )
36353ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  C_  X )
37 simp2 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )
3836, 37sseldd 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  n  e.  X )
39 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  m  e.  RR+ )
40 opelxpi 5040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  X  /\  m  e.  RR+ )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  RR+ ) )
4138, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  RR+ ) )
42 opabssxp 5083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) } 
C_  ( X  X.  RR+ )
43 elpw2g 4619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  X.  RR+ )  e.  _V  ->  ( { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) }  e.  ~P ( X  X.  RR+ )  <->  {
<. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) }  C_  ( X  X.  RR+ ) ) )
4431, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ~P ( X  X.  RR+ )  <->  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) } 
C_  ( X  X.  RR+ ) ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ~P ( X  X.  RR+ )  <->  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) } 
C_  ( X  X.  RR+ ) ) )
4642, 45mpbiri 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ~P ( X  X.  RR+ ) )
47 bcthlem5.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =  (/) )
48 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  -> 
k  e.  NN )
49 rspa 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =  (/)  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `  ( M `  k )
)  =  (/) )
5047, 48, 49syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =  (/) )
51 ssdif0 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ball `  D
) `  z )  C_  ( M `  k
)  <->  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  =  (/) )
52 1st2nd2 6836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( X  X.  RR+ )  ->  z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
5352ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
5453fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  =  ( ( ball `  D ) `  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. ) )
55 df-ov 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1st `  z ) ( ball `  D
) ( 2nd `  z
) )  =  ( ( ball `  D
) `  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z )
>. )
5654, 55syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  =  ( ( 1st `  z ) ( ball `  D ) ( 2nd `  z ) ) )
574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
58 xp1st 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( X  X.  RR+ )  ->  ( 1st `  z )  e.  X
)
5958ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( 1st `  z
)  e.  X )
60 xp2nd 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( X  X.  RR+ )  ->  ( 2nd `  z )  e.  RR+ )
6160ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  RR+ )
62 bln0 21044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( 1st `  z
)  e.  X  /\  ( 2nd `  z )  e.  RR+ )  ->  (
( 1st `  z
) ( ball `  D
) ( 2nd `  z
) )  =/=  (/) )
6357, 59, 61, 62syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( 1st `  z
) ( ball `  D
) ( 2nd `  z
) )  =/=  (/) )
6456, 63eqnetrd 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  =/=  (/) )
657adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  J  e.  Top )
66 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k )  e.  ( Clsd `  J
) )
678, 48, 66syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( M `  k
)  e.  ( Clsd `  J ) )
6811cldss 19657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M `  k )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( M `  k )  C_  U. J
)
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( M `  k
)  C_  U. J )
7061rpxrd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  RR* )
715blopn 21129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( 1st `  z
)  e.  X  /\  ( 2nd `  z )  e.  RR* )  ->  (
( 1st `  z
) ( ball `  D
) ( 2nd `  z
) )  e.  J
)
7257, 59, 70, 71syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( 1st `  z
) ( ball `  D
) ( 2nd `  z
) )  e.  J
)
7356, 72eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  e.  J )
7411ssntr 19686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  k
)  C_  U. J )  /\  ( ( (
ball `  D ) `  z )  e.  J  /\  ( ( ball `  D
) `  z )  C_  ( M `  k
) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  C_  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) ) )
7574expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  k
)  C_  U. J )  /\  ( ( ball `  D ) `  z
)  e.  J )  ->  ( ( (
ball `  D ) `  z )  C_  ( M `  k )  ->  ( ( ball `  D
) `  z )  C_  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) ) ) )
7665, 69, 73, 75syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( ball `  D ) `  z
)  C_  ( M `  k )  ->  (
( ball `  D ) `  z )  C_  (
( int `  J
) `  ( M `  k ) ) ) )
77 ssn0 3827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ball `  D
) `  z )  C_  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  /\  ( ( ball `  D
) `  z )  =/=  (/) )  ->  (
( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =/=  (/) )
7877expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ball `  D
) `  z )  =/=  (/)  ->  ( (
( ball `  D ) `  z )  C_  (
( int `  J
) `  ( M `  k ) )  -> 
( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =/=  (/) ) )
7964, 76, 78sylsyld 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( ball `  D ) `  z
)  C_  ( M `  k )  ->  (
( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =/=  (/) ) )
8051, 79syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  =  (/)  ->  (
( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =/=  (/) ) )
8180necon2d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  ( M `  k )
)  =  (/)  ->  (
( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) )  =/=  (/) ) )
8250, 81mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) )  =/=  (/) )
83 n0 3803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )
8443ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8511difopn 19662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ball `  D
) `  z )  e.  J  /\  ( M `  k )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) )  e.  J )
8673, 67, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) )  e.  J )
87863adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  e.  J )
88 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  x  e.  ( ( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) ) )
89 simp2l 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  k  e.  NN )
90 nnrp 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
9190rpreccld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
9289, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )
935mopni3 21123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( (
( ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  e.  J  /\  x  e.  ( (
( ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) )  /\  (
1  /  k )  e.  RR+ )  ->  E. n  e.  RR+  ( n  < 
( 1  /  k
)  /\  ( x
( ball `  D )
n )  C_  (
( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) ) ) )
9484, 87, 88, 92, 93syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  E. n  e.  RR+  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )
95 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ph )
96 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ball `  D
) `  z )  e.  J  ->  ( (
ball `  D ) `  z )  C_  U. J
)
9773, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  C_ 
U. J )
9823adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  X  =  U. J )
9997, 98sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  C_  X )
10099ssdifssd 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) )  C_  X )
101100sseld 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( x  e.  ( ( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) )  ->  x  e.  X )
)
1021013impia 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  x  e.  X
)
103 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )
104 rphalfcl 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  /  2 )  e.  RR+ )
105 rphalflt 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  /  2 )  < 
n )
106 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( r  =  ( n  / 
2 )  ->  (
r  <  n  <->  ( n  /  2 )  < 
n ) )
107106rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  /  2
)  e.  RR+  /\  (
n  /  2 )  <  n )  ->  E. r  e.  RR+  r  <  n )
108104, 105, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  RR+  ->  E. r  e.  RR+  r  <  n
)
109108ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  r  <  n )
110 df-rex 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E. r  e.  RR+  r  <  n  <->  E. r ( r  e.  RR+  /\  r  <  n ) )
111 simpr3 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR+ )
112111rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR )
113 simpr1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  n  e.  RR+ )
114113rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  n  e.  RR )
115 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  k  e.  NN )
116115nnrecred 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( 1  /  k )  e.  RR )
117 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  <  n )
118 lttr 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( r  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
1  /  k )  e.  RR )  -> 
( ( r  < 
n  /\  n  <  ( 1  /  k ) )  ->  r  <  ( 1  /  k ) ) )
119118expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( r  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  /\  r  <  n
)  ->  ( n  <  ( 1  /  k
)  ->  r  <  ( 1  /  k ) ) )
120112, 114, 116, 117, 119syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( n  <  ( 1  /  k
)  ->  r  <  ( 1  /  k ) ) )
1214anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )
)
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X ) )
123 rpxr 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
124 rpxr 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e. 
RR* )
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( r  <  n  ->  r  <  n )
126123, 124, 1253anim123i 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  n  e.  RR+  /\  r  < 
n )  ->  (
r  e.  RR*  /\  n  e.  RR*  /\  r  < 
n ) )
1271263coml 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  e.  RR*  /\  n  e.  RR*  /\  r  < 
n ) )
1285blsscls 21136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
r  e.  RR*  /\  n  e.  RR*  /\  r  < 
n ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( x ( ball `  D ) n ) )
129122, 127, 128syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( x ( ball `  D ) r ) )  C_  ( x
( ball `  D )
n ) )
130 sstr2 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( x ( ball `  D ) n )  ->  ( ( x ( ball `  D
) n )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
x ( ball `  D
) n )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) )
132120, 131anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) )  ->  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) )
133 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  X )
134133, 111jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )
135132, 134jctild 543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) )  ->  (
( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) )
1361353exp2 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  ( n  e.  RR+  ->  ( r  < 
n  ->  ( r  e.  RR+  ->  ( (
n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) )  ->  (
( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) ) ) ) )
137136com35 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  ( n  e.  RR+  ->  ( ( n  <  ( 1  / 
k )  /\  (
x ( ball `  D
) n )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ( r  e.  RR+  ->  ( r  < 
n  ->  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) ) ) ) )
138137imp5d 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )  -> 
( ( r  e.  RR+  /\  r  <  n
)  ->  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) )
139138eximdv 1711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )  -> 
( E. r ( r  e.  RR+  /\  r  <  n )  ->  E. r
( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) ) )
140110, 139syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  r  <  n  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) ) )
141109, 140mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) )
142141ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( n  <  ( 1  / 
k )  /\  (
x ( ball `  D
) n )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) )
143142rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  ( E. n  e.  RR+  ( n  < 
( 1  /  k
)  /\  ( x
( ball `  D )
n )  C_  (
( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) )
14495, 102, 103, 143syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ( E. n  e.  RR+  ( n  < 
( 1  /  k
)  /\  ( x
( ball `  D )
n )  C_  (
( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) )
14594, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) )
1461453expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( x  e.  ( ( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) ) )
147146eximdv 1711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( E. x  x  e.  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  ->  E. x E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) ) )
14883, 147syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  =/=  (/)  ->  E. x E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) ) )
14982, 148mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  E. x E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) )
150 opabn0 4787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) }  =/=  (/)  <->  E. x E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) )
151149, 150sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  =/=  (/) )
152 eldifsn 4157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) }  e.  ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/) } )  <->  ( { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ~P ( X  X.  RR+ )  /\  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) }  =/=  (/) ) )
15346, 151, 152sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/)
} ) )
154153ralrimivva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  A. z  e.  ( X  X.  RR+ ) { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/)
} ) )
155 bcthlem.5 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( k  e.  NN ,  z  e.  ( X  X.  RR+ )  |->  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) } )
156155fmpt2 6866 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  A. z  e.  ( X  X.  RR+ ) { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/)
} )  <->  F :
( NN  X.  ( X  X.  RR+ ) ) --> ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/) } ) )
157154, 156sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( NN 
X.  ( X  X.  RR+ ) ) --> ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/) } ) )
1581573ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  F :
( NN  X.  ( X  X.  RR+ ) ) --> ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/) } ) )
159 1z 10915 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
160 nnuz 11141 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
161159, 160axdc4uz 12096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  X.  RR+ )  e.  _V  /\  <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  RR+ )  /\  F : ( NN 
X.  ( X  X.  RR+ ) ) --> ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  ( g `  1
)  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )
16232, 41, 158, 161syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  E. g
( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  ( g `  1
)  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )
163 simpl1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  ph )
164163, 1syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
165163, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  M : NN --> ( Clsd `  J
) )
166 simpl3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
16738adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  n  e.  X )
168 simpr1 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  g : NN --> ( X  X.  RR+ ) )
169 simpr2 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >. )
170 simpr3 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) )
171 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
172171fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
g `  ( n  +  1 ) )  =  ( g `  ( k  +  1 ) ) )
173 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
174 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
g `  n )  =  ( g `  k ) )
175173, 174oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n F ( g `
 n ) )  =  ( k F ( g `  k
) ) )
176172, 175eleq12d 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( g `  (
n  +  1 ) )  e.  ( n F ( g `  n ) )  <->  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
177176cbvralv 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  (
g `  ( n  +  1 ) )  e.  ( n F ( g `  n
) )  <->  A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) )
178170, 177sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) )
1795, 164, 155, 165, 166, 167, 168, 169, 178bcthlem4 21892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  (
( n ( ball `  D ) m ) 
\  U. ran  M )  =/=  (/) )
180162, 179exlimddv 1727 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( (
n ( ball `  D
) m )  \  U. ran  M )  =/=  (/) )
18111ntrss2 19685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U.
ran  M  C_  U. J
)  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  C_  U.
ran  M )
1827, 15, 181syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  C_  U. ran  M
)
183 sstr2 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n ( ball `  D
) m )  C_  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  ->  ( (
( int `  J
) `  U. ran  M
)  C_  U. ran  M  ->  ( n ( ball `  D ) m ) 
C_  U. ran  M ) )
184182, 183syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( n (
ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
)  ->  ( n
( ball `  D )
m )  C_  U. ran  M ) )
185 ssdif0 3888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n ( ball `  D
) m )  C_  U.
ran  M  <->  ( ( n ( ball `  D
) m )  \  U. ran  M )  =  (/) )
186184, 185syl6ib 226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n (
ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
)  ->  ( (
n ( ball `  D
) m )  \  U. ran  M )  =  (/) ) )
187186necon3ad 2667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n ( ball `  D
) m )  \  U. ran  M )  =/=  (/)  ->  -.  ( n
( ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
) ) )
1881873ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( (
( n ( ball `  D ) m ) 
\  U. ran  M )  =/=  (/)  ->  -.  (
n ( ball `  D
) m )  C_  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) ) )
189180, 188mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  -.  (
n ( ball `  D
) m )  C_  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )
1901893expa 1196 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )  /\  m  e.  RR+ )  ->  -.  ( n ( ball `  D ) m ) 
C_  ( ( int `  J ) `  U. ran  M ) )
191190nrexdv 2913 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )  ->  -.  E. m  e.  RR+  (
n ( ball `  D
) m )  C_  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )
19221, 191pm2.65da 576 . 2  |-  ( ph  ->  -.  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )
193192eq0rdv 3829 1  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   {copab 4514    X. cxp 5006   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512   RR*cxr 9644    < clt 9645    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   RR+crp 11245   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   ballcbl 18532   MetOpencmopn 18535   Topctop 19521   Clsdccld 19644   intcnt 19645   clsccl 19646   CMetcms 21819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-dc 8843  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lm 19857  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-cfil 21820  df-cau 21821  df-cmet 21822
This theorem is referenced by:  bcth  21894
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