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Theorem bcthlem5 22374
 Description: Lemma for bcth 22375. The proof makes essential use of the Axiom of Dependent Choice axdc4uz 12234, which in the form used here accepts a "selection" function from each element of to a nonempty subset of , and the result function maps to an element of . The trick here is thus in the choice of and : we let be the set of all tagged nonempty open sets (tagged here meaning that we have a point and an open set, in an ordered pair), and gives the set of all balls of size less than , tagged by their centers, whose closures fit within the given open set and miss . Since is closed, is open and also nonempty, since is nonempty and has empty interior. Then there is some ball contained in it, and hence our function is valid (it never maps to the empty set). Now starting at a point in the interior of , DC gives us the function all whose elements are constrained by acting on the previous value. (This is all proven in this lemma.) Now is a sequence of tagged open balls, forming an inclusion chain (see bcthlem2 22371) and whose sizes tend to zero, since they are bounded above by . Thus, the centers of these balls form a Cauchy sequence, and converge to a point (see bcthlem4 22373). Since the inclusion chain also ensures the closure of each ball is in the previous ball, the point must be in all these balls (see bcthlem3 22372) and hence misses each , contradicting the fact that is in the interior of (which was the starting point). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2
bcthlem.4
bcthlem.5
bcthlem.6
bcthlem5.7
Assertion
Ref Expression
bcthlem5
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,

Proof of Theorem bcthlem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.4 . . . . . 6
2 cmetmet 22334 . . . . . 6
3 metxmet 21427 . . . . . 6
41, 2, 33syl 18 . . . . 5
5 bcth.2 . . . . . . . 8
65mopntop 21533 . . . . . . 7
74, 6syl 17 . . . . . 6
8 bcthlem.6 . . . . . . . . 9
9 frn 5747 . . . . . . . . 9
108, 9syl 17 . . . . . . . 8
11 eqid 2471 . . . . . . . . 9
1211cldss2 20122 . . . . . . . 8
1310, 12syl6ss 3430 . . . . . . 7
14 sspwuni 4360 . . . . . . 7
1513, 14sylib 201 . . . . . 6
1611ntropn 20141 . . . . . 6
177, 15, 16syl2anc 673 . . . . 5
184, 17jca 541 . . . 4
195mopni2 21586 . . . . 5
20193expa 1231 . . . 4
2118, 20sylan 479 . . 3
225mopnuni 21534 . . . . . . . . . . . 12
234, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11
2411topopn 20013 . . . . . . . . . . . 12
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11
2623, 25eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
27 reex 9648 . . . . . . . . . . 11
28 rpssre 11335 . . . . . . . . . . 11
2927, 28ssexi 4541 . . . . . . . . . 10
30 xpexg 6612 . . . . . . . . . 10
3126, 29, 30sylancl 675 . . . . . . . . 9
32313ad2ant1 1051 . . . . . . . 8
3311ntrss3 20152 . . . . . . . . . . . . 13
347, 15, 33syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
3534, 23sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . 11
36353ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10
37 simp2 1031 . . . . . . . . . 10
3836, 37sseldd 3419 . . . . . . . . 9
39 simp3 1032 . . . . . . . . 9
40 opelxpi 4871 . . . . . . . . 9
4138, 39, 40syl2anc 673 . . . . . . . 8
42 opabssxp 4914 . . . . . . . . . . . . 13
43 elpw2g 4564 . . . . . . . . . . . . . . 15
4431, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
4642, 45mpbiri 241 . . . . . . . . . . . 12
47 bcthlem5.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 rspa 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5047, 48, 49syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 ssdif0 3741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 1st2nd2 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5352ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5453fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
55 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5654, 55syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
574adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
58 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5958ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6160ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62 bln0 21508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6357, 59, 61, 62syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6456, 63eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
657adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
66 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
678, 48, 66syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6811cldss 20121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7061rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
715blopn 21593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7257, 59, 70, 71syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7356, 72eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7411ssntr 20150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7574expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7665, 69, 73, 75syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77 ssn0 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7877expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7964, 76, 78sylsyld 57 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8051, 79syl5bir 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8180necon2d 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15
8250, 81mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
83 n0 3732 . . . . . . . . . . . . . . 15
8443ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8511difopn 20126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8673, 67, 85syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87863adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89 simp2l 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
90 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9190rpreccld 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9289, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
935mopni3 21587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9484, 87, 88, 92, 93syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
96 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9773, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9823adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9997, 98sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10099ssdifssd 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101100sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1021013impia 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
105 rphalflt 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
106 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
107106rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
108104, 105, 107syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
109108ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
110 df-rex 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
111 simpr3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
112111rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
113 simpr1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
114113rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
115 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
116115nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
117 simpr2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
118 lttr 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
119118expdimp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
120112, 114, 116, 117, 119syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1214anim1i 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
123 rpxr 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
124 rpxr 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
126123, 124, 1253anim123i 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1271263coml 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1285blsscls 21600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
129122, 127, 128syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
130 sstr2 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
132120, 131anim12d 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
133 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
134133, 111jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
135132, 134jctild 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1361353exp2 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
137136com35 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
138137imp5d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
139138eximdv 1772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140110, 139syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
141109, 140mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
142141ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
143142rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14495, 102, 103, 143syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14594, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1461453expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . 16
147146eximdv 1772 . . . . . . . . . . . . . . 15
14883, 147syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . 14
14982, 148mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
150 opabn0 4732 . . . . . . . . . . . . 13
151149, 150sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12
152 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . 12
15346, 151, 152sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11
154153ralrimivva 2814 . . . . . . . . . 10
155 bcthlem.5 . . . . . . . . . . 11
156155fmpt2 6879 . . . . . . . . . 10
157154, 156sylib 201 . . . . . . . . 9
1581573ad2ant1 1051 . . . . . . . 8
159 1z 10991 . . . . . . . . 9
160 nnuz 11218 . . . . . . . . 9
161159, 160axdc4uz 12234 . . . . . . . 8
16232, 41, 158, 161syl3anc 1292 . . . . . . 7
163 simpl1 1033 . . . . . . . . 9
164163, 1syl 17 . . . . . . . 8
165163, 8syl 17 . . . . . . . 8
166 simpl3 1035 . . . . . . . 8
16738adantr 472 . . . . . . . 8
168 simpr1 1036 . . . . . . . 8
169 simpr2 1037 . . . . . . . 8
170 simpr3 1038 . . . . . . . . 9
171 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12
172171fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
173 id 22 . . . . . . . . . . . 12
174 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
175173, 174oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11
176172, 175eleq12d 2543 . . . . . . . . . 10
177176cbvralv 3005 . . . . . . . . 9
178170, 177sylib 201 . . . . . . . 8
1795, 164, 155, 165, 166, 167, 168, 169, 178bcthlem4 22373 . . . . . . 7
180162, 179exlimddv 1789 . . . . . 6
18111ntrss2 20149 . . . . . . . . . . 11
1827, 15, 181syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
183 sstr2 3425 . . . . . . . . . 10
184182, 183syl5com 30 . . . . . . . . 9
185 ssdif0 3741 . . . . . . . . 9
186184, 185syl6ib 234 . . . . . . . 8
187186necon3ad 2656 . . . . . . 7
1881873ad2ant1 1051 . . . . . 6
189180, 188mpd 15 . . . . 5
1901893expa 1231 . . . 4
191190nrexdv 2842 . . 3
19221, 191pm2.65da 586 . 2
193192eq0rdv 3773 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cdif 3387   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cop 3965  cuni 4190   class class class wbr 4395  copab 4453   cxp 4837   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c1st 6810  c2nd 6811  cr 9556  c1 9558   caddc 9560  cxr 9692   clt 9693   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  crp 11325  cxmt 19032  cme 19033  cbl 19034  cmopn 19037  ctop 19994  ccld 20108  cnt 20109  ccl 20110  cms 22302 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-dc 8894  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lm 20322  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-cfil 22303  df-cau 22304  df-cmet 22305 This theorem is referenced by:  bcth  22375
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