Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bcthlem4 22288
 Description: Lemma for bcth 22290. Given any open ball as starting point (and in particular, a ball in ), the limit point of the centers of the induced sequence of balls is outside . Note that a set has empty interior iff every nonempty open set contains points outside , i.e. . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2
bcthlem.4
bcthlem.5
bcthlem.6
bcthlem.7
bcthlem.8
bcthlem.9
bcthlem.10
bcthlem.11
Assertion
Ref Expression
bcthlem4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem bcthlem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.4 . . . 4
2 cmetmet 22249 . . . . . . 7
31, 2syl 17 . . . . . 6
4 metxmet 21342 . . . . . 6
53, 4syl 17 . . . . 5
6 bcthlem.9 . . . . 5
7 bcth.2 . . . . . 6
8 bcthlem.5 . . . . . 6
9 bcthlem.6 . . . . . 6
10 bcthlem.7 . . . . . 6
11 bcthlem.8 . . . . . 6
12 bcthlem.10 . . . . . 6
13 bcthlem.11 . . . . . 6
147, 1, 8, 9, 10, 11, 6, 12, 13bcthlem2 22286 . . . . 5
15 elrp 11301 . . . . . . . . 9
16 nnrecl 10864 . . . . . . . . 9
1715, 16sylbi 199 . . . . . . . 8
1817adantl 468 . . . . . . 7
19 peano2nn 10618 . . . . . . . . . 10
2019adantl 468 . . . . . . . . 9
21 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
24 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2523, 24oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2622, 25eleq12d 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726rspccva 3148 . . . . . . . . . . . . . 14
2813, 27sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13
296ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . . . . 14
307, 1, 8bcthlem1 22285 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130expr 619 . . . . . . . . . . . . . 14
3229, 31mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
3328, 32mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12
3433simp2d 1020 . . . . . . . . . . 11
3534adantlr 720 . . . . . . . . . 10
3633simp1d 1019 . . . . . . . . . . . . . 14
37 xp2nd 6821 . . . . . . . . . . . . . 14
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
3938rpred 11338 . . . . . . . . . . . 12
4039adantlr 720 . . . . . . . . . . 11
41 nnrecre 10643 . . . . . . . . . . . 12
4241adantl 468 . . . . . . . . . . 11
43 rpre 11305 . . . . . . . . . . . 12
4443ad2antlr 732 . . . . . . . . . . 11
45 lttr 9707 . . . . . . . . . . 11
4640, 42, 44, 45syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10
4735, 46mpand 680 . . . . . . . . 9
48 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . 12
4948fveq2d 5867 . . . . . . . . . . 11
5049breq1d 4411 . . . . . . . . . 10
5150rspcev 3149 . . . . . . . . 9
5220, 47, 51syl6an 548 . . . . . . . 8
5352rexlimdva 2878 . . . . . . 7
5418, 53mpd 15 . . . . . 6
5554ralrimiva 2801 . . . . 5
565, 6, 14, 55caubl 22270 . . . 4
577cmetcau 22252 . . . 4
581, 56, 57syl2anc 666 . . 3
59 fo1st 6810 . . . . . 6
60 fofun 5792 . . . . . 6
6159, 60ax-mp 5 . . . . 5
62 vex 3047 . . . . 5
63 cofunexg 6754 . . . . 5
6461, 62, 63mp2an 677 . . . 4
6564eldm 5031 . . 3
6658, 65sylib 200 . 2
67 1nn 10617 . . . . . 6
687, 1, 8, 9, 10, 11, 6, 12, 13bcthlem3 22287 . . . . . 6
6967, 68mp3an3 1352 . . . . 5
7012fveq2d 5867 . . . . . . 7
71 df-ov 6291 . . . . . . 7
7270, 71syl6eqr 2502 . . . . . 6
7372adantr 467 . . . . 5
7469, 73eleqtrd 2530 . . . 4
757mopntop 21448 . . . . . . . . . . . . . 14
765, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
785adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14
79 xp1st 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15
8036, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
8138rpxrd 11339 . . . . . . . . . . . . . 14
82 blssm 21426 . . . . . . . . . . . . . 14
8378, 80, 81, 82syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13
84 1st2nd2 6827 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8536, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . 14
87 df-ov 6291 . . . . . . . . . . . . . 14
8886, 87syl6reqr 2503 . . . . . . . . . . . . 13
897mopnuni 21449 . . . . . . . . . . . . . . 15
905, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
9190adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
9283, 88, 913sstr3d 3473 . . . . . . . . . . . 12
93 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13
9493sscls 20064 . . . . . . . . . . . 12
9577, 92, 94syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11
9633simp3d 1021 . . . . . . . . . . 11
9795, 96sstrd 3441 . . . . . . . . . 10
98973adant2 1026 . . . . . . . . 9
997, 1, 8, 9, 10, 11, 6, 12, 13bcthlem3 22287 . . . . . . . . . 10
10019, 99syl3an3 1302 . . . . . . . . 9
10198, 100sseldd 3432 . . . . . . . 8
102101eldifbd 3416 . . . . . . 7
1031023expa 1207 . . . . . 6
104103ralrimiva 2801 . . . . 5
105 eluni2 4201 . . . . . . . . 9
106 ffn 5726 . . . . . . . . . . 11
1079, 106syl 17 . . . . . . . . . 10
108 eleq2 2517 . . . . . . . . . . 11
109108rexrn 6022 . . . . . . . . . 10
110107, 109syl 17 . . . . . . . . 9
111105, 110syl5bb 261 . . . . . . . 8
112111notbid 296 . . . . . . 7
113 ralnex 2833 . . . . . . 7
114112, 113syl6bbr 267 . . . . . 6
115114biimpar 488 . . . . 5
116104, 115syldan 473 . . . 4
11774, 116eldifd 3414 . . 3
118 ne0i 3736 . . 3
119117, 118syl 17 . 2
12066, 119exlimddv 1780 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443  wex 1662   wcel 1886   wne 2621  wral 2736  wrex 2737  cvv 3044   cdif 3400   wss 3403  c0 3730  cop 3973  cuni 4197   class class class wbr 4401  copab 4459   cxp 4831   cdm 4833   crn 4834   ccom 4837   wfun 5575   wfn 5576  wf 5577  wfo 5579  cfv 5581  (class class class)co 6288   cmpt2 6290  c1st 6788  c2nd 6789  cr 9535  cc0 9536  c1 9537   caddc 9539  cxr 9671   clt 9672   cdiv 10266  cn 10606  crp 11299  cxmt 18948  cme 18949  cbl 18950  cmopn 18953  ctop 19910  ccld 20024  ccl 20026  clm 20235  cca 22216  cms 22217 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ico 11638  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lm 20238  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-cfil 22218  df-cau 22219  df-cmet 22220 This theorem is referenced by:  bcthlem5  22289
 Copyright terms: Public domain W3C validator