Theorem bcthlem1 9277

Description: Lemma for bcth 9310. Property of exponentially decreasing terms.

Assertion

Ref	Expression
bcthlem1	|- (((m e. NN /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))

Proof of Theorem bcthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 7163	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
2		2pos 7173	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
3		ltdiv1OLD 7032	. . . . . . . . 9 |- (((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
4	2, 3	mpan2 760	. . . . . . . 8 |- ((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR /\ 2 e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
5	1, 4	mp3an3 1180	. . . . . . 7 |- ((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
6		reexpcl 7823	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ m e. NN0) -> (2^m) e. RR)
7	1, 6	mpan 759	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (2^m) e. RR)
8		2cn 7164	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
9		2ne0 7174	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
10		expne0i 7830	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. CC /\ 2 =/= 0 /\ m e. NN0) -> (2^m) =/= 0)
11	8, 9, 10	mp3an12 1181	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (2^m) =/= 0)
12		rereccl 6981	. . . . . . . 8 |- (((2^m) e. RR /\ (2^m) =/= 0) -> (1 / (2^m)) e. RR)
13	7, 11, 12	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^m)) e. RR)
14	5, 13	sylan2 500	. . . . . 6 |- ((Y e. RR /\ m e. NN0) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
15	14	ancoms 484	. . . . 5 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
16	7	recnd 6468	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> (2^m) e. CC)
17		recdiv2 6974	. . . . . . . . . 10 |- ((((2^m) e. CC /\ (2^m) =/= 0) /\ (2 e. CC /\ 2 =/= 0)) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
18	8, 9, 17	mpanr12 778	. . . . . . . . 9 |- (((2^m) e. CC /\ (2^m) =/= 0) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
19	16, 11, 18	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
20		expp1 7817	. . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ m e. NN0) -> (2^(m + 1)) = ((2^m) x. 2))
21	8, 20	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> (2^(m + 1)) = ((2^m) x. 2))
22	21	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) = (1 / ((2^m) x. 2)))
23	19, 22	eqtr4d 1928	. . . . . . 7 |- (m e. NN0 -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / (2^(m + 1))))
24	23	adantr 425	. . . . . 6 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / (2^(m + 1))))
25	24	breq2d 3350	. . . . 5 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> ((Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
26	15, 25	bitrd 587	. . . 4 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
27	26	adantr 425	. . 3 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
28		axlttrn 6673	. . . . . . . 8 |- ((Z e. RR /\ (Y / 2) e. RR /\ (1 / (2^(m + 1))) e. RR) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
29		rehalfcl 7220	. . . . . . . 8 |- (Y e. RR -> (Y / 2) e. RR)
30	28, 29	syl3an2 1131	. . . . . . 7 |- ((Z e. RR /\ Y e. RR /\ (1 / (2^(m + 1))) e. RR) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
31		peano2nn0 7333	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (m + 1) e. NN0)
32		reexpcl 7823	. . . . . . . . . 10 |- ((2 e. RR /\ (m + 1) e. NN0) -> (2^(m + 1)) e. RR)
33	1, 32	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- ((m + 1) e. NN0 -> (2^(m + 1)) e. RR)
34		expne0i 7830	. . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ 2 =/= 0 /\ (m + 1) e. NN0) -> (2^(m + 1)) =/= 0)
35	8, 9, 34	mp3an12 1181	. . . . . . . . 9 |- ((m + 1) e. NN0 -> (2^(m + 1)) =/= 0)
36		rereccl 6981	. . . . . . . . 9 |- (((2^(m + 1)) e. RR /\ (2^(m + 1)) =/= 0) -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
37	33, 35, 36	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- ((m + 1) e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
38	31, 37	syl 12	. . . . . . 7 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
39	30, 38	syl3an3 1132	. . . . . 6 |- ((Z e. RR /\ Y e. RR /\ m e. NN0) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
40	39	exp5o 1087	. . . . 5 |- (Z e. RR -> (Y e. RR -> (m e. NN0 -> (Z < (Y / 2) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1))))))))
41	40	com13 37	. . . 4 |- (m e. NN0 -> (Y e. RR -> (Z e. RR -> (Z < (Y / 2) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1))))))))
42	41	imp43 397	. . 3 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
43	27, 42	sylbid 220	. 2 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
44		nnnn0 7315	. 2 |- (m e. NN -> m e. NN0)
45	43, 44	sylanl1 509	1 |- (((m e. NN /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  2c2 7145  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  bcthlem17 9293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain