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Theorem bcth3 22285
Description: Baire's Category Theorem, version 3: The intersection of countably many dense open sets is dense. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
bcth3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X )
Distinct variable groups:    D, k    k, J    k, M    k, X

Proof of Theorem bcth3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 22242 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 21335 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
4 bcth.2 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
54mopntop 21441 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
65ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
7 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M : NN --> J  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  e.  J )
8 elssuni 4245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  k )  e.  J  ->  ( M `  k )  C_ 
U. J )
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M : NN --> J  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  C_  U. J )
109adantll 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k )  C_ 
U. J )
11 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1211clsval2 20051 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  k ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )
136, 10, 12syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )
144mopnuni 21442 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
1514ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  X  =  U. J )
1613, 15eqeq12d 2444 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  <->  ( U. J  \  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J
) )
17 difeq2 3577 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  U. J ) )
18 difid 3863 . . . . . . . 8  |-  ( U. J  \  U. J )  =  (/)
1917, 18syl6eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  (/) )
20 difss 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. J  \  ( M `  k ) )  C_  U. J
2111ntropn 20050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  ( M `  k )
)  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  ( U. J  \  ( M `  k )
) )  e.  J
)
226, 20, 21sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )  e.  J )
23 elssuni 4245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )  e.  J  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J )
25 dfss4 3707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )
2624, 25sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )
27 id 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
28 elfvdm 5903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
29 difexg 4568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( X  \  ( M `  k )
)  e.  _V )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  e. 
_V )
3130adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  e. 
_V )
32 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  ( M `  x )  =  ( M `  k ) )
3332difeq2d 3583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  =  ( X  \  ( M `  k )
) )
34 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) )
3533, 34fvmptg 5958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( X  \  ( M `  k )
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k )  =  ( X  \  ( M `
 k ) ) )
3627, 31, 35syl2anr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  ( X 
\  ( M `  k ) ) )
3715difeq1d 3582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( M `  k
) ) )
3836, 37eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )
3938fveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  ( ( int `  J ) `
 ( U. J  \  ( M `  k
) ) ) )
4026, 39eqtr4d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) ) )
4140eqeq1d 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4219, 41syl5ib 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4316, 42sylbid 218 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  ->  ( ( int `  J ) `  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4443ralimdva 2833 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/) ) )
453, 44sylan 473 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J ) `  ( M `  k )
)  =  X  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
46 ffvelrn 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M : NN --> J  /\  x  e.  NN )  ->  ( M `  x
)  e.  J )
4714difeq1d 3582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  =  ( U. J  \ 
( M `  x
) ) )
4847adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( X  \  ( M `  x
) )  =  ( U. J  \  ( M `  x )
) )
4911opncld 20034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  x )  e.  J )  -> 
( U. J  \ 
( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
505, 49sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( U. J  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5148, 50eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( X  \  ( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
5246, 51sylan2 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( M : NN
--> J  /\  x  e.  NN ) )  -> 
( X  \  ( M `  x )
)  e.  ( Clsd `  J ) )
5352anassrs 652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  x  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5453ralrimiva 2839 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
553, 54sylan 473 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x )
)  e.  ( Clsd `  J ) )
5634fmpt 6054 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) : NN --> ( Clsd `  J
) )
5755, 56sylib 199 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
58 nne 2624 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  ( ( int `  J ) `  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k ) )  =  (/) )
5958ralbii 2856 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/) )
60 ralnex 2871 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/) )
6159, 60bitr3i 254 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  NN  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/)  <->  -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/) )
624bcth 22283 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J )  /\  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/) )
63623expia 1207 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )  =/=  (/)  ->  E. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/) ) )
6463necon1bd 2642 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/)  ->  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
6561, 64syl5bi 220 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/)  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
6657, 65syldan 472 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/)  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
67 difeq2 3577 . . . . 5  |-  ( ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/)  ->  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  (/) ) )
68 difexg 4568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( X  \  ( M `  x )
)  e.  _V )
6928, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V )
7069ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  x  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V )
7170ralrimiva 2839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  e.  _V )
7234fnmpt 5718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V  ->  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) )  Fn  NN )
73 fniunfv 6163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )
7471, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) )
7536iuneq2dv 4318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U_ k  e.  NN  ( X  \  ( M `  k )
) )
7633cbviunv 4335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  =  U_ k  e.  NN  ( X  \  ( M `  k ) )
7775, 76syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U_ x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x )
) )
7874, 77eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  U_ x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) ) )
79 iundif2 4363 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) )
8078, 79syl6eq 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) ) )
81 ffn 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M : NN --> J  ->  M  Fn  NN )
8281adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  M  Fn  NN )
83 fniinfv 5936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  Fn  NN  ->  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x )  =  |^| ran 
M )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x )  =  |^| ran 
M )
8584difeq2d 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) )  =  ( X 
\  |^| ran  M ) )
8614adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  X  =  U. J )
8786difeq1d 3582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  |^| ran  M
)  =  ( U. J  \  |^| ran  M
) )
8880, 85, 873eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  ( U. J  \  |^| ran 
M ) )
8988fveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) )
9089difeq2d 3583 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) ) )
915adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  J  e.  Top )
92 1nn 10620 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
93 biidd 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^| ran  M  C_  U. J
)  <->  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^| ran  M  C_  U. J
) ) )
94 fnfvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  e.  ran  M
)
9582, 94sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k )  e.  ran  M )
96 intss1 4267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M `  k )  e.  ran  M  ->  |^| ran  M  C_  ( M `  k )
)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ran  M 
C_  ( M `  k ) )
9897, 10sstrd 3474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J )
9998expcom 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J ) )
10093, 99vtoclga 3145 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J ) )
10192, 100ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J )
10211clsval2 20051 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  |^|
ran  M  C_  U. J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  M )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) ) )
10391, 101, 102syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  ( U. J  \  ( ( int `  J ) `  ( U. J  \  |^| ran  M ) ) ) )
10490, 103eqtr4d 2466 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
) )
105 dif0 3865 . . . . . . 7  |-  ( U. J  \  (/) )  =  U. J
10686, 105syl6reqr 2482 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (/) )  =  X )
107104, 106eqeq12d 2444 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  (/) )  <->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran 
M )  =  X ) )
10867, 107syl5ib 222 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X ) )
1093, 108sylan 473 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( ( ( int `  J ) `  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )  =  (/)  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran 
M )  =  X ) )
11045, 66, 1093syld 57 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J ) `  ( M `  k )
)  =  X  -> 
( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X ) )
1111103impia 1202 1  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U.cuni 4216   |^|cint 4252   U_ciun 4296   |^|_ciin 4297    |-> cmpt 4479   dom cdm 4849   ran crn 4850    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597   1c1 9540   NNcn 10609   *Metcxmt 18942   Metcme 18943   MetOpencmopn 18947   Topctop 19903   Clsdccld 20017   intcnt 20018   clsccl 20019   CMetcms 22210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-dc 8876  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-rest 15308  df-topgen 15329  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lm 20231  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-cfil 22211  df-cau 22212  df-cmet 22213
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