Theorem bcpasc2i 8219

Description: Pascal's rule for the binomial coefficient. Equation 2 of [Gleason] p. 295.

Hypotheses

Ref	Expression
bcpasc2.1	|- N e. NN
bcpasc2.2	|- K e. NN
bcpasc2.3	|- K <_ N

Assertion

Ref	Expression
bcpasc2i	|- ((N _C K) + (N _C (K - 1))) = ((N + 1) _C K)

Proof of Theorem bcpasc2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 6422	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		bcpasc2.2	. . . . . . 7 |- K e. NN
3	2	nncni 7115	. . . . . 6 |- K e. CC
4		bcpasc2.1	. . . . . . . . 9 |- N e. NN
5	4	nncni 7115	. . . . . . . 8 |- N e. CC
6	5, 3	subcli 6523	. . . . . . 7 |- (N - K) e. CC
7	6, 1	addcli 6473	. . . . . 6 |- ((N - K) + 1) e. CC
8	2	nnne0i 7134	. . . . . 6 |- K =/= 0
9		bcpasc2.3	. . . . . . . . 9 |- K <_ N
10	2	nnnn0i 7316	. . . . . . . . . 10 |- K e. NN0
11	4	nnnn0i 7316	. . . . . . . . . 10 |- N e. NN0
12		nn0sub 7370	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. NN0 /\ N e. NN0) -> (K <_ N <-> (N - K) e. NN0))
13	10, 11, 12	mp2an 761	. . . . . . . . 9 |- (K <_ N <-> (N - K) e. NN0)
14	9, 13	mpbi 206	. . . . . . . 8 |- (N - K) e. NN0
15		nn0p1nn 7384	. . . . . . . 8 |- ((N - K) e. NN0 -> ((N - K) + 1) e. NN)
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((N - K) + 1) e. NN
17	16	nnne0i 7134	. . . . . 6 |- ((N - K) + 1) =/= 0
18	1, 3, 1, 7, 8, 17	divadddivi 6965	. . . . 5 |- ((1 / K) + (1 / ((N - K) + 1))) = (((1 x. ((N - K) + 1)) + (K x. 1)) / (K x. ((N - K) + 1)))
19	7	mulid2i 6486	. . . . . . . 8 |- (1 x. ((N - K) + 1)) = ((N - K) + 1)
20	3	mulid1i 6485	. . . . . . . 8 |- (K x. 1) = K
21	19, 20	opreq12i 4894	. . . . . . 7 |- ((1 x. ((N - K) + 1)) + (K x. 1)) = (((N - K) + 1) + K)
22	6, 1, 3	add23i 6495	. . . . . . 7 |- (((N - K) + 1) + K) = (((N - K) + K) + 1)
23		npcan 6559	. . . . . . . . 9 |- ((N e. CC /\ K e. CC) -> ((N - K) + K) = N)
24	5, 3, 23	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- ((N - K) + K) = N
25	24	opreq1i 4892	. . . . . . 7 |- (((N - K) + K) + 1) = (N + 1)
26	21, 22, 25	3eqtri 1912	. . . . . 6 |- ((1 x. ((N - K) + 1)) + (K x. 1)) = (N + 1)
27	26	opreq1i 4892	. . . . 5 |- (((1 x. ((N - K) + 1)) + (K x. 1)) / (K x. ((N - K) + 1))) = ((N + 1) / (K x. ((N - K) + 1)))
28	18, 27	eqtri 1908	. . . 4 |- ((1 / K) + (1 / ((N - K) + 1))) = ((N + 1) / (K x. ((N - K) + 1)))
29	28	opreq2i 4893	. . 3 |- (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. ((1 / K) + (1 / ((N - K) + 1)))) = (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. ((N + 1) / (K x. ((N - K) + 1))))
30		faccl 8192	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN)
31	11, 30	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (!` N) e. NN
32	31	nncni 7115	. . . . 5 |- (!` N) e. CC
33		nnge1 7126	. . . . . . . . . 10 |- (K e. NN -> 1 <_ K)
34	2, 33	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ K
35		1nn0 7323	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
36		nn0sub 7370	. . . . . . . . . 10 |- ((1 e. NN0 /\ K e. NN0) -> (1 <_ K <-> (K - 1) e. NN0))
37	35, 10, 36	mp2an 761	. . . . . . . . 9 |- (1 <_ K <-> (K - 1) e. NN0)
38	34, 37	mpbi 206	. . . . . . . 8 |- (K - 1) e. NN0
39		faccl 8192	. . . . . . . 8 |- ((K - 1) e. NN0 -> (!` (K - 1)) e. NN)
40	38, 39	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (!` (K - 1)) e. NN
41		faccl 8192	. . . . . . . 8 |- ((N - K) e. NN0 -> (!` (N - K)) e. NN)
42	14, 41	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (!` (N - K)) e. NN
43		nnmulcl 7124	. . . . . . 7 |- (((!` (K - 1)) e. NN /\ (!` (N - K)) e. NN) -> ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) e. NN)
44	40, 42, 43	mp2an 761	. . . . . 6 |- ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) e. NN
45	44	nncni 7115	. . . . 5 |- ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) e. CC
46	44	nnne0i 7134	. . . . 5 |- ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) =/= 0
47	32, 45, 46	divcli 6899	. . . 4 |- ((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) e. CC
48	3, 8	reccli 6902	. . . 4 |- (1 / K) e. CC
49	7, 17	reccli 6902	. . . 4 |- (1 / ((N - K) + 1)) e. CC
50	47, 48, 49	adddii 6479	. . 3 |- (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. ((1 / K) + (1 / ((N - K) + 1)))) = ((((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. (1 / K)) + (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. (1 / ((N - K) + 1))))
51	11, 35	nn0addcli 7330	. . . . . 6 |- (N + 1) e. NN0
52	51	nn0cni 7320	. . . . 5 |- (N + 1) e. CC
53	3, 7	mulcli 6474	. . . . 5 |- (K x. ((N - K) + 1)) e. CC
54	3, 7, 8, 17	mulne0i 6888	. . . . 5 |- (K x. ((N - K) + 1)) =/= 0
55	32, 45, 52, 53, 46, 54	divmuldivi 6963	. . . 4 |- (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. ((N + 1) / (K x. ((N - K) + 1)))) = (((!` N) x. (N + 1)) / (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. (K x. ((N - K) + 1))))
56		facp1 8188	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1)))
57	11, 56	ax-mp 7	. . . . 5 |- (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1))
58	2	nnrei 7114	. . . . . . . . . . 11 |- K e. RR
59	51	nn0rei 7319	. . . . . . . . . . 11 |- (N + 1) e. RR
60		nnleltp1 7138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. NN /\ N e. NN) -> (K <_ N <-> K < (N + 1)))
61	2, 4, 60	mp2an 761	. . . . . . . . . . . 12 |- (K <_ N <-> K < (N + 1))
62	9, 61	mpbi 206	. . . . . . . . . . 11 |- K < (N + 1)
63	58, 59, 62	ltleii 6756	. . . . . . . . . 10 |- K <_ (N + 1)
64		nn0sub 7370	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. NN0 /\ (N + 1) e. NN0) -> (K <_ (N + 1) <-> ((N + 1) - K) e. NN0))
65	10, 51, 64	mp2an 761	. . . . . . . . . 10 |- (K <_ (N + 1) <-> ((N + 1) - K) e. NN0)
66	63, 65	mpbi 206	. . . . . . . . 9 |- ((N + 1) - K) e. NN0
67		faccl 8192	. . . . . . . . 9 |- (((N + 1) - K) e. NN0 -> (!` ((N + 1) - K)) e. NN)
68	66, 67	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (!` ((N + 1) - K)) e. NN
69	68	nncni 7115	. . . . . . 7 |- (!` ((N + 1) - K)) e. CC
70		faccl 8192	. . . . . . . . 9 |- (K e. NN0 -> (!` K) e. NN)
71	10, 70	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (!` K) e. NN
72	71	nncni 7115	. . . . . . 7 |- (!` K) e. CC
73	69, 72	mulcomi 6476	. . . . . 6 |- ((!` ((N + 1) - K)) x. (!` K)) = ((!` K) x. (!` ((N + 1) - K)))
74		facnn2 8191	. . . . . . . 8 |- (K e. NN -> (!` K) = ((!` (K - 1)) x. K))
75	2, 74	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (!` K) = ((!` (K - 1)) x. K)
76	5, 1, 3	addsubi 6547	. . . . . . . . 9 |- ((N + 1) - K) = ((N - K) + 1)
77	76	fveq2i 4684	. . . . . . . 8 |- (!` ((N + 1) - K)) = (!` ((N - K) + 1))
78		facp1 8188	. . . . . . . . 9 |- ((N - K) e. NN0 -> (!` ((N - K) + 1)) = ((!` (N - K)) x. ((N - K) + 1)))
79	14, 78	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (!` ((N - K) + 1)) = ((!` (N - K)) x. ((N - K) + 1))
80	77, 79	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- (!` ((N + 1) - K)) = ((!` (N - K)) x. ((N - K) + 1))
81	75, 80	opreq12i 4894	. . . . . 6 |- ((!` K) x. (!` ((N + 1) - K))) = (((!` (K - 1)) x. K) x. ((!` (N - K)) x. ((N - K) + 1)))
82	40	nncni 7115	. . . . . . 7 |- (!` (K - 1)) e. CC
83	42	nncni 7115	. . . . . . 7 |- (!` (N - K)) e. CC
84	82, 3, 83, 7	mul4i 6588	. . . . . 6 |- (((!` (K - 1)) x. K) x. ((!` (N - K)) x. ((N - K) + 1))) = (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. (K x. ((N - K) + 1)))
85	73, 81, 84	3eqtri 1912	. . . . 5 |- ((!` ((N + 1) - K)) x. (!` K)) = (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. (K x. ((N - K) + 1)))
86	57, 85	opreq12i 4894	. . . 4 |- ((!` (N + 1)) / ((!` ((N + 1) - K)) x. (!` K))) = (((!` N) x. (N + 1)) / (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. (K x. ((N - K) + 1))))
87	55, 86	eqtr4i 1911	. . 3 |- (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. ((N + 1) / (K x. ((N - K) + 1)))) = ((!` (N + 1)) / ((!` ((N + 1) - K)) x. (!` K)))
88	29, 50, 87	3eqtr3i 1918	. 2 |- ((((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. (1 / K)) + (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. (1 / ((N - K) + 1)))) = ((!` (N + 1)) / ((!` ((N + 1) - K)) x. (!` K)))
89	32	mulid1i 6485	. . . . 5 |- ((!` N) x. 1) = (!` N)
90	82, 83, 3	mul23i 6587	. . . . . 6 |- (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. K) = (((!` (K - 1)) x. K) x. (!` (N - K)))
91	75	opreq1i 4892	. . . . . 6 |- ((!` K) x. (!` (N - K))) = (((!` (K - 1)) x. K) x. (!` (N - K)))
92	72, 83	mulcomi 6476	. . . . . 6 |- ((!` K) x. (!` (N - K))) = ((!` (N - K)) x. (!` K))
93	90, 91, 92	3eqtr2i 1915	. . . . 5 |- (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. K) = ((!` (N - K)) x. (!` K))
94	89, 93	opreq12i 4894	. . . 4 |- (((!` N) x. 1) / (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. K)) = ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K)))
95	32, 45, 1, 3, 46, 8	divmuldivi 6963	. . . 4 |- (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. (1 / K)) = (((!` N) x. 1) / (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. K))
96		bcval2 8211	. . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N _C K) = ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))))
97	11, 10, 9, 96	mp3an 1191	. . . 4 |- (N _C K) = ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K)))
98	94, 95, 97	3eqtr4ri 1923	. . 3 |- (N _C K) = (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. (1 / K))
99	82, 83, 7	mulassi 6478	. . . . . 6 |- (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. ((N - K) + 1)) = ((!` (K - 1)) x. ((!` (N - K)) x. ((N - K) + 1)))
100		subsub 6627	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. CC /\ K e. CC /\ 1 e. CC) -> (N - (K - 1)) = ((N - K) + 1))
101	5, 3, 1, 100	mp3an 1191	. . . . . . . . 9 |- (N - (K - 1)) = ((N - K) + 1)
102	101	fveq2i 4684	. . . . . . . 8 |- (!` (N - (K - 1))) = (!` ((N - K) + 1))
103	102, 79	eqtr2i 1909	. . . . . . 7 |- ((!` (N - K)) x. ((N - K) + 1)) = (!` (N - (K - 1)))
104	103	opreq2i 4893	. . . . . 6 |- ((!` (K - 1)) x. ((!` (N - K)) x. ((N - K) + 1))) = ((!` (K - 1)) x. (!` (N - (K - 1))))
105		1re 6598	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
106	4	nnrei 7114	. . . . . . . . . . . 12 |- N e. RR
107	58, 105, 106	lesubaddi 6771	. . . . . . . . . . 11 |- ((K - 1) <_ N <-> K <_ (N + 1))
108	63, 107	mpbir 207	. . . . . . . . . 10 |- (K - 1) <_ N
109		nn0sub 7370	. . . . . . . . . . 11 |- (((K - 1) e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((K - 1) <_ N <-> (N - (K - 1)) e. NN0))
110	38, 11, 109	mp2an 761	. . . . . . . . . 10 |- ((K - 1) <_ N <-> (N - (K - 1)) e. NN0)
111	108, 110	mpbi 206	. . . . . . . . 9 |- (N - (K - 1)) e. NN0
112		faccl 8192	. . . . . . . . 9 |- ((N - (K - 1)) e. NN0 -> (!` (N - (K - 1))) e. NN)
113	111, 112	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (!` (N - (K - 1))) e. NN
114	113	nncni 7115	. . . . . . 7 |- (!` (N - (K - 1))) e. CC
115	82, 114	mulcomi 6476	. . . . . 6 |- ((!` (K - 1)) x. (!` (N - (K - 1)))) = ((!` (N - (K - 1))) x. (!` (K - 1)))
116	99, 104, 115	3eqtri 1912	. . . . 5 |- (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. ((N - K) + 1)) = ((!` (N - (K - 1))) x. (!` (K - 1)))
117	89, 116	opreq12i 4894	. . . 4 |- (((!` N) x. 1) / (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. ((N - K) + 1))) = ((!` N) / ((!` (N - (K - 1))) x. (!` (K - 1))))
118	32, 45, 1, 7, 46, 17	divmuldivi 6963	. . . 4 |- (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. (1 / ((N - K) + 1))) = (((!` N) x. 1) / (((!` (K - 1)) x. (!` (N - K))) x. ((N - K) + 1)))
119		bcval2 8211	. . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ (K - 1) e. NN0 /\ (K - 1) <_ N) -> (N _C (K - 1)) = ((!` N) / ((!` (N - (K - 1))) x. (!` (K - 1)))))
120	11, 38, 108, 119	mp3an 1191	. . . 4 |- (N _C (K - 1)) = ((!` N) / ((!` (N - (K - 1))) x. (!` (K - 1))))
121	117, 118, 120	3eqtr4ri 1923	. . 3 |- (N _C (K - 1)) = (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. (1 / ((N - K) + 1)))
122	98, 121	opreq12i 4894	. 2 |- ((N _C K) + (N _C (K - 1))) = ((((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. (1 / K)) + (((!` N) / ((!` (K - 1)) x. (!` (N - K)))) x. (1 / ((N - K) + 1))))
123		bcval2 8211	. . 3 |- (((N + 1) e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ (N + 1)) -> ((N + 1) _C K) = ((!` (N + 1)) / ((!` ((N + 1) - K)) x. (!` K))))
124	51, 10, 63, 123	mp3an 1191	. 2 |- ((N + 1) _C K) = ((!` (N + 1)) / ((!` ((N + 1) - K)) x. (!` K)))
125	88, 122, 124	3eqtr4i 1921	1 |- ((N _C K) + (N _C (K - 1))) = ((N + 1) _C K)

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  !cfa 8183   _C cbc 8208

This theorem is referenced by:  bcpasc2 8220

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-fac 8184  df-bc 8209

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