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Theorem bcpasc2 8220
Description: Pascal's rule for the binomial coefficient. Equation 2 of [Gleason] p. 295.
Assertion
Ref Expression
bcpasc2 |- ((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N) -> ((N _C K) + (N _C (K - 1))) = ((N + 1) _C K))
Proof of Theorem bcpasc2
StepHypRef Expression
1 opreq1 4889 . . . 4 |- (N = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> (N _C K) = (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C K))
2 opreq1 4889 . . . 4 |- (N = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> (N _C (K - 1)) = (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C (K - 1)))
31, 2opreq12d 4900 . . 3 |- (N = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> ((N _C K) + (N _C (K - 1))) = ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C K) + (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C (K - 1))))
4 opreq1 4889 . . . 4 |- (N = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> (N + 1) = (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) + 1))
54opreq1d 4897 . . 3 |- (N = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> ((N + 1) _C K) = ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) + 1) _C K))
63, 5eqeq12d 1899 . 2 |- (N = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> (((N _C K) + (N _C (K - 1))) = ((N + 1) _C K) <-> ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C K) + (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C (K - 1))) = ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) + 1) _C K)))
7 opreq2 4890 . . . 4 |- (K = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C K) = (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1)))
8 opreq1 4889 . . . . 5 |- (K = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> (K - 1) = (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) - 1))
98opreq2d 4898 . . . 4 |- (K = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C (K - 1)) = (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) - 1)))
107, 9opreq12d 4900 . . 3 |- (K = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C K) + (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C (K - 1))) = ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1)) + (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) - 1))))
11 opreq2 4890 . . 3 |- (K = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) + 1) _C K) = ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) + 1) _C if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1)))
1210, 11eqeq12d 1899 . 2 |- (K = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> (((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C K) + (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C (K - 1))) = ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) + 1) _C K) <-> ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1)) + (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) - 1))) = ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) + 1) _C if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1))))
13 eleq1 1957 . . . . . 6 |- (N = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> (N e. NN <-> if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) e. NN))
14 breq2 3342 . . . . . 6 |- (N = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> (K <_ N <-> K <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1)))
1513, 143anbi13d 1170 . . . . 5 |- (N = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> ((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N) <-> (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) e. NN /\ K e. NN /\ K <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1))))
16 eleq1 1957 . . . . . 6 |- (K = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> (K e. NN <-> if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) e. NN))
17 breq1 3341 . . . . . 6 |- (K = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> (K <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) <-> if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1)))
1816, 173anbi23d 1171 . . . . 5 |- (K = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) e. NN /\ K e. NN /\ K <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1)) <-> (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) e. NN /\ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) e. NN /\ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1))))
19 eleq1 1957 . . . . . 6 |- (1 = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> (1 e. NN <-> if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) e. NN))
20 breq2 3342 . . . . . 6 |- (1 = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> (1 <_ 1 <-> 1 <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1)))
2119, 203anbi13d 1170 . . . . 5 |- (1 = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) -> ((1 e. NN /\ 1 e. NN /\ 1 <_ 1) <-> (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) e. NN /\ 1 e. NN /\ 1 <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1))))
22 eleq1 1957 . . . . . 6 |- (1 = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> (1 e. NN <-> if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) e. NN))
23 breq1 3341 . . . . . 6 |- (1 = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> (1 <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) <-> if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1)))
2422, 233anbi23d 1171 . . . . 5 |- (1 = if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) -> ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) e. NN /\ 1 e. NN /\ 1 <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1)) <-> (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) e. NN /\ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) e. NN /\ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1))))
25 1nn 7117 . . . . . 6 |- 1 e. NN
26 1re 6598 . . . . . . 7 |- 1 e. RR
2726leidi 6790 . . . . . 6 |- 1 <_ 1
2825, 25, 273pm3.2i 1048 . . . . 5 |- (1 e. NN /\ 1 e. NN /\ 1 <_ 1)
2915, 18, 21, 24, 28elimhyp2v 3022 . . . 4 |- (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) e. NN /\ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) e. NN /\ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1))
3029simp1i 885 . . 3 |- if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) e. NN
3129simp2i 886 . . 3 |- if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) e. NN
3229simp3i 887 . . 3 |- if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) <_ if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1)
3330, 31, 32bcpasc2i 8219 . 2 |- ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1)) + (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) _C (if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1) - 1))) = ((if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), N, 1) + 1) _C if((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N), K, 1))
346, 12, 33dedth2v 3018 1 |- ((N e. NN /\ K e. NN /\ K <_ N) -> ((N _C K) + (N _C (K - 1))) = ((N + 1) _C K))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  ifcif 2982   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449   _C cbc 8208
This theorem is referenced by:  bcpasci 8221  bccl2 8223  bcxmas 8336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-fac 8184  df-bc 8209
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