MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcpasc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bcpasc 12506
Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers  K. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcpasc  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )

Proof of Theorem bcpasc
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 10910 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
2 elfzp12 11873 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
3 nn0uz 11193 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
42, 3eleq2s 2547 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
51, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
6 1p0e1 10722 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7 bcn0 12495 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )
8 0z 10948 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
9 1z 10967 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
10 zsubcl 10979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )
118, 9, 10mp2an 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
12 0re 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
13 ltm1 10445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  -  1 )  <  0
1514orci 392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  N  <  ( 0  -  1 ) )
16 bcval4 12492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  N  <  ( 0  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
1711, 15, 16mp3an23 1356 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
187, 17oveq12d 6308 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( 1  +  0 ) )
19 bcn0 12495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  0 )  =  1 )
201, 19syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  0 )  =  1 )
216, 18, 203eqtr4a 2511 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( ( N  + 
1 )  _C  0
) )
22 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  ( N  _C  K )  =  ( N  _C  0
) )
23 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  ( K  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
2423oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) )
2522, 24oveq12d 6308 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) ) )
26 oveq2 6298 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  +  1 )  _C  0 ) )
2725, 26eqeq12d 2466 . . . . . . 7  |-  ( K  =  0  ->  (
( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K )  <->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  0 ) ) )
2821, 27syl5ibrcom 226 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  =  0  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
29 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )
30 0p1e1 10721 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3130oveq1i 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3229, 31syl6eleq 2539 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
33 nn0p1nn 10909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
34 nnuz 11194 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
36 fzm1 11874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
3736biimpa 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
3835, 37sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( K  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
39 nn0cn 10879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
40 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
41 pncan 9881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
4239, 40, 41sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
4342oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
4443eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  <->  K  e.  ( 1 ... N
) ) )
4544biimpa 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( 1 ... N ) )
46 1eluzge0 11202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
47 fzss1 11837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4948sseli 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
50 bcp1n 12501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  _C  K )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  _C  K )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
52 bcrpcl 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
5453rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  CC )
55 elfzuz2 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5655, 34syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
5756peano2nnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
5857nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
5956nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  CC )
60 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
61 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
6261zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  CC )
6359, 60, 62addsubd 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  =  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
64 fznn0sub 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
65 nn0p1nn 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN )
6763, 66eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  NN )
6867nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  CC )
6967nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  =/=  0 )
7054, 58, 68, 69div12d 10419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
7167nnrpd 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  RR+ )
7253, 71rpdivcld 11358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  e.  RR+ )
7372rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  e.  CC )
7458, 73mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7570, 74eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7658, 62npcand 9990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  +  K )  =  ( N  + 
1 ) )
7776oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  +  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7873, 68, 62adddid 9667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  +  K ) )  =  ( ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  K
) ) )
7975, 77, 783eqtr2d 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  K
) ) )
8054, 68, 69divcan1d 10384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  =  ( N  _C  K ) )
81 elfznn 11828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
8281nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  =/=  0 )
8354, 68, 62, 69, 82divdiv2d 10415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  x.  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) ) )
84 bcm1k 12500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )
8559, 62, 60subsub3d 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  ( K  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  K ) )
8685oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )
8786oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K
) ) )
8884, 87eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K ) ) )
89 fzelp1 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
9057nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
91 elfzm1b 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9261, 90, 91syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9389, 92mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
9459, 40, 41sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
9594oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
9693, 95eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
97 bcrpcl 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  RR+ )
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  RR+ )
9998rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  CC )
10081nnrpd 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  RR+ )
10171, 100rpdivcld 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  e.  RR+ )
102101rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  e.  CC )
103101rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  =/=  0 )
10454, 99, 102, 103divmul3d 10417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K ) )  =  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  <->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) ) ) )
10588, 104mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )  =  ( N  _C  ( K  -  1
) ) )
10654, 62, 68, 69div23d 10420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  x.  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K ) )
10783, 105, 1063eqtr3rd 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K )  =  ( N  _C  ( K  -  1
) ) )
10880, 107oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  (
( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K ) )  =  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) ) )
10951, 79, 1083eqtrrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
11045, 109syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
111 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  K )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
11233nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
113 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
114113ltp1d 10537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  < 
( N  +  1 ) )
115114olcd 395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )
116 bcval4 12492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
117112, 115, 116mpd3an23 1366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( N  + 
1 ) )  =  0 )
118111, 117sylan9eqr 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
119 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  ( K  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
120119, 42sylan9eqr 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( K  - 
1 )  =  N )
121120oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  ( N  _C  N ) )
122 bcnn 12497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
123122adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
124121, 123eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  1 )
125118, 124oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( 0  +  1 ) )
126 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
127 bcnn 12497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  1 )
1281, 127syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  1 )
129126, 128sylan9eqr 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  _C  K )  =  1 )
13030, 125, 1293eqtr4a 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
131110, 130jaodan 794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  e.  (
1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
13238, 131syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
13332, 132syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
134133ex 436 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
13528, 134jaod 382 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
1365, 135sylbid 219 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
137136imp 431 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
138137adantlr 721 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
139 00id 9808 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
140 fzelp1 11848 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
141140con3i 141 . . . . 5  |-  ( -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  ->  -.  K  e.  (
0 ... N ) )
142 bcval3 12491 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
1431423expa 1208 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
144141, 143sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
145 simpll 760 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
146 simplr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
147 peano2zm 10980 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
148146, 147syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
14939adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
150149, 40, 41sylancl 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
151150oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
152151eleq2d 2514 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
153 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ZZ )
1541nn0zd 11038 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
155153, 154, 91syl2anr 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
156 fzp1ss 11847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
1578, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
15831, 157eqsstr3i 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
159158sseli 3428 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
160155, 159syl6bir 233 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
161152, 160sylbird 239 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
162161con3dimp 443 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  ( K  -  1
)  e.  ( 0 ... N ) )
163 bcval3 12491 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  -  1
)  e.  ZZ  /\  -.  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  0 )
164145, 148, 162, 163syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  0 )
165144, 164oveq12d 6308 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
166145, 1syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
167 simpr 463 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
168 bcval3 12491 . . . 4  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  +  1 )  _C  K )  =  0 )
169166, 146, 167, 168syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  0 )
170139, 165, 1693eqtr4a 2511 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
171138, 170pm2.61dan 800 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    C_ wss 3404   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11784    _C cbc 12487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12214  df-fac 12460  df-bc 12488
This theorem is referenced by:  bccl  12507  bcn2m1  12509  bcn2p1  12510  hashbclem  12615  binomlem  13887  bcxmas  13893  binomfallfaclem2  14093  srgbinomlem  17777  bcp1ctr  24207  bccolsum  30375  fwddifnp1  30932  dvnmul  37818  bcpascm1  40185
  Copyright terms: Public domain W3C validator