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Theorem bcpasc 12363
Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers  K. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcpasc  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )

Proof of Theorem bcpasc
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 10832 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
2 elfzp12 11753 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
3 nn0uz 11112 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
42, 3eleq2s 2575 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
6 1p0e1 10644 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7 bcn0 12352 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )
8 0z 10871 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
9 1z 10890 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
10 zsubcl 10901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )
118, 9, 10mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
12 0re 9592 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
13 ltm1 10378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  -  1 )  <  0
1514orci 390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  N  <  ( 0  -  1 ) )
16 bcval4 12349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  N  <  ( 0  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
1711, 15, 16mp3an23 1316 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
187, 17oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( 1  +  0 ) )
19 bcn0 12352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  0 )  =  1 )
201, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  0 )  =  1 )
216, 18, 203eqtr4a 2534 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( ( N  + 
1 )  _C  0
) )
22 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  ( N  _C  K )  =  ( N  _C  0
) )
23 oveq1 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  ( K  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
2423oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) )
2522, 24oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) ) )
26 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  +  1 )  _C  0 ) )
2725, 26eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( K  =  0  ->  (
( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K )  <->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  0 ) ) )
2821, 27syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  =  0  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
29 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )
30 0p1e1 10643 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3130oveq1i 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3229, 31syl6eleq 2565 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
33 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
34 nnuz 11113 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
36 fzm1 11754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
3736biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
3835, 37sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( K  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
39 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
40 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
41 pncan 9822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
4342oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
4443eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  <->  K  e.  ( 1 ... N
) ) )
4544biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( 1 ... N ) )
46 1nn0 10807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
4746, 3eleqtri 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
48 fzss1 11718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
5049sseli 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
51 bcp1n 12358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  _C  K )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  _C  K )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
53 bcrpcl 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
5450, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
5554rpcnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  CC )
56 elfzuz2 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5756, 34syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
5857peano2nnd 10549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
5958nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
6057nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  CC )
6140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
62 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
6362zcnd 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  CC )
6460, 61, 63addsubd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  =  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
65 fznn0sub 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
66 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN )
6864, 67eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  NN )
6968nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  CC )
7068nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  =/=  0 )
7155, 59, 69, 70div12d 10352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
7268nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  RR+ )
7354, 72rpdivcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  e.  RR+ )
7473rpcnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  e.  CC )
7559, 74mulcomd 9613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7671, 75eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7759, 63npcand 9930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  +  K )  =  ( N  + 
1 ) )
7877oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  +  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7974, 69, 63adddid 9616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  +  K ) )  =  ( ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  K
) ) )
8076, 78, 793eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  K
) ) )
8155, 69, 70divcan1d 10317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  =  ( N  _C  K ) )
82 elfznn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
8382nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  =/=  0 )
8455, 69, 63, 70, 83divdiv2d 10348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  x.  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) ) )
85 bcm1k 12357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )
8660, 63, 61subsub3d 9956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  ( K  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  K ) )
8786oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )
8887oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K
) ) )
8985, 88eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K ) ) )
90 fzelp1 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
9158nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
92 elfzm1b 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9362, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9490, 93mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
9560, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
9695oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
9794, 96eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
98 bcrpcl 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  RR+ )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  RR+ )
10099rpcnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  CC )
10182nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  RR+ )
10272, 101rpdivcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  e.  RR+ )
103102rpcnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  e.  CC )
104102rpne0d 11257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  =/=  0 )
10555, 100, 103, 104divmul3d 10350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K ) )  =  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  <->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) ) ) )
10689, 105mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )  =  ( N  _C  ( K  -  1
) ) )
10755, 63, 69, 70div23d 10353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  x.  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K ) )
10884, 106, 1073eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K )  =  ( N  _C  ( K  -  1
) ) )
10981, 108oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  (
( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K ) )  =  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) ) )
11052, 80, 1093eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
11145, 110syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
112 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  K )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
11333nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
114 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
115114ltp1d 10472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  < 
( N  +  1 ) )
116115olcd 393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )
117 bcval4 12349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
118113, 116, 117mpd3an23 1326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( N  + 
1 ) )  =  0 )
119112, 118sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
120 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  ( K  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
121120, 42sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( K  - 
1 )  =  N )
122121oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  ( N  _C  N ) )
123 bcnn 12354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
124123adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
125122, 124eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  1 )
126119, 125oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( 0  +  1 ) )
127 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
128 bcnn 12354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  1 )
1291, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  1 )
130127, 129sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  _C  K )  =  1 )
13130, 126, 1303eqtr4a 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
132111, 131jaodan 783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  e.  (
1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
13338, 132syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
13432, 133syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
135134ex 434 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
13628, 135jaod 380 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
1375, 136sylbid 215 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
138137imp 429 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
139138adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
140 00id 9750 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
141 fzelp1 11728 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
142141con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  ->  -.  K  e.  (
0 ... N ) )
143 bcval3 12348 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
1441433expa 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
145142, 144sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
146 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
147 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
148 peano2zm 10902 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
149147, 148syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
15039adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
151150, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
152151oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
153152eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
154 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ZZ )
1551nn0zd 10960 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
156154, 155, 92syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
157 fzp1ss 11727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
1588, 157ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
15931, 158eqsstr3i 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
160159sseli 3500 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
161156, 160syl6bir 229 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
162153, 161sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
163162con3dimp 441 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  ( K  -  1
)  e.  ( 0 ... N ) )
164 bcval3 12348 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  -  1
)  e.  ZZ  /\  -.  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  0 )
165146, 149, 163, 164syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  0 )
166145, 165oveq12d 6300 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
167146, 1syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
168 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
169 bcval3 12348 . . . 4  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  +  1 )  _C  K )  =  0 )
170167, 147, 168, 169syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  0 )
171140, 166, 1703eqtr4a 2534 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
172139, 171pm2.61dan 789 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ...cfz 11668    _C cbc 12344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-seq 12072  df-fac 12318  df-bc 12345
This theorem is referenced by:  bccl  12364  bcn2m1  12366  bcn2p1  12367  hashbclem  12463  binomlem  13600  bcxmas  13606  srgbinomlem  16983  bcp1ctr  23282  binomfallfaclem2  28739  bcpascm1  32004
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