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Theorem bcpasc 12375
Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers  K. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcpasc  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )

Proof of Theorem bcpasc
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 10839 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
2 elfzp12 11763 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
3 nn0uz 11121 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
42, 3eleq2s 2549 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
6 1p0e1 10651 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7 bcn0 12364 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )
8 0z 10878 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
9 1z 10897 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
10 zsubcl 10909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )
118, 9, 10mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
12 0re 9596 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
13 ltm1 10385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  -  1 )  <  0
1514orci 390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  N  <  ( 0  -  1 ) )
16 bcval4 12361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  N  <  ( 0  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
1711, 15, 16mp3an23 1315 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
187, 17oveq12d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( 1  +  0 ) )
19 bcn0 12364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  0 )  =  1 )
201, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  0 )  =  1 )
216, 18, 203eqtr4a 2508 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( ( N  + 
1 )  _C  0
) )
22 oveq2 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  ( N  _C  K )  =  ( N  _C  0
) )
23 oveq1 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  ( K  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
2423oveq2d 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) )
2522, 24oveq12d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) ) )
26 oveq2 6286 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  +  1 )  _C  0 ) )
2725, 26eqeq12d 2463 . . . . . . 7  |-  ( K  =  0  ->  (
( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K )  <->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  0 ) ) )
2821, 27syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  =  0  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
29 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )
30 0p1e1 10650 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3130oveq1i 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3229, 31syl6eleq 2539 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
33 nn0p1nn 10838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
34 nnuz 11122 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
36 fzm1 11764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
3736biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
3835, 37sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( K  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
39 nn0cn 10808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
40 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
41 pncan 9828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
4342oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
4443eleq2d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  <->  K  e.  ( 1 ... N
) ) )
4544biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( 1 ... N ) )
46 1eluzge0 11130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
47 fzss1 11728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4948sseli 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
50 bcp1n 12370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  _C  K )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  _C  K )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
52 bcrpcl 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
5349, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
5453rpcnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  CC )
55 elfzuz2 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5655, 34syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
5756peano2nnd 10556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
5857nncnd 10555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
5956nncnd 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  CC )
60 1cnd 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
61 elfzelz 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
6261zcnd 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  CC )
6359, 60, 62addsubd 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  =  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
64 fznn0sub 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
65 nn0p1nn 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN )
6763, 66eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  NN )
6867nncnd 10555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  CC )
6967nnne0d 10583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  =/=  0 )
7054, 58, 68, 69div12d 10359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
7167nnrpd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  RR+ )
7253, 71rpdivcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  e.  RR+ )
7372rpcnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  e.  CC )
7458, 73mulcomd 9617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7570, 74eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7658, 62npcand 9937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  +  K )  =  ( N  + 
1 ) )
7776oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  +  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7873, 68, 62adddid 9620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  +  K ) )  =  ( ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  K
) ) )
7975, 77, 783eqtr2d 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  K
) ) )
8054, 68, 69divcan1d 10324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  =  ( N  _C  K ) )
81 elfznn 11720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
8281nnne0d 10583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  =/=  0 )
8354, 68, 62, 69, 82divdiv2d 10355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  x.  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) ) )
84 bcm1k 12369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )
8559, 62, 60subsub3d 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  ( K  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  K ) )
8685oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )
8786oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K
) ) )
8884, 87eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K ) ) )
89 fzelp1 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
9057nnzd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
91 elfzm1b 11762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9261, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9389, 92mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
9459, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
9594oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
9693, 95eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
97 bcrpcl 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  RR+ )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  RR+ )
9998rpcnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  CC )
10081nnrpd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  RR+ )
10171, 100rpdivcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  e.  RR+ )
102101rpcnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  e.  CC )
103101rpne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  =/=  0 )
10454, 99, 102, 103divmul3d 10357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K ) )  =  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  <->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) ) ) )
10588, 104mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )  =  ( N  _C  ( K  -  1
) ) )
10654, 62, 68, 69div23d 10360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  x.  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K ) )
10783, 105, 1063eqtr3rd 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K )  =  ( N  _C  ( K  -  1
) ) )
10880, 107oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  (
( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K ) )  =  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) ) )
10951, 79, 1083eqtrrd 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
11045, 109syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
111 oveq2 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  K )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
11233nnzd 10970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
113 nn0re 10807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
114113ltp1d 10479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  < 
( N  +  1 ) )
115114olcd 393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )
116 bcval4 12361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
117112, 115, 116mpd3an23 1325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( N  + 
1 ) )  =  0 )
118111, 117sylan9eqr 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
119 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  ( K  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
120119, 42sylan9eqr 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( K  - 
1 )  =  N )
121120oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  ( N  _C  N ) )
122 bcnn 12366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
123122adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
124121, 123eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  1 )
125118, 124oveq12d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( 0  +  1 ) )
126 oveq2 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
127 bcnn 12366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  1 )
1281, 127syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  1 )
129126, 128sylan9eqr 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  _C  K )  =  1 )
13030, 125, 1293eqtr4a 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
131110, 130jaodan 783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  e.  (
1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
13238, 131syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
13332, 132syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
134133ex 434 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
13528, 134jaod 380 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
1365, 135sylbid 215 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
137136imp 429 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
138137adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
139 00id 9755 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
140 fzelp1 11738 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
141140con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  ->  -.  K  e.  (
0 ... N ) )
142 bcval3 12360 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
1431423expa 1195 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
144141, 143sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
145 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
146 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
147 peano2zm 10910 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
148146, 147syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
14939adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
150149, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
151150oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
152151eleq2d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
153 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ZZ )
1541nn0zd 10969 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
155153, 154, 91syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
156 fzp1ss 11737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
1578, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
15831, 157eqsstr3i 3518 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
159158sseli 3483 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
160155, 159syl6bir 229 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
161152, 160sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
162161con3dimp 441 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  ( K  -  1
)  e.  ( 0 ... N ) )
163 bcval3 12360 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  -  1
)  e.  ZZ  /\  -.  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  0 )
164145, 148, 162, 163syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  0 )
165144, 164oveq12d 6296 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
166145, 1syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
167 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
168 bcval3 12360 . . . 4  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  +  1 )  _C  K )  =  0 )
169166, 146, 167, 168syl3anc 1227 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  0 )
170139, 165, 1693eqtr4a 2508 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
171138, 170pm2.61dan 789 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    C_ wss 3459   class class class wbr 4434   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    - cmin 9807    / cdiv 10209   NNcn 10539   NN0cn0 10798   ZZcz 10867   ZZ>=cuz 11087   RR+crp 11226   ...cfz 11678    _C cbc 12356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-rp 11227  df-fz 11679  df-seq 12084  df-fac 12330  df-bc 12357
This theorem is referenced by:  bccl  12376  bcn2m1  12378  bcn2p1  12379  hashbclem  12477  binomlem  13617  bcxmas  13623  srgbinomlem  17066  bcp1ctr  23423  binomfallfaclem2  29134  bcpascm1  32668
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