Theorem bcp1ctr 22734

Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1ctr	|- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )

Proof of Theorem bcp1ctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 10571	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
2		df-2 10481	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
3	1, 2	eqtri 2480	. . . . . 6 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
4	3	oveq2i 6201	. . . . 5 |- ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) )
5		nn0cn 10690	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
6		2cn 10493	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
7		ax-1cn 9441	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
8		adddi 9472	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
9	6, 7, 8	mp3an13 1306	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
10	5, 9	syl 16	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
11		2nn0 10697	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
12		nn0mulcl 10717	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
13	11, 12	mpan 670	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
14	13	nn0cnd 10739	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) e. CC )
15		addass 9470	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
16	7, 7, 15	mp3an23 1307	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
17	14, 16	syl 16	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
18	4, 10, 17	3eqtr4a 2518	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) )
19	18	oveq1d 6205	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
20		peano2nn0 10721	. . . . 5 |- ( ( 2 x. N ) e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 )
21	13, 20	syl 16	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 )
22		nn0p1nn 10720	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
23	22	nnzd 10847	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
24		bcpasc 12198	. . . 4 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
25	21, 23, 24	syl2anc 661	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
26	19, 25	eqtr4d 2495	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
27		nn0z 10770	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
28		bccl 12199	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 )
29	13, 27, 28	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 )
30	29	nn0cnd 10739	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. CC )
31		2cnd 10495	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
32	21	nn0red 10738	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
33	32, 22	nndivred 10471	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) e. RR )
34	33	recnd 9513	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) e. CC )
35	30, 31, 34	mul12d 9679	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )
36	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
37	14, 36, 5	addsubd 9841	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) = ( ( ( 2 x. N ) - N ) + 1 ) )
38	5	2timesd 10668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
39	38	oveq1d 6205	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) - N ) = ( ( N + N ) - N ) )
40	5, 5	pncand 9821	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + N ) - N ) = N )
41	39, 40	eqtrd 2492	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) - N ) = N )
42	41	oveq1d 6205	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) - N ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
43	37, 42	eqtr2d 2493	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) )
44	43	oveq2d 6206	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) )
45	44	oveq2d 6206	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
46		fzctr 11630	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
47		bcp1n 12193	. . . . . . 7 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
49	45, 48	eqtr4d 2495	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
50	49	oveq2d 6206	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
51	35, 50	eqtrd 2492	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
52		bccmpl 12186	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) )
53	21, 23, 52	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) )
54	38	oveq1d 6205	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) = ( ( N + N ) + 1 ) )
55	5, 5, 36	addassd 9509	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + N ) + 1 ) = ( N + ( N + 1 ) ) )
56	54, 55	eqtrd 2492	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) = ( N + ( N + 1 ) ) )
57	56	oveq1d 6205	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) = ( ( N + ( N + 1 ) ) - ( N + 1 ) ) )
58	22	nncnd 10439	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
59	5, 58	pncand 9821	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + ( N + 1 ) ) - ( N + 1 ) ) = N )
60	57, 59	eqtrd 2492	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) = N )
61	60	oveq2d 6206	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
62	53, 61	eqtrd 2492	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
63		pncan 9717	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
64	5, 7, 63	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
65	64	oveq2d 6206	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
66	62, 65	oveq12d 6208	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
67		bccl 12199	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. NN0 )
68	21, 27, 67	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. NN0 )
69	68	nn0cnd 10739	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. CC )
70	69	2timesd 10668	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
71	66, 70	eqtr4d 2495	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
72	51, 71	eqtr4d 2495	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
73	26, 72	eqtr4d 2495	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758  (class class class)co 6190   CCcc 9381   0cc0 9383   1c1 9384   + caddc 9386   x. cmul 9388   - cmin 9696   / cdiv 10094   2c2 10472   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   ...cfz 11538   _C cbc 12179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-fz 11539  df-seq 11908  df-fac 12153  df-bc 12180

This theorem is referenced by:  bclbnd  22735