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Theorem bcp1ctr 23420
Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1ctr  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )

Proof of Theorem bcp1ctr
StepHypRef Expression
1 2t1e2 10696 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2 df-2 10606 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
31, 2eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
43oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) )
5 nn0cn 10817 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
6 2cn 10618 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
7 ax-1cn 9562 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 adddi 9593 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
96, 7, 8mp3an13 1315 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
105, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
11 2nn0 10824 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
12 nn0mulcl 10844 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
1311, 12mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e. 
NN0 )
1413nn0cnd 10866 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
15 addass 9591 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
167, 7, 15mp3an23 1316 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
1714, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
184, 10, 173eqtr4a 2534 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 ) )
1918oveq1d 6310 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
20 peano2nn0 10848 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e. 
NN0 )
2113, 20syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e. 
NN0 )
22 nn0p1nn 10847 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2322nnzd 10977 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
24 bcpasc 12379 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
2521, 23, 24syl2anc 661 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
2619, 25eqtr4d 2511 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
27 nn0z 10899 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
28 bccl 12380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN0 )
2913, 27, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e. 
NN0 )
3029nn0cnd 10866 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e.  CC )
31 2cnd 10620 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
3221nn0red 10865 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
3332, 22nndivred 10596 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
3433recnd 9634 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
3530, 31, 34mul12d 9800 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  _C  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
367a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
3714, 36, 5addsubd 9963 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  N )  +  1 ) )
3852timesd 10793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N
) )
3938oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  -  N )  =  ( ( N  +  N )  -  N
) )
405, 5pncand 9943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  N )  -  N )  =  N )
4139, 40eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  -  N )  =  N )
4241oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  -  N )  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
4337, 42eqtr2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  N
) )
4443oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  N ) ) )
4544oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  N ) ) ) )
46 fzctr 11796 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
47 bcp1n 12374 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  N ) ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  N ) ) ) )
4945, 48eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
5049oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
5135, 50eqtrd 2508 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
52 bccmpl 12367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) ) )
5321, 23, 52syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) ) )
5438oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =  ( ( N  +  N )  +  1 ) )
555, 5, 36addassd 9630 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  N )  +  1 )  =  ( N  +  ( N  +  1 ) ) )
5654, 55eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =  ( N  +  ( N  +  1 ) ) )
5756oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( N  +  ( N  +  1
) )  -  ( N  +  1 ) ) )
5822nncnd 10564 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
595, 58pncand 9943 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  ( N  +  1 ) )  -  ( N  + 
1 ) )  =  N )
6057, 59eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  =  N )
6160oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
6253, 61eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
63 pncan 9838 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
645, 7, 63sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6564oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
6662, 65oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
67 bccl 12380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
)  e.  NN0 )
6821, 27, 67syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  N )  e. 
NN0 )
6968nn0cnd 10866 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  N )  e.  CC )
70692timesd 10793 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
7166, 70eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
7251, 71eqtr4d 2511 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
7326, 72eqtr4d 2511 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817    / cdiv 10218   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ...cfz 11684    _C cbc 12360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-seq 12088  df-fac 12334  df-bc 12361
This theorem is referenced by:  bclbnd  23421
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