Theorem bcp1ctr 23420

Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1ctr	|- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )

Proof of Theorem bcp1ctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 10696	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
2		df-2 10606	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
3	1, 2	eqtri 2496	. . . . . 6 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
4	3	oveq2i 6306	. . . . 5 |- ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) )
5		nn0cn 10817	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
6		2cn 10618	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
7		ax-1cn 9562	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
8		adddi 9593	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
9	6, 7, 8	mp3an13 1315	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
10	5, 9	syl 16	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
11		2nn0 10824	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
12		nn0mulcl 10844	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
13	11, 12	mpan 670	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
14	13	nn0cnd 10866	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) e. CC )
15		addass 9591	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
16	7, 7, 15	mp3an23 1316	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
17	14, 16	syl 16	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
18	4, 10, 17	3eqtr4a 2534	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) )
19	18	oveq1d 6310	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
20		peano2nn0 10848	. . . . 5 |- ( ( 2 x. N ) e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 )
21	13, 20	syl 16	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 )
22		nn0p1nn 10847	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
23	22	nnzd 10977	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
24		bcpasc 12379	. . . 4 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
25	21, 23, 24	syl2anc 661	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
26	19, 25	eqtr4d 2511	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
27		nn0z 10899	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
28		bccl 12380	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 )
29	13, 27, 28	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 )
30	29	nn0cnd 10866	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. CC )
31		2cnd 10620	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
32	21	nn0red 10865	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
33	32, 22	nndivred 10596	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) e. RR )
34	33	recnd 9634	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) e. CC )
35	30, 31, 34	mul12d 9800	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )
36	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
37	14, 36, 5	addsubd 9963	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) = ( ( ( 2 x. N ) - N ) + 1 ) )
38	5	2timesd 10793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
39	38	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) - N ) = ( ( N + N ) - N ) )
40	5, 5	pncand 9943	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + N ) - N ) = N )
41	39, 40	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) - N ) = N )
42	41	oveq1d 6310	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) - N ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
43	37, 42	eqtr2d 2509	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) )
44	43	oveq2d 6311	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) )
45	44	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
46		fzctr 11796	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
47		bcp1n 12374	. . . . . . 7 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
49	45, 48	eqtr4d 2511	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
50	49	oveq2d 6311	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
51	35, 50	eqtrd 2508	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
52		bccmpl 12367	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) )
53	21, 23, 52	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) )
54	38	oveq1d 6310	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) = ( ( N + N ) + 1 ) )
55	5, 5, 36	addassd 9630	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + N ) + 1 ) = ( N + ( N + 1 ) ) )
56	54, 55	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) = ( N + ( N + 1 ) ) )
57	56	oveq1d 6310	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) = ( ( N + ( N + 1 ) ) - ( N + 1 ) ) )
58	22	nncnd 10564	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
59	5, 58	pncand 9943	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + ( N + 1 ) ) - ( N + 1 ) ) = N )
60	57, 59	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) = N )
61	60	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
62	53, 61	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
63		pncan 9838	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
64	5, 7, 63	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
65	64	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
66	62, 65	oveq12d 6313	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
67		bccl 12380	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. NN0 )
68	21, 27, 67	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. NN0 )
69	68	nn0cnd 10866	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. CC )
70	69	2timesd 10793	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
71	66, 70	eqtr4d 2511	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
72	51, 71	eqtr4d 2511	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
73	26, 72	eqtr4d 2511	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   x. cmul 9509   - cmin 9817   / cdiv 10218   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ...cfz 11684   _C cbc 12360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-seq 12088  df-fac 12334  df-bc 12361

This theorem is referenced by:  bclbnd  23421