MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn2m1 Structured version   Unicode version

Theorem bcn2m1 12357
Description: Compute the binomial coefficient " N choose 2 " from " ( N  -  1 ) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
bcn2m1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( N  _C  2 ) )

Proof of Theorem bcn2m1
StepHypRef Expression
1 nnm1nn0 10826 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
21nn0cnd 10843 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
3 2z 10885 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
4 bccl 12355 . . . . 5  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  2
)  e.  NN0 )
51, 3, 4sylancl 662 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  2 )  e.  NN0 )
65nn0cnd 10843 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  2 )  e.  CC )
72, 6addcomd 9770 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  2 )  +  ( N  -  1 ) ) )
8 bcn1 12346 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  _C  1 )  =  ( N  -  1 ) )
98eqcomd 2468 . . . . 5  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( N  - 
1 )  _C  1
) )
101, 9syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  _C  1 ) )
11 1e2m1 10640 . . . . . 6  |-  1  =  ( 2  -  1 )
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
1312oveq2d 6291 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  1 )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )
1410, 13eqtrd 2501 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )
1514oveq2d 6291 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  _C  2
)  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  2 )  +  ( ( N  - 
1 )  _C  (
2  -  1 ) ) ) )
16 bcpasc 12354 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  2 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  2 ) )
171, 3, 16sylancl 662 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  _C  2
)  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  2 ) )
18 nncn 10533 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
19 ax-1cn 9539 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
2118, 20npcand 9923 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
2221oveq1d 6290 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  _C  2 )  =  ( N  _C  2 ) )
2317, 22eqtrd 2501 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  _C  2
)  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  2 ) )
247, 15, 233eqtrd 2505 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( N  _C  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762  (class class class)co 6275   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484    - cmin 9794   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853    _C cbc 12335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-seq 12064  df-fac 12309  df-bc 12336
This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  24139
  Copyright terms: Public domain W3C validator