MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn2m1 Structured version   Unicode version

Theorem bcn2m1 12203
Description: Compute the binomial coefficient " N choose 2 " from " ( N  -  1 ) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
bcn2m1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( N  _C  2 ) )

Proof of Theorem bcn2m1
StepHypRef Expression
1 nnm1nn0 10724 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
21nn0cnd 10741 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
3 2z 10781 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
4 bccl 12201 . . . . 5  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  2
)  e.  NN0 )
51, 3, 4sylancl 662 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  2 )  e.  NN0 )
65nn0cnd 10741 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  2 )  e.  CC )
72, 6addcomd 9674 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  2 )  +  ( N  -  1 ) ) )
8 bcn1 12192 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  _C  1 )  =  ( N  -  1 ) )
98eqcomd 2459 . . . . 5  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( N  - 
1 )  _C  1
) )
101, 9syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  _C  1 ) )
11 1e2m1 10540 . . . . . 6  |-  1  =  ( 2  -  1 )
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
1312oveq2d 6208 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  1 )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )
1410, 13eqtrd 2492 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )
1514oveq2d 6208 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  _C  2
)  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  2 )  +  ( ( N  - 
1 )  _C  (
2  -  1 ) ) ) )
16 bcpasc 12200 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  2 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  2 ) )
171, 3, 16sylancl 662 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  _C  2
)  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  2 ) )
18 nncn 10433 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
19 ax-1cn 9443 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
2118, 20npcand 9826 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
2221oveq1d 6207 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  _C  2 )  =  ( N  _C  2 ) )
2317, 22eqtrd 2492 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  _C  2
)  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  2 ) )
247, 15, 233eqtrd 2496 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( N  _C  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6192   CCcc 9383   1c1 9386    + caddc 9388    - cmin 9698   NNcn 10425   2c2 10474   NN0cn0 10682   ZZcz 10749    _C cbc 12181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fz 11541  df-seq 11910  df-fac 12155  df-bc 12182
This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  23522
  Copyright terms: Public domain W3C validator