MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn1 Structured version   Unicode version

Theorem bcn1 12365
Description: Binomial coefficient:  N choose  1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 10798 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 1eluzge0 11128 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
4 elnnuz 11121 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
54biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6 elfzuzb 11686 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
) )
73, 5, 6sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( 0 ... N
) )
8 bcval2 12357 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  1 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) ) ) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  _C  1 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) ) ) )
10 facnn2 12336 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
11 fac1 12331 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1211oveq2i 6288 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! ` 
1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  1 )
13 nnm1nn0 10838 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
14 faccl 12337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  NN )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
1615nncnd 10553 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
1716mulid1d 9611 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  1 )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
1812, 17syl5eq 2494 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
1910, 18oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! ` 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N )  / 
( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )
20 nncn 10545 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2115nnne0d 10581 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )
2220, 16, 21divcan3d 10326 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  N
)  /  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )  =  N )
239, 19, 223eqtrd 2486 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
24 0nn0 10811 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
25 1z 10895 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
26 0lt1 10076 . . . . . 6  |-  0  <  1
2726olci 391 . . . . 5  |-  ( 1  <  0  \/  0  <  1 )
28 bcval4 12359 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  ZZ  /\  (
1  <  0  \/  0  <  1 ) )  ->  ( 0  _C  1 )  =  0 )
2924, 25, 27, 28mp3an 1323 . . . 4  |-  ( 0  _C  1 )  =  0
30 oveq1 6284 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  _C  1 )  =  ( 0  _C  1
) )
31 eqeq12 2460 . . . . 5  |-  ( ( ( N  _C  1
)  =  ( 0  _C  1 )  /\  N  =  0 )  ->  ( ( N  _C  1 )  =  N  <->  ( 0  _C  1 )  =  0 ) )
3230, 31mpancom 669 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  _C  1
)  =  N  <->  ( 0  _C  1 )  =  0 ) )
3329, 32mpbiri 233 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
3423, 33jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
351, 34sylbi 195 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495    < clt 9626    - cmin 9805    / cdiv 10207   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   ...cfz 11676   !cfa 12327    _C cbc 12354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-seq 12082  df-fac 12328  df-bc 12355
This theorem is referenced by:  bcnp1n  12366  bcn2m1  12376  bcn2p1  12377  bcnm1  28975  bpoly2  29787  bpoly3  29788  bpoly4  29789  jm2.23  30906
  Copyright terms: Public domain W3C validator