MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn1 Structured version   Unicode version

Theorem bcn1 12369
Description: Binomial coefficient:  N choose  1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 10807 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 1nn0 10821 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
3 nn0uz 11126 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
42, 3eleqtri 2553 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
6 elnnuz 11128 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
76biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8 elfzuzb 11692 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
) )
95, 7, 8sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( 0 ... N
) )
10 bcval2 12361 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  1 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) ) ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  _C  1 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) ) ) )
12 facnn2 12340 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
13 fac1 12335 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1413oveq2i 6305 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! ` 
1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  1 )
15 nnm1nn0 10847 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
16 faccl 12341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  NN )
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
1817nncnd 10562 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
1918mulid1d 9623 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  1 )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
2014, 19syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
2112, 20oveq12d 6312 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! ` 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N )  / 
( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )
22 nncn 10554 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2317nnne0d 10590 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )
2422, 18, 23divcan3d 10335 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  N
)  /  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )  =  N )
2511, 21, 243eqtrd 2512 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
26 0nn0 10820 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
27 1z 10904 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
28 0lt1 10085 . . . . . 6  |-  0  <  1
2928olci 391 . . . . 5  |-  ( 1  <  0  \/  0  <  1 )
30 bcval4 12363 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  ZZ  /\  (
1  <  0  \/  0  <  1 ) )  ->  ( 0  _C  1 )  =  0 )
3126, 27, 29, 30mp3an 1324 . . . 4  |-  ( 0  _C  1 )  =  0
32 oveq1 6301 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  _C  1 )  =  ( 0  _C  1
) )
33 eqeq12 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( N  _C  1
)  =  ( 0  _C  1 )  /\  N  =  0 )  ->  ( ( N  _C  1 )  =  N  <->  ( 0  _C  1 )  =  0 ) )
3432, 33mpancom 669 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  _C  1
)  =  N  <->  ( 0  _C  1 )  =  0 ) )
3531, 34mpbiri 233 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
3625, 35jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
371, 36sylbi 195 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4452   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   0cc0 9502   1c1 9503    x. cmul 9507    < clt 9638    - cmin 9815    / cdiv 10216   NNcn 10546   NN0cn0 10805   ZZcz 10874   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11682   !cfa 12331    _C cbc 12358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-seq 12086  df-fac 12332  df-bc 12359
This theorem is referenced by:  bcnp1n  12370  bcn2m1  12380  bcn2p1  12381  bcnm1  28902  bpoly2  29714  bpoly3  29715  bpoly4  29716  jm2.23  30834
  Copyright terms: Public domain W3C validator