MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcmax Structured version   Unicode version

Theorem bcmax 23751
Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmax  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )

Proof of Theorem bcmax
StepHypRef Expression
1 2nn0 10808 . . . 4  |-  2  e.  NN0
2 simpll 751 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  NN0 )
3 nn0mulcl 10828 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
41, 2, 3sylancr 661 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN0 )
5 simpr 459 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )
6 nn0re 10800 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
76leidd 10115 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_  N )
8 nn0cn 10801 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
9 2cn 10602 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
10 2ne0 10624 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
11 divcan3 10227 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
129, 10, 11mp3an23 1314 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
138, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  /  2 )  =  N )
147, 13breqtrrd 4465 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  2
) )
152, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  <_  (
( 2  x.  N
)  /  2 ) )
16 bcmono 23750 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  N  <_  ( ( 2  x.  N )  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  K )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
174, 5, 15, 16syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
18 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  NN0 )
191, 18, 3sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN0 )
20 simplr 753 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  K  e.  ZZ )
21 bccmpl 12369 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K
)  =  ( ( 2  x.  N )  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K ) ) )
2219, 20, 21syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K )  =  ( ( 2  x.  N
)  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K ) ) )
2318nn0red 10849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  RR )
2423recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  CC )
25242timesd 10777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
2620zred 10965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  K  e.  RR )
27 eluzle 11094 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  K )
2827adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  <_  K
)
2923, 26, 23, 28leadd2dd 10163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( N  +  N )  <_  ( N  +  K )
)
3025, 29eqbrtrd 4459 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  <_  ( N  +  K )
)
3119nn0red 10849 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
3231, 26, 23lesubaddd 10145 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  K )  <_  N 
<->  ( 2  x.  N
)  <_  ( N  +  K ) ) )
3330, 32mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  -  K )  <_  N
)
3419nn0zd 10963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
3534, 20zsubcld 10970 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  -  K )  e.  ZZ )
3618nn0zd 10963 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
37 eluz 11095 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( ( 2  x.  N )  -  K ) )  <->  ( (
2  x.  N )  -  K )  <_  N ) )
3835, 36, 37syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( (
2  x.  N )  -  K ) )  <-> 
( ( 2  x.  N )  -  K
)  <_  N )
)
3933, 38mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  ( ( 2  x.  N )  -  K ) ) )
4018, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  <_  (
( 2  x.  N
)  /  2 ) )
41 bcmono 23750 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2  x.  N )  -  K
) )  /\  N  <_  ( ( 2  x.  N )  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
4219, 39, 40, 41syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
4322, 42eqbrtrd 4459 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
44 simpr 459 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
45 nn0z 10883 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4645adantr 463 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
47 uztric 11103 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  \/  K  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
4844, 46, 47syl2anc 659 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  \/  K  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
4917, 43, 48mpjaodan 784 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082    _C cbc 12362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-seq 12090  df-fac 12336  df-bc 12363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator