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Theorem bcm1n 27576
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with  N decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
bcm1n  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )

Proof of Theorem bcm1n
StepHypRef Expression
1 bcp1n 12375 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  _C  K )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  -  K ) ) ) )
2 nnz 10893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32zcnd 10976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
43adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
5 1cnd 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
64, 5npcand 9940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
76oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  K
)  =  ( N  _C  K ) )
86oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K
)  =  ( N  -  K ) )
96, 8oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  -  K ) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) ) )
109oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
117, 10eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K ) ) )  <-> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) ) )
121, 11syl5ib 219 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) ) )
13123impia 1194 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) )
14133anidm13 1287 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
15 elfznn0 11781 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  NN0 )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  NN0 )
17 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
1817nnnn0d 10859 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
19 elfzelz 11698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ZZ )
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  ZZ )
2120zred 10975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
222adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
2322zred 10975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
24 elfzle2 11700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
26 zltlem1 10923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
2719, 2, 26syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
2825, 27mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <  N )
2921, 23, 28ltled 9736 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <_  N )
30 elfz2nn0 11779 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
3116, 18, 29, 30syl3anbrc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
32 bcrpcl 12367 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  RR+ )
3433rpcnd 11268 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  CC )
3519zcnd 10976 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  CC )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
374, 36subcld 9936 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  CC )
3836, 4negsubdi2d 9952 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  -> 
-u ( K  -  N )  =  ( N  -  K ) )
3921, 23resubcld 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  e.  RR )
4039recnd 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  e.  CC )
414addid2d 9784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
4228, 41breqtrrd 4463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <  ( 0  +  N ) )
43 0red 9600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
4421, 23, 43ltsubaddd 10155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( K  -  N )  <  0  <->  K  <  ( 0  +  N ) ) )
4542, 44mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  <  0 )
4645lt0ne0d 10125 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  =/=  0 )
4740, 46negne0d 9934 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  -> 
-u ( K  -  N )  =/=  0
)
4838, 47eqnetrrd 2737 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  =/=  0 )
494, 37, 48divcld 10327 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( N  -  K )
)  e.  CC )
50 bcrpcl 12367 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  e.  RR+ )
5150adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  e.  RR+ )
5251rpcnne0d 11275 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  e.  CC  /\  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 ) )
53 divmul2 10218 . . . . 5  |-  ( ( ( N  _C  K
)  e.  CC  /\  ( N  /  ( N  -  K )
)  e.  CC  /\  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  e.  CC  /\  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) )  =  ( N  / 
( N  -  K
) )  <->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) ) )
5434, 49, 52, 53syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  - 
1 )  _C  K
) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) )  <-> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) ) )
5514, 54mpbird 232 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  _C  K )  /  (
( N  -  1 )  _C  K ) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) ) )
5655oveq2d 6297 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) ) )  =  ( 1  /  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
5751rpcnd 11268 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  e.  CC )
58 bccl2 12382 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  NN )
5931, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN )
6059nnne0d 10587 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =/=  0 )
61 bccl2 12382 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  e.  NN )
6261nnne0d 10587 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  =/=  0 )
6362adantr 465 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 )
6434, 57, 60, 63recdivd 10344 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) ) )
6517nnne0d 10587 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
664, 37, 65, 48recdivd 10344 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( N  /  ( N  -  K ) ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )
6756, 64, 663eqtr3d 2492 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   NNcn 10543   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   RR+crp 11230   ...cfz 11682    _C cbc 12361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-fz 11683  df-seq 12089  df-fac 12335  df-bc 12362
This theorem is referenced by:  ballotlem2  28404
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