Theorem bcm1k 12531

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with K decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcm1k	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )

Proof of Theorem bcm1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 11832	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
2		nnuz 11222	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	syl6eleqr 2550	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN )
4	3	nnnn0d 10953	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN0 )
5		faccl 12500	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` N ) e. NN )
7	6	nncnd 10652	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` N ) e. CC )
8		fznn0sub 11859	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
9		nn0p1nn 10937	. . . . . . 7 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
11	10	nncnd 10652	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. CC )
12	10	nnnn0d 10953	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN0 )
13		faccl 12500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - K ) + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) e. NN )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) e. NN )
15		elfznn 11856	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )
16		nnm1nn0 10939	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
17		faccl 12500	. . . . . . . 8 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
19	14, 18	nnmulcld 10684	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. NN )
20		nncn 10644	. . . . . . 7 |- ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. NN -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. CC )
21		nnne0 10669	. . . . . . 7 |- ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. NN -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) =/= 0 )
22	20, 21	jca 539	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. NN -> ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. CC /\ ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) =/= 0 ) )
23	19, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. CC /\ ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) =/= 0 ) )
24	15	nncnd 10652	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. CC )
25	15	nnne0d 10681	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K =/= 0 )
26	24, 25	jca 539	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K e. CC /\ K =/= 0 ) )
27		divmuldiv 10334	. . . . 5 |- ( ( ( ( ! ` N ) e. CC /\ ( ( N - K ) + 1 ) e. CC ) /\ ( ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. CC /\ ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) =/= 0 ) /\ ( K e. CC /\ K =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) ) )
28	7, 11, 23, 26, 27	syl22anc 1277	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) ) )
29		elfzel2 11826	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ZZ )
30	29	zcnd 11069	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. CC )
31		1cnd 9684	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 e. CC )
32	30, 24, 31	subsubd 10039	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
33	32	fveq2d 5891	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) = ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
34	33	oveq1d 6329	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) )
35	34	oveq2d 6330	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
36	32	oveq1d 6329	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) )
37	35, 36	oveq12d 6332	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) ) )
38		facp1 12495	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) )
39	8, 38	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) )
40	39	eqcomd 2467	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
41		facnn2 12499	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
42	15, 41	syl 17	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
43	40, 42	oveq12d 6332	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` K ) ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) ) )
44		faccl 12500	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
45	8, 44	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
46	45	nncnd 10652	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. CC )
47	15	nnnn0d 10953	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN0 )
48		faccl 12500	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. NN )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) e. NN )
50	49	nncnd 10652	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) e. CC )
51	46, 50, 11	mul32d 9868	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` K ) ) )
52	14	nncnd 10652	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) e. CC )
53	18	nncnd 10652	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. CC )
54	52, 53, 24	mulassd 9691	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) ) )
55	43, 51, 54	3eqtr4d 2505	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) )
56	55	oveq2d 6330	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) ) )
57	28, 37, 56	3eqtr4d 2505	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) )
58	7, 11	mulcomd 9689	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) )
59	45, 49	nnmulcld 10684	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
60	59	nncnd 10652	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. CC )
61	60, 11	mulcomd 9689	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
62	58, 61	oveq12d 6332	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) / ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
63	59	nnne0d 10681	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) =/= 0 )
64	10	nnne0d 10681	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) =/= 0 )
65	7, 60, 11, 63, 64	divcan5d 10436	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) / ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
66	57, 62, 65	3eqtrrd 2500	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
67		0p1e1 10748	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
68	67	oveq1i 6324	. . . . 5 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
69		0z 10976	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
70		fzp1ss 11875	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N )
72	68, 71	eqsstr3i 3474	. . . 4 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
73	72	sseli 3439	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
74		bcval2 12521	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
75	73, 74	syl 17	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
76		ax-1cn 9622	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
77		npcan 9909	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
78	30, 76, 77	sylancl 673	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
79		peano2zm 11008	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
80		uzid 11201	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
81		peano2uz 11240	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
82	29, 79, 80, 81	4syl 19	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
83	78, 82	eqeltrrd 2540	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
84		fzss2 11866	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
85	83, 84	syl 17	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
86		elfzmlbm 11929	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
87	85, 86	sseldd 3444	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
88		bcval2 12521	. . . 4 |- ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
89	87, 88	syl 17	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
90	89	oveq1d 6329	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
91	66, 75, 90	3eqtr4d 2505	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   C_ wss 3415   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562   0cc0 9564   1c1 9565   + caddc 9567   x. cmul 9569   - cmin 9885   / cdiv 10296   NNcn 10636   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187   ...cfz 11812   !cfa 12490   _C cbc 12518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-seq 12245  df-fac 12491  df-bc 12519

This theorem is referenced by:  bcp1nk  12533  bcpasc  12537  bpolydiflem  14155  basellem5  24059