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Theorem bcm1k 12367
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with  K decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 11695 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 nnuz 11120 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31, 2syl6eleqr 2540 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
43nnnn0d 10853 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
5 faccl 12337 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
76nncnd 10553 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
8 fznn0sub 11720 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
9 nn0p1nn 10836 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN )
1110nncnd 10553 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  CC )
1210nnnn0d 10853 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN0 )
13 faccl 12337 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  NN )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  NN )
15 elfznn 11718 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
16 nnm1nn0 10838 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
17 faccl 12337 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  e.  NN )
1815, 16, 173syl 20 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  NN )
1914, 18nnmulcld 10584 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN )
20 nncn 10545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  CC )
21 nnne0 10569 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  =/=  0 )
2220, 21jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  =/=  0 ) )
2319, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  =/=  0 ) )
2415nncnd 10553 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  CC )
2515nnne0d 10581 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  =/=  0 )
2624, 25jca 532 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )
27 divmuldiv 10245 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ! `  N )  e.  CC  /\  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  CC )  /\  ( ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  CC  /\  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) ) )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
287, 11, 23, 26, 27syl22anc 1228 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
29 elfzel2 11690 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
3029zcnd 10970 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  CC )
31 1cnd 9610 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
3230, 24, 31subsubd 9959 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  ( K  -  1 ) )  =  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
3332fveq2d 5856 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
3433oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )
3534oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  ( K  - 
1 ) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1
) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) ) )
3632oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  /  K ) )
3735, 36oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  /  K
) ) )
38 facp1 12332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) )
398, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
4039eqcomd 2449 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
41 facnn2 12336 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  ( ! `  K )  =  ( ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  x.  K ) )
4215, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  =  ( ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  x.  K ) )
4340, 42oveq12d 6295 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 K ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( K  -  1
) )  x.  K
) ) )
44 faccl 12337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
458, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  e.  NN )
4645nncnd 10553 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  e.  CC )
4715nnnn0d 10853 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
48 faccl 12337 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
5049nncnd 10553 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
5146, 50, 11mul32d 9788 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  K
) ) )
5214nncnd 10553 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  CC )
5318nncnd 10553 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  CC )
5452, 53, 24mulassd 9617 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( K  -  1
) )  x.  K
) ) )
5543, 51, 543eqtr4d 2492 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1
) ) )  x.  K ) )
5655oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
5728, 37, 563eqtr4d 2492 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) ) )
587, 11mulcomd 9615 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ! `  N
) ) )
5945, 49nnmulcld 10584 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  NN )
6059nncnd 10553 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  CC )
6160, 11mulcomd 9615 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
6258, 61oveq12d 6295 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  x.  ( ! `  N ) )  / 
( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) ) )
6359nnne0d 10581 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  =/=  0 )
6410nnne0d 10581 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =/=  0 )
657, 60, 11, 63, 64divcan5d 10347 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ! `  N )
)  /  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  x.  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
6657, 62, 653eqtrrd 2487 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( K  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1
) )  /  K
) ) )
67 0p1e1 10648 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6867oveq1i 6287 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
)
69 0z 10876 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
70 fzp1ss 11735 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
)
7268, 71eqsstr3i 3517 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
7372sseli 3482 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
74 bcval2 12357 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
7573, 74syl 16 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
76 ax-1cn 9548 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
77 npcan 9829 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7830, 76, 77sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
79 peano2zm 10908 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
80 uzid 11099 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
81 peano2uz 11138 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
8229, 79, 80, 814syl 21 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
8378, 82eqeltrrd 2530 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
84 fzss2 11727 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
8583, 84syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
86 elfzmlbm 11788 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
8785, 86sseldd 3487 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
88 bcval2 12357 . . . 4  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) ) )
8987, 88syl 16 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) ) )
9089oveq1d 6292 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( K  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1
) )  /  K
) ) )
9166, 75, 903eqtr4d 2492 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636    C_ wss 3458   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    - cmin 9805    / cdiv 10207   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   ...cfz 11676   !cfa 12327    _C cbc 12354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-seq 12082  df-fac 12328  df-bc 12355
This theorem is referenced by:  bcp1nk  12369  bcpasc  12373  basellem5  23223  bpolydiflem  29784
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