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Theorem bcm1k 12077
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with  K decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 11445 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 nnuz 10886 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31, 2syl6eleqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
43nnnn0d 10626 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
5 faccl 12047 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
76nncnd 10328 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
8 fznn0sub 11476 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
9 nn0p1nn 10609 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN )
1110nncnd 10328 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  CC )
1210nnnn0d 10626 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN0 )
13 faccl 12047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  NN )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  NN )
15 elfznn 11467 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
16 nnm1nn0 10611 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
17 faccl 12047 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  e.  NN )
1815, 16, 173syl 20 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  NN )
1914, 18nnmulcld 10359 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN )
20 nncn 10320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  CC )
21 nnne0 10344 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  =/=  0 )
2220, 21jca 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  =/=  0 ) )
2319, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  =/=  0 ) )
2415nncnd 10328 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  CC )
2515nnne0d 10356 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  =/=  0 )
2624, 25jca 529 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )
27 divmuldiv 10021 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ! `  N )  e.  CC  /\  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  CC )  /\  ( ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  CC  /\  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) ) )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
287, 11, 23, 26, 27syl22anc 1214 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
29 elfzel2 11440 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
3029zcnd 10738 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  CC )
31 ax-1cn 9330 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
3330, 24, 32subsubd 9737 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  ( K  -  1 ) )  =  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
3433fveq2d 5685 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
3534oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )
3635oveq2d 6098 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  ( K  - 
1 ) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1
) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) ) )
3733oveq1d 6097 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  /  K ) )
3836, 37oveq12d 6100 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  /  K
) ) )
39 facp1 12042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) )
408, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
4140eqcomd 2440 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
42 facnn2 12046 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  ( ! `  K )  =  ( ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  x.  K ) )
4315, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  =  ( ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  x.  K ) )
4441, 43oveq12d 6100 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 K ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( K  -  1
) )  x.  K
) ) )
45 faccl 12047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
468, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  e.  NN )
4746nncnd 10328 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  e.  CC )
4815nnnn0d 10626 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
49 faccl 12047 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
5048, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
5150nncnd 10328 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
5247, 51, 11mul32d 9569 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  K
) ) )
5314nncnd 10328 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  CC )
5418nncnd 10328 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  CC )
5553, 54, 24mulassd 9399 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( K  -  1
) )  x.  K
) ) )
5644, 52, 553eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1
) ) )  x.  K ) )
5756oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
5828, 38, 573eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) ) )
597, 11mulcomd 9397 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ! `  N
) ) )
6046, 50nnmulcld 10359 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  NN )
6160nncnd 10328 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  CC )
6261, 11mulcomd 9397 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
6359, 62oveq12d 6100 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  x.  ( ! `  N ) )  / 
( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) ) )
6460nnne0d 10356 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  =/=  0 )
6510nnne0d 10356 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =/=  0 )
667, 61, 11, 64, 65divcan5d 10123 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ! `  N )
)  /  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  x.  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
6758, 63, 663eqtrrd 2472 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( K  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1
) )  /  K
) ) )
68 0p1e1 10423 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6968oveq1i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
)
70 0z 10647 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
71 fzp1ss 11493 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
7270, 71ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
)
7369, 72eqsstr3i 3377 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
7473sseli 3342 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
75 bcval2 12067 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
7674, 75syl 16 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
77 npcan 9609 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7830, 31, 77sylancl 657 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
79 peano2zm 10678 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
80 uzid 10865 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
81 peano2uz 10898 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
8229, 79, 80, 814syl 21 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
8378, 82eqeltrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
84 fzss2 11487 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
8583, 84syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
86 elfzelz 11442 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
87 elfzm1b 11524 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
8886, 29, 87syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  e.  ( 1 ... N )  <->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )
8988ibi 241 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
9085, 89sseldd 3347 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
91 bcval2 12067 . . . 4  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) ) )
9290, 91syl 16 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) ) )
9392oveq1d 6097 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( K  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1
) )  /  K
) ) )
9467, 76, 933eqtr4d 2477 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1757    =/= wne 2598    C_ wss 3318   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   CCcc 9270   0cc0 9272   1c1 9273    + caddc 9275    x. cmul 9277    - cmin 9585    / cdiv 9983   NNcn 10312   NN0cn0 10569   ZZcz 10636   ZZ>=cuz 10851   ...cfz 11426   !cfa 12037    _C cbc 12064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-fz 11427  df-seq 11793  df-fac 12038  df-bc 12065
This theorem is referenced by:  bcp1nk  12079  bcpasc  12083  basellem5  22309  bpolydiflem  28046
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