MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcm1k Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bcm1k 12531
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with  K decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 11832 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 nnuz 11222 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31, 2syl6eleqr 2550 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
43nnnn0d 10953 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
5 faccl 12500 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
76nncnd 10652 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
8 fznn0sub 11859 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
9 nn0p1nn 10937 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN )
1110nncnd 10652 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  CC )
1210nnnn0d 10953 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN0 )
13 faccl 12500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  NN )
1412, 13syl 17 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  NN )
15 elfznn 11856 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
16 nnm1nn0 10939 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
17 faccl 12500 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  e.  NN )
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  NN )
1914, 18nnmulcld 10684 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN )
20 nncn 10644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  CC )
21 nnne0 10669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  =/=  0 )
2220, 21jca 539 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  =/=  0 ) )
2319, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  =/=  0 ) )
2415nncnd 10652 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  CC )
2515nnne0d 10681 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  =/=  0 )
2624, 25jca 539 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )
27 divmuldiv 10334 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ! `  N )  e.  CC  /\  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  CC )  /\  ( ( ( ( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  CC  /\  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) ) )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
287, 11, 23, 26, 27syl22anc 1277 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
29 elfzel2 11826 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
3029zcnd 11069 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  CC )
31 1cnd 9684 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
3230, 24, 31subsubd 10039 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  ( K  -  1 ) )  =  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
3332fveq2d 5891 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
3433oveq1d 6329 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )
3534oveq2d 6330 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  ( K  - 
1 ) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1
) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) ) )
3632oveq1d 6329 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  /  K ) )
3735, 36oveq12d 6332 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  /  K
) ) )
38 facp1 12495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) )
398, 38syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
4039eqcomd 2467 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
41 facnn2 12499 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  ( ! `  K )  =  ( ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  x.  K ) )
4215, 41syl 17 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  =  ( ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  x.  K ) )
4340, 42oveq12d 6332 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 K ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( K  -  1
) )  x.  K
) ) )
44 faccl 12500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
458, 44syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  e.  NN )
4645nncnd 10652 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  e.  CC )
4715nnnn0d 10953 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
48 faccl 12500 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
5049nncnd 10652 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
5146, 50, 11mul32d 9868 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  K
) ) )
5214nncnd 10652 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  CC )
5318nncnd 10652 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  CC )
5452, 53, 24mulassd 9691 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( K  -  1
) )  x.  K
) ) )
5543, 51, 543eqtr4d 2505 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1
) ) )  x.  K ) )
5655oveq2d 6330 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
5728, 37, 563eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) ) )
587, 11mulcomd 9689 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ! `  N
) ) )
5945, 49nnmulcld 10684 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  NN )
6059nncnd 10652 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  CC )
6160, 11mulcomd 9689 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
6258, 61oveq12d 6332 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  x.  ( ! `  N ) )  / 
( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) ) )
6359nnne0d 10681 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  =/=  0 )
6410nnne0d 10681 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =/=  0 )
657, 60, 11, 63, 64divcan5d 10436 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ! `  N )
)  /  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  x.  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
6657, 62, 653eqtrrd 2500 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( K  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1
) )  /  K
) ) )
67 0p1e1 10748 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6867oveq1i 6324 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
)
69 0z 10976 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
70 fzp1ss 11875 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
)
7268, 71eqsstr3i 3474 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
7372sseli 3439 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
74 bcval2 12521 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
7573, 74syl 17 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
76 ax-1cn 9622 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
77 npcan 9909 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7830, 76, 77sylancl 673 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
79 peano2zm 11008 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
80 uzid 11201 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
81 peano2uz 11240 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
8229, 79, 80, 814syl 19 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
8378, 82eqeltrrd 2540 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
84 fzss2 11866 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
8583, 84syl 17 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
86 elfzmlbm 11929 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
8785, 86sseldd 3444 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
88 bcval2 12521 . . . 4  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) ) )
8987, 88syl 17 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) ) )
9089oveq1d 6329 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( K  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1
) )  /  K
) ) )
9166, 75, 903eqtr4d 2505 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632    C_ wss 3415   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567    x. cmul 9569    - cmin 9885    / cdiv 10296   NNcn 10636   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187   ...cfz 11812   !cfa 12490    _C cbc 12518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-seq 12245  df-fac 12491  df-bc 12519
This theorem is referenced by:  bcp1nk  12533  bcpasc  12537  bpolydiflem  14155  basellem5  24059
  Copyright terms: Public domain W3C validator