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Theorem bclbnd 22504
Description: A bound on the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bclbnd  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )

Proof of Theorem bclbnd
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 10469 . . 3  |-  4  e.  NN
21nnzi 10658 . 2  |-  4  e.  ZZ
3 oveq2 6088 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ 4 ) )
4 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  x  =  4 )
53, 4oveq12d 6098 . . 3  |-  ( x  =  4  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ 4 )  / 
4 ) )
6 oveq2 6088 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  4 ) )
76, 4oveq12d 6098 . . 3  |-  ( x  =  4  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 ) )
85, 7breq12d 4293 . 2  |-  ( x  =  4  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ 4 )  /  4 )  < 
( ( 2  x.  4 )  _C  4
) ) )
9 oveq2 6088 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ n ) )
10 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  x  =  n )
119, 10oveq12d 6098 . . 3  |-  ( x  =  n  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ n )  /  n ) )
12 oveq2 6088 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  n ) )
1312, 10oveq12d 6098 . . 3  |-  ( x  =  n  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  n )  _C  n ) )
1411, 13breq12d 4293 . 2  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ n )  /  n )  < 
( ( 2  x.  n )  _C  n
) ) )
15 oveq2 6088 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ ( n  +  1 ) ) )
16 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  x  =  ( n  + 
1 ) )
1715, 16oveq12d 6098 . . 3  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ ( n  + 
1 ) )  / 
( n  +  1 ) ) )
18 oveq2 6088 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
1918, 16oveq12d 6098 . . 3  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )
2017, 19breq12d 4293 . 2  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ ( n  +  1 ) )  /  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
21 oveq2 6088 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ N ) )
22 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  x  =  N )
2321, 22oveq12d 6098 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ N )  /  N ) )
24 oveq2 6088 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  N ) )
2524, 22oveq12d 6098 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
2623, 25breq12d 4293 . 2  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
27 6nn0 10588 . . . 4  |-  6  e.  NN0
28 7nn0 10589 . . . 4  |-  7  e.  NN0
29 4nn0 10586 . . . 4  |-  4  e.  NN0
30 0nn0 10582 . . . 4  |-  0  e.  NN0
31 4lt10 10517 . . . 4  |-  4  <  10
32 6lt7 10491 . . . 4  |-  6  <  7
3327, 28, 29, 30, 31, 32decltc 10765 . . 3  |- ; 6 4  < ; 7 0
34 2cn 10380 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
35 2nn0 10584 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
36 3nn0 10585 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
37 expmul 11893 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
3 ) )
3834, 35, 36, 37mp3an 1307 . . . . 5  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 3 )
39 sq2 11946 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
4039eqcomi 2437 . . . . . 6  |-  4  =  ( 2 ^ 2 )
41 3p1e4 10435 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
42 4cn 10387 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
43 ax-1cn 9328 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
44 3cn 10384 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4542, 43, 44subadd2i 9684 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  =  3  <->  ( 3  +  1 )  =  4 )
4641, 45mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  3
4740, 46oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( 4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 3 )
4838, 47eqtr4i 2456 . . . 4  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 4 ^ (
4  -  1 ) )
49 3t2e6 10461 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
5044, 34, 49mulcomli 9381 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
5150oveq2i 6091 . . . . 5  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 2 ^ 6 )
52 2exp6 14098 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
5351, 52eqtri 2453 . . . 4  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  = ; 6
4
54 4ne0 10406 . . . . 5  |-  4  =/=  0
55 expm1 11897 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 4 )  / 
4 ) )
5642, 54, 2, 55mp3an 1307 . . . 4  |-  ( 4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 4 )  /  4
)
5748, 53, 563eqtr3ri 2462 . . 3  |-  ( ( 4 ^ 4 )  /  4 )  = ; 6
4
58 df-4 10370 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
5958oveq2i 6091 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  4 )  =  ( 2  x.  (
3  +  1 ) )
6059, 58oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  =  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  (
3  +  1 ) )
61 bcp1ctr 22503 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) ) ) ) )
6236, 61ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) ) ) )
63 df-3 10369 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
6463oveq2i 6091 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 2  x.  (
2  +  1 ) )
6564, 63oveq12i 6092 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  =  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  (
2  +  1 ) )
66 bcp1ctr 22503 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) ) ) ) )
6735, 66ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) ) ) )
68 df-2 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6968oveq2i 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  2 )  =  ( 2  x.  (
1  +  1 ) )
7069, 68oveq12i 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  =  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  (
1  +  1 ) )
71 1nn0 10583 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
72 bcp1ctr 22503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) ) ) ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) ) ) )
74 1e0p1 10771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7574oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 2  x.  (
0  +  1 ) )
7675, 74oveq12i 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  =  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  (
0  +  1 ) )
77 bcp1ctr 22503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) ) ) ) )
7830, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) ) ) )
7935, 30nn0mulcli 10606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  0 )  e. 
NN0
80 bcn0 12070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  0 )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  =  1 )
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  =  1
82 2t0e0 10465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
8382oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 )
8483, 74eqtr4i 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  =  1
8574eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8684, 85oveq12i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  /  1
)
87 1div1e1 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  1 )  =  1
8886, 87eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) )  =  1
8988oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  / 
( 0  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
90 2t1e2 10458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
9189, 90eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  / 
( 0  +  1 ) ) )  =  2
9281, 91oveq12i 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  (
0  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  x.  2 )
9334mulid2i 9377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
9492, 93eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  (
0  +  1 ) ) ) )  =  2
9576, 78, 943eqtri 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  =  2
9690oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9796, 63eqtr4i 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
9868eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9997, 98oveq12i 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) )  =  ( 3  /  2
)
10099oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  / 
( 1  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
3  /  2 ) )
101 2ne0 10402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
10244, 34, 101divcan2i 10062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 3  / 
2 ) )  =  3
103100, 102eqtri 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  / 
( 1  +  1 ) ) )  =  3
10495, 103oveq12i 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  (
1  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  3 )
105104, 50eqtri 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  (
1  +  1 ) ) ) )  =  6
10670, 73, 1053eqtri 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  =  6
107 2t2e4 10459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
108107oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
109 df-5 10371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  =  ( 4  +  1 )
110108, 109eqtr4i 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  5
11163eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  +  1 )  =  3
112110, 111oveq12i 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) )  =  ( 5  /  3
)
113112oveq2i 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  / 
( 2  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
5  /  3 ) )
114 5cn 10389 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  CC
115 3ne0 10404 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
11634, 114, 44, 115divassi 10075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  5 )  /  3 )  =  ( 2  x.  (
5  /  3 ) )
117113, 116eqtr4i 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  / 
( 2  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  /  3
)
118106, 117oveq12i 6092 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  (
2  +  1 ) ) ) )  =  ( 6  x.  (
( 2  x.  5 )  /  3 ) )
11967, 118eqtri 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( 6  x.  (
( 2  x.  5 )  /  3 ) )
120 6cn 10391 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
121 2nn 10467 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
122 5nn 10470 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN
123121, 122nnmulcli 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  5 )  e.  NN
124123nncni 10320 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  e.  CC
12544, 115pm3.2i 452 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
126 div12 10004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 6  e.  CC  /\  ( 2  x.  5 )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  (
6  /  3 ) ) )
127120, 124, 125, 126mp3an 1307 . . . . . . . 8  |-  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  (
6  /  3 ) )
128 5t2e10 10464 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
129114, 34, 128mulcomli 9381 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
130120, 44, 34, 115divmuli 10073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 6  /  3 )  =  2  <->  ( 3  x.  2 )  =  6 )
13149, 130mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  /  3 )  =  2
132129, 131oveq12i 6092 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  ( 6  / 
3 ) )  =  ( 10  x.  2 )
133127, 132eqtri 2453 . . . . . . 7  |-  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( 10  x.  2 )
13465, 119, 1333eqtri 2457 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  =  ( 10  x.  2 )
13550oveq1i 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  ( 6  +  1 )
136 df-7 10373 . . . . . . . . 9  |-  7  =  ( 6  +  1 )
137135, 136eqtr4i 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  7
138137, 41oveq12i 6092 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) )  =  ( 7  /  4
)
139138oveq2i 6091 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  / 
( 3  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
7  /  4 ) )
140134, 139oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  (
3  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 10  x.  2 )  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
14160, 62, 1403eqtri 2457 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  =  ( ( 10  x.  2 )  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
142 10nn 10475 . . . . . . 7  |-  10  e.  NN
143142nncni 10320 . . . . . 6  |-  10  e.  CC
144 7cn 10393 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
145144, 42, 54divcli 10061 . . . . . . 7  |-  ( 7  /  4 )  e.  CC
14634, 145mulcli 9379 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 7  / 
4 ) )  e.  CC
147143, 34, 146mulassi 9383 . . . . 5  |-  ( ( 10  x.  2 )  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  ( 10  x.  (
2  x.  ( 2  x.  ( 7  / 
4 ) ) ) )
148107oveq1i 6090 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  ( 4  x.  (
7  /  4 ) )
14934, 34, 145mulassi 9383 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  ( 2  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
150144, 42, 54divcan2i 10062 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  7
151148, 149, 1503eqtr3i 2461 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  7
152151oveq2i 6091 . . . . 5  |-  ( 10  x.  ( 2  x.  ( 2  x.  (
7  /  4 ) ) ) )  =  ( 10  x.  7 )
153147, 152eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 10  x.  2 )  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  ( 10  x.  7 )
15428dec0u 10758 . . . 4  |-  ( 10  x.  7 )  = ; 7
0
155141, 153, 1543eqtri 2457 . . 3  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  = ; 7
0
15633, 57, 1553brtr4i 4308 . 2  |-  ( ( 4 ^ 4 )  /  4 )  < 
( ( 2  x.  4 )  _C  4
)
157 eluznn 10913 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  n  e.  NN )
1581, 157mpan 663 . . 3  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  n  e.  NN )
159 nnnn0 10574 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
160 nnexpcl 11862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ n
)  e.  NN )
1611, 159, 160sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  NN )
162161nnrpd 11014 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  RR+ )
163 nnrp 10988 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
164162, 163rpdivcld 11032 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  RR+ )
165164rpred 11015 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  RR )
166 nnmulcl 10333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
167121, 166mpan 663 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
168167nnnn0d 10624 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
169 nnz 10656 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
170 bccl 12082 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  _C  n
)  e.  NN0 )
171168, 169, 170syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  _C  n )  e.  NN0 )
172171nn0red 10625 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  _C  n )  e.  RR )
173 2rp 10984 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
174167peano2nnd 10327 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
175174nnrpd 11014 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR+ )
176 peano2nn 10322 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
177176nnrpd 11014 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  RR+ )
178175, 177rpdivcld 11032 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
179 rpmulcl 11000 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
180173, 178, 179sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
181165, 172, 180ltmul1d 11052 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
182 bcp1ctr 22503 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
183159, 182syl 16 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
184183breq2d 4292 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
185181, 184bitr4d 256 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
186 2re 10379 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
187186a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
188175, 163rpdivcld 11032 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
189188rpred 11015 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  e.  RR )
190 nnmulcl 10333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 4 ^ n
)  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  e.  NN )
191161, 121, 190sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  NN )
192191nnrpd 11014 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  RR+ )
193192, 177rpdivcld 11032 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
194163rpreccld 11025 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
195 ltaddrp 11011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )  ->  2  <  ( 2  +  ( 1  /  n ) ) )
196186, 194, 195sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  <  ( 2  +  ( 1  /  n ) ) )
197167nncnd 10326 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
19843a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
199 nncn 10318 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
200 nnne0 10342 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
201197, 198, 199, 200divdird 10133 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  n )  +  ( 1  /  n
) ) )
20234a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
203202, 199, 200divcan4d 10101 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  /  n )  =  2 )
204203oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  n
)  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 2  +  ( 1  /  n
) ) )
205201, 204eqtr2d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n ) )
206196, 205breqtrd 4304 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  2  <  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) )
207187, 189, 193, 206ltmul2dd 11067 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  (
n  +  1 ) )  x.  2 )  <  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
208 expp1 11856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
20942, 159, 208sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
210161nncnd 10326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  CC )
211210, 202, 202mulassd 9397 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  ( 2  x.  2 ) ) )
212107oveq2i 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4 ^ n )  x.  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 )
213211, 212syl6eq 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
214209, 213eqtr4d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 ) )
215214oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  x.  2 )  / 
( n  +  1 ) ) )
216191nncnd 10326 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  CC )
217176nncnd 10326 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
218176nnne0d 10354 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  =/=  0 )
219216, 202, 217, 218div23d 10132 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  2 ) )
220215, 219eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  2 ) )
221210, 202, 199, 200div23d 10132 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n )  =  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  2 ) )
222221oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n
)  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  /  n )  x.  2 )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )
223174nncnd 10326 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
224216, 199, 223, 217, 200, 218divmul24d 10138 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n
)  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
225164rpcnd 11017 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  CC )
226178rpcnd 11017 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
227225, 202, 226mulassd 9397 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  2 )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
228222, 224, 2273eqtr3rd 2474 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
229207, 220, 2283brtr4d 4310 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
230176nnnn0d 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN0 )
231 nnexpcl 11862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 4 ^ (
n  +  1 ) )  e.  NN )
2321, 230, 231sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  e.  NN )
233232nnrpd 11014 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
234233, 177rpdivcld 11032 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
235234rpred 11015 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
236180rpred 11015 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
237165, 236remulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
238 nn0mulcl 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0 )
23935, 230, 238sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
240176nnzd 10734 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
241 bccl 12082 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
242239, 240, 241syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
243242nn0red 10625 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
244 lttr 9439 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  /\  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
245235, 237, 243, 244syl3anc 1211 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ ( n  + 
1 ) )  / 
( n  +  1 ) )  <  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  <  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
4 ^ ( n  +  1 ) )  /  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
246229, 245mpand 668 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
247185, 246sylbid 215 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
248158, 247syl 16 . 2  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  <  ( ( 2  x.  n )  _C  n )  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) ) )
2492, 8, 14, 20, 26, 156, 248uzind4i 10904 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   5c5 10362   6c6 10363   7c7 10364   10c10 10367   NN0cn0 10567   ZZcz 10634  ;cdc 10743   ZZ>=cuz 10849   RR+crp 10979   ^cexp 11849    _C cbc 12062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063
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