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Theorem bclbnd 24200
Description: A bound on the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bclbnd  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )

Proof of Theorem bclbnd
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4z 10973 . 2  |-  4  e.  ZZ
2 oveq2 6311 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ 4 ) )
3 id 23 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  x  =  4 )
42, 3oveq12d 6321 . . 3  |-  ( x  =  4  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ 4 )  / 
4 ) )
5 oveq2 6311 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  4 ) )
65, 3oveq12d 6321 . . 3  |-  ( x  =  4  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 ) )
74, 6breq12d 4434 . 2  |-  ( x  =  4  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ 4 )  /  4 )  < 
( ( 2  x.  4 )  _C  4
) ) )
8 oveq2 6311 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ n ) )
9 id 23 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  x  =  n )
108, 9oveq12d 6321 . . 3  |-  ( x  =  n  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ n )  /  n ) )
11 oveq2 6311 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  n ) )
1211, 9oveq12d 6321 . . 3  |-  ( x  =  n  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  n )  _C  n ) )
1310, 12breq12d 4434 . 2  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ n )  /  n )  < 
( ( 2  x.  n )  _C  n
) ) )
14 oveq2 6311 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ ( n  +  1 ) ) )
15 id 23 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  x  =  ( n  + 
1 ) )
1614, 15oveq12d 6321 . . 3  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ ( n  + 
1 ) )  / 
( n  +  1 ) ) )
17 oveq2 6311 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
1817, 15oveq12d 6321 . . 3  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )
1916, 18breq12d 4434 . 2  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ ( n  +  1 ) )  /  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
20 oveq2 6311 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ N ) )
21 id 23 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  x  =  N )
2220, 21oveq12d 6321 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ N )  /  N ) )
23 oveq2 6311 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  N ) )
2423, 21oveq12d 6321 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
2522, 24breq12d 4434 . 2  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
26 6nn0 10892 . . . 4  |-  6  e.  NN0
27 7nn0 10893 . . . 4  |-  7  e.  NN0
28 4nn0 10890 . . . 4  |-  4  e.  NN0
29 0nn0 10886 . . . 4  |-  0  e.  NN0
30 4lt10 10819 . . . 4  |-  4  <  10
31 6lt7 10793 . . . 4  |-  6  <  7
3226, 27, 28, 29, 30, 31decltc 11075 . . 3  |- ; 6 4  < ; 7 0
33 2cn 10682 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
34 2nn0 10888 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
35 3nn0 10889 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
36 expmul 12318 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
3 ) )
3733, 34, 35, 36mp3an 1361 . . . . 5  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 3 )
38 sq2 12372 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
3938eqcomi 2436 . . . . . 6  |-  4  =  ( 2 ^ 2 )
40 3p1e4 10737 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
41 4cn 10689 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
42 ax-1cn 9599 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
43 3cn 10686 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4441, 42, 43subadd2i 9965 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  =  3  <->  ( 3  +  1 )  =  4 )
4540, 44mpbir 213 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  3
4639, 45oveq12i 6315 . . . . 5  |-  ( 4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 3 )
4737, 46eqtr4i 2455 . . . 4  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 4 ^ (
4  -  1 ) )
48 3t2e6 10763 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
4943, 33, 48mulcomli 9652 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
5049oveq2i 6314 . . . . 5  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 2 ^ 6 )
51 2exp6 15051 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
5250, 51eqtri 2452 . . . 4  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  = ; 6
4
53 4ne0 10708 . . . . 5  |-  4  =/=  0
54 expm1 12323 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 4 )  / 
4 ) )
5541, 53, 1, 54mp3an 1361 . . . 4  |-  ( 4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 4 )  /  4
)
5647, 52, 553eqtr3ri 2461 . . 3  |-  ( ( 4 ^ 4 )  /  4 )  = ; 6
4
57 df-4 10672 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
5857oveq2i 6314 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  4 )  =  ( 2  x.  (
3  +  1 ) )
5958, 57oveq12i 6315 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  =  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  (
3  +  1 ) )
60 bcp1ctr 24199 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) ) ) ) )
6135, 60ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) ) ) )
62 df-3 10671 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
6362oveq2i 6314 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 2  x.  (
2  +  1 ) )
6463, 62oveq12i 6315 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  =  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  (
2  +  1 ) )
65 bcp1ctr 24199 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) ) ) ) )
6634, 65ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) ) ) )
67 df-2 10670 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6867oveq2i 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  2 )  =  ( 2  x.  (
1  +  1 ) )
6968, 67oveq12i 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  =  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  (
1  +  1 ) )
70 1nn0 10887 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
71 bcp1ctr 24199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) ) ) ) )
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) ) ) )
73 1e0p1 11081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7473oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 2  x.  (
0  +  1 ) )
7574, 73oveq12i 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  =  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  (
0  +  1 ) )
76 bcp1ctr 24199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) ) ) ) )
7729, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) ) ) )
7834, 29nn0mulcli 10910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  0 )  e. 
NN0
79 bcn0 12496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  0 )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  =  1 )
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  =  1
81 2t0e0 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
8281oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 )
8382, 73eqtr4i 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  =  1
8473eqcomi 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8583, 84oveq12i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  /  1
)
86 1div1e1 10302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  1 )  =  1
8785, 86eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) )  =  1
8887oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  / 
( 0  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
89 2t1e2 10760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
9088, 89eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  / 
( 0  +  1 ) ) )  =  2
9180, 90oveq12i 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  (
0  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  x.  2 )
9233mulid2i 9648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
9391, 92eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  (
0  +  1 ) ) ) )  =  2
9475, 77, 933eqtri 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  =  2
9589oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9695, 62eqtr4i 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
9767eqcomi 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9896, 97oveq12i 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) )  =  ( 3  /  2
)
9998oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  / 
( 1  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
3  /  2 ) )
100 2ne0 10704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
10143, 33, 100divcan2i 10352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 3  / 
2 ) )  =  3
10299, 101eqtri 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  / 
( 1  +  1 ) ) )  =  3
10394, 102oveq12i 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  (
1  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  3 )
104103, 49eqtri 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  (
1  +  1 ) ) ) )  =  6
10569, 72, 1043eqtri 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  =  6
106 2t2e4 10761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
107106oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
108 df-5 10673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  =  ( 4  +  1 )
109107, 108eqtr4i 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  5
11062eqcomi 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  +  1 )  =  3
111109, 110oveq12i 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) )  =  ( 5  /  3
)
112111oveq2i 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  / 
( 2  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
5  /  3 ) )
113 5cn 10691 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  CC
114 3ne0 10706 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
11533, 113, 43, 114divassi 10365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  5 )  /  3 )  =  ( 2  x.  (
5  /  3 ) )
116112, 115eqtr4i 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  / 
( 2  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  /  3
)
117105, 116oveq12i 6315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  (
2  +  1 ) ) ) )  =  ( 6  x.  (
( 2  x.  5 )  /  3 ) )
11866, 117eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( 6  x.  (
( 2  x.  5 )  /  3 ) )
119 6cn 10693 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
120 2nn 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
121 5nn 10772 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN
122120, 121nnmulcli 10635 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  5 )  e.  NN
123122nncni 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  e.  CC
12443, 114pm3.2i 457 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
125 div12 10294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 6  e.  CC  /\  ( 2  x.  5 )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  (
6  /  3 ) ) )
126119, 123, 124, 125mp3an 1361 . . . . . . . 8  |-  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  (
6  /  3 ) )
127 5t2e10 10766 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
128113, 33, 127mulcomli 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
129119, 43, 33, 114divmuli 10363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 6  /  3 )  =  2  <->  ( 3  x.  2 )  =  6 )
13048, 129mpbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  /  3 )  =  2
131128, 130oveq12i 6315 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  ( 6  / 
3 ) )  =  ( 10  x.  2 )
132126, 131eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( 10  x.  2 )
13364, 118, 1323eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  =  ( 10  x.  2 )
13449oveq1i 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  ( 6  +  1 )
135 df-7 10675 . . . . . . . . 9  |-  7  =  ( 6  +  1 )
136134, 135eqtr4i 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  7
137136, 40oveq12i 6315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) )  =  ( 7  /  4
)
138137oveq2i 6314 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  / 
( 3  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
7  /  4 ) )
139133, 138oveq12i 6315 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  (
3  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 10  x.  2 )  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
14059, 61, 1393eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  =  ( ( 10  x.  2 )  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
141 10nn 10777 . . . . . . 7  |-  10  e.  NN
142141nncni 10621 . . . . . 6  |-  10  e.  CC
143 7cn 10695 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
144143, 41, 53divcli 10351 . . . . . . 7  |-  ( 7  /  4 )  e.  CC
14533, 144mulcli 9650 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 7  / 
4 ) )  e.  CC
146142, 33, 145mulassi 9654 . . . . 5  |-  ( ( 10  x.  2 )  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  ( 10  x.  (
2  x.  ( 2  x.  ( 7  / 
4 ) ) ) )
147106oveq1i 6313 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  ( 4  x.  (
7  /  4 ) )
14833, 33, 144mulassi 9654 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  ( 2  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
149143, 41, 53divcan2i 10352 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  7
150147, 148, 1493eqtr3i 2460 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  7
151150oveq2i 6314 . . . . 5  |-  ( 10  x.  ( 2  x.  ( 2  x.  (
7  /  4 ) ) ) )  =  ( 10  x.  7 )
152146, 151eqtri 2452 . . . 4  |-  ( ( 10  x.  2 )  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  ( 10  x.  7 )
15327dec0u 11068 . . . 4  |-  ( 10  x.  7 )  = ; 7
0
154140, 152, 1533eqtri 2456 . . 3  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  = ; 7
0
15532, 56, 1543brtr4i 4450 . 2  |-  ( ( 4 ^ 4 )  /  4 )  < 
( ( 2  x.  4 )  _C  4
)
156 4nn 10771 . . . 4  |-  4  e.  NN
157 eluznn 11231 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  n  e.  NN )
158156, 157mpan 675 . . 3  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  n  e.  NN )
159 nnnn0 10878 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
160 nnexpcl 12286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ n
)  e.  NN )
161156, 159, 160sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  NN )
162161nnrpd 11341 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  RR+ )
163 nnrp 11313 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
164162, 163rpdivcld 11360 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  RR+ )
165164rpred 11343 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  RR )
166 nnmulcl 10634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
167120, 166mpan 675 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
168167nnnn0d 10927 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
169 nnz 10961 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
170 bccl 12508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  _C  n
)  e.  NN0 )
171168, 169, 170syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  _C  n )  e.  NN0 )
172171nn0red 10928 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  _C  n )  e.  RR )
173 2rp 11309 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
174167peano2nnd 10628 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
175174nnrpd 11341 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR+ )
176 peano2nn 10623 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
177176nnrpd 11341 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  RR+ )
178175, 177rpdivcld 11360 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
179 rpmulcl 11326 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
180173, 178, 179sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
181165, 172, 180ltmul1d 11381 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
182 bcp1ctr 24199 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
183159, 182syl 17 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
184183breq2d 4433 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
185181, 184bitr4d 260 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
186 2re 10681 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
187186a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
188175, 163rpdivcld 11360 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
189188rpred 11343 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  e.  RR )
190 nnmulcl 10634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 4 ^ n
)  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  e.  NN )
191161, 120, 190sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  NN )
192191nnrpd 11341 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  RR+ )
193192, 177rpdivcld 11360 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
194163rpreccld 11353 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
195 ltaddrp 11338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )  ->  2  <  ( 2  +  ( 1  /  n ) ) )
196186, 194, 195sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  <  ( 2  +  ( 1  /  n ) ) )
197167nncnd 10627 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
198 1cnd 9661 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
199 nncn 10619 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
200 nnne0 10644 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
201197, 198, 199, 200divdird 10423 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  n )  +  ( 1  /  n
) ) )
20233a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
203202, 199, 200divcan4d 10391 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  /  n )  =  2 )
204203oveq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  n
)  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 2  +  ( 1  /  n
) ) )
205201, 204eqtr2d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n ) )
206196, 205breqtrd 4446 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  2  <  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) )
207187, 189, 193, 206ltmul2dd 11396 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  (
n  +  1 ) )  x.  2 )  <  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
208 expp1 12280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
20941, 159, 208sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
210161nncnd 10627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  CC )
211210, 202, 202mulassd 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  ( 2  x.  2 ) ) )
212106oveq2i 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4 ^ n )  x.  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 )
213211, 212syl6eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
214209, 213eqtr4d 2467 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 ) )
215214oveq1d 6318 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  x.  2 )  / 
( n  +  1 ) ) )
216191nncnd 10627 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  CC )
217176nncnd 10627 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
218176nnne0d 10656 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  =/=  0 )
219216, 202, 217, 218div23d 10422 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  2 ) )
220215, 219eqtrd 2464 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  2 ) )
221210, 202, 199, 200div23d 10422 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n )  =  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  2 ) )
222221oveq1d 6318 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n
)  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  /  n )  x.  2 )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )
223174nncnd 10627 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
224216, 199, 223, 217, 200, 218divmul24d 10428 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n
)  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
225164rpcnd 11345 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  CC )
226178rpcnd 11345 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
227225, 202, 226mulassd 9668 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  2 )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
228222, 224, 2273eqtr3rd 2473 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
229207, 220, 2283brtr4d 4452 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
230176nnnn0d 10927 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN0 )
231 nnexpcl 12286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 4 ^ (
n  +  1 ) )  e.  NN )
232156, 230, 231sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  e.  NN )
233232nnrpd 11341 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
234233, 177rpdivcld 11360 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
235234rpred 11343 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
236180rpred 11343 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
237165, 236remulcld 9673 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
238 nn0mulcl 10908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0 )
23934, 230, 238sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
240176nnzd 11041 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
241 bccl 12508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
242239, 240, 241syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
243242nn0red 10928 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
244 lttr 9712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  /\  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
245235, 237, 243, 244syl3anc 1265 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ ( n  + 
1 ) )  / 
( n  +  1 ) )  <  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  <  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
4 ^ ( n  +  1 ) )  /  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
246229, 245mpand 680 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
247185, 246sylbid 219 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
248158, 247syl 17 . 2  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  <  ( ( 2  x.  n )  _C  n )  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) ) )
2491, 7, 13, 19, 25, 155, 248uzind4i 11223 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    < clt 9677    - cmin 9862    / cdiv 10271   NNcn 10611   2c2 10661   3c3 10662   4c4 10663   5c5 10664   6c6 10665   7c7 10666   10c10 10669   NN0cn0 10871   ZZcz 10939  ;cdc 11053   ZZ>=cuz 11161   RR+crp 11304   ^cexp 12273    _C cbc 12488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489
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