MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcctr Structured version   Unicode version

Theorem bcctr 22746
Description: Value of the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcctr  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )

Proof of Theorem bcctr
StepHypRef Expression
1 fzctr 11645 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
2 bcval2 12197 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  N ) )  / 
( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  N
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  N ) )  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
4 nn0cn 10699 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
542timesd 10677 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N
) )
65oveq1d 6214 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  -  N )  =  ( ( N  +  N )  -  N
) )
74, 4pncand 9830 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  N )  -  N )  =  N )
86, 7eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  -  N )  =  N )
98fveq2d 5802 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  -  N ) )  =  ( ! `  N
) )
109oveq1d 6214 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  N ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
) )
1110oveq2d 6215 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  -  N ) )  x.  ( ! `  N
) ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
123, 11eqtrd 2495 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   0cc0 9392    + caddc 9395    x. cmul 9397    - cmin 9705    / cdiv 10103   2c2 10481   NN0cn0 10689   ...cfz 11553   !cfa 12167    _C cbc 12194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-bc 12195
This theorem is referenced by:  bposlem3  22757
  Copyright terms: Public domain W3C validator