HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem bccmpl 8214
Description: "Complementing" its second argument doesn't change a binary coefficient.
Assertion
Ref Expression
bccmpl |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N _C K) = (N _C (N - K)))
Proof of Theorem bccmpl
StepHypRef Expression
1 nn0sub 7370 . . . . . . . 8 |- ((K e. NN0 /\ N e. NN0) -> (K <_ N <-> (N - K) e. NN0))
21ancoms 484 . . . . . . 7 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (K <_ N <-> (N - K) e. NN0))
32biimp3a 1194 . . . . . 6 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N - K) e. NN0)
4 faccl 8192 . . . . . 6 |- ((N - K) e. NN0 -> (!` (N - K)) e. NN)
5 nncn 7113 . . . . . 6 |- ((!` (N - K)) e. NN -> (!` (N - K)) e. CC)
63, 4, 53syl 24 . . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (!` (N - K)) e. CC)
7 faccl 8192 . . . . . . 7 |- (K e. NN0 -> (!` K) e. NN)
8 nncn 7113 . . . . . . 7 |- ((!` K) e. NN -> (!` K) e. CC)
97, 8syl 12 . . . . . 6 |- (K e. NN0 -> (!` K) e. CC)
1093ad2ant2 898 . . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (!` K) e. CC)
11 mulcom 6459 . . . . 5 |- (((!` (N - K)) e. CC /\ (!` K) e. CC) -> ((!` (N - K)) x. (!` K)) = ((!` K) x. (!` (N - K))))
126, 10, 11syl11anc 524 . . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` (N - K)) x. (!` K)) = ((!` K) x. (!` (N - K))))
13 nncan 6635 . . . . . . . 8 |- ((N e. CC /\ K e. CC) -> (N - (N - K)) = K)
14 nn0cn 7318 . . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> N e. CC)
15 nn0cn 7318 . . . . . . . 8 |- (K e. NN0 -> K e. CC)
1613, 14, 15syl2an 503 . . . . . . 7 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (N - (N - K)) = K)
1716fveq2d 4685 . . . . . 6 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (!` (N - (N - K))) = (!` K))
18173adant3 896 . . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (!` (N - (N - K))) = (!` K))
1918opreq1d 4897 . . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K))) = ((!` K) x. (!` (N - K))))
2012, 19eqtr4d 1928 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` (N - K)) x. (!` K)) = ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K))))
2120opreq2d 4898 . 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))) = ((!` N) / ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K)))))
22 bcval2 8211 . 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N _C K) = ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))))
23 simp1 876 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> N e. NN0)
24 nn0addge1 7339 . . . . . 6 |- ((N e. RR /\ K e. NN0) -> N <_ (N + K))
25 lesubadd 6812 . . . . . . . 8 |- ((N e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR) -> ((N - K) <_ N <-> N <_ (N + K)))
26253anidm13 1155 . . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ K e. RR) -> ((N - K) <_ N <-> N <_ (N + K)))
27 nn0re 7317 . . . . . . 7 |- (K e. NN0 -> K e. RR)
2826, 27sylan2 500 . . . . . 6 |- ((N e. RR /\ K e. NN0) -> ((N - K) <_ N <-> N <_ (N + K)))
2924, 28mpbird 213 . . . . 5 |- ((N e. RR /\ K e. NN0) -> (N - K) <_ N)
30 nn0re 7317 . . . . 5 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
3129, 30sylan 497 . . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (N - K) <_ N)
32313adant3 896 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N - K) <_ N)
33 bcval2 8211 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ (N - K) e. NN0 /\ (N - K) <_ N) -> (N _C (N - K)) = ((!` N) / ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K)))))
3423, 3, 32, 33syl111anc 1100 . 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N _C (N - K)) = ((!` N) / ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K)))))
3521, 22, 343eqtr4d 1937 1 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N _C K) = (N _C (N - K)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  !cfa 8183   _C cbc 8208
This theorem is referenced by:  bcnn 8216  bcnp1n 8218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-fac 8184  df-bc 8209
Copyright terms: Public domain