Theorem bccl2 8223

Description: A binomial coefficient, in its standard domain, is a natural number.

Assertion

Ref	Expression
bccl2	|- ((N e. NN0 /\ K e. (0...N)) -> (N _C K) e. NN)

Proof of Theorem bccl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 7669	. 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. (0...N)) -> N e. NN0)
2		elfznn0 7668	. . 3 |- (K e. (0...N) -> K e. NN0)
3	2	adantl 424	. 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. (0...N)) -> K e. NN0)
4		elfzle2 7654	. . 3 |- (K e. (0...N) -> K <_ N)
5	4	adantl 424	. 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. (0...N)) -> K <_ N)
6		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (k = K -> (k <_ N <-> K <_ N))
7		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (k = K -> (N _C k) = (N _C K))
8	7	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- (k = K -> ((N _C k) e. NN <-> (N _C K) e. NN))
9	6, 8	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- (k = K -> ((k <_ N -> (N _C k) e. NN) <-> (K <_ N -> (N _C K) e. NN)))
10	9	rcla4v 2376	. . . . . . 7 |- (K e. NN -> (A.k e. NN (k <_ N -> (N _C k) e. NN) -> (K <_ N -> (N _C K) e. NN)))
11		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (n = 1 -> (k <_ n <-> k <_ 1))
12		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- (n = 1 -> (n _C k) = (1 _C k))
13	12	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (n = 1 -> ((n _C k) e. NN <-> (1 _C k) e. NN))
14	11, 13	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (n = 1 -> ((k <_ n -> (n _C k) e. NN) <-> (k <_ 1 -> (1 _C k) e. NN)))
15	14	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (n = 1 -> (A.k e. NN (k <_ n -> (n _C k) e. NN) <-> A.k e. NN (k <_ 1 -> (1 _C k) e. NN)))
16		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (n = j -> (k <_ n <-> k <_ j))
17		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- (n = j -> (n _C k) = (j _C k))
18	17	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (n = j -> ((n _C k) e. NN <-> (j _C k) e. NN))
19	16, 18	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (n = j -> ((k <_ n -> (n _C k) e. NN) <-> (k <_ j -> (j _C k) e. NN)))
20	19	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (n = j -> (A.k e. NN (k <_ n -> (n _C k) e. NN) <-> A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN)))
21		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (n = (j + 1) -> (k <_ n <-> k <_ (j + 1)))
22		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- (n = (j + 1) -> (n _C k) = ((j + 1) _C k))
23	22	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (n = (j + 1) -> ((n _C k) e. NN <-> ((j + 1) _C k) e. NN))
24	21, 23	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (n = (j + 1) -> ((k <_ n -> (n _C k) e. NN) <-> (k <_ (j + 1) -> ((j + 1) _C k) e. NN)))
25	24	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (n = (j + 1) -> (A.k e. NN (k <_ n -> (n _C k) e. NN) <-> A.k e. NN (k <_ (j + 1) -> ((j + 1) _C k) e. NN)))
26		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (n = N -> (k <_ n <-> k <_ N))
27		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- (n = N -> (n _C k) = (N _C k))
28	27	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (n = N -> ((n _C k) e. NN <-> (N _C k) e. NN))
29	26, 28	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (n = N -> ((k <_ n -> (n _C k) e. NN) <-> (k <_ N -> (N _C k) e. NN)))
30	29	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (n = N -> (A.k e. NN (k <_ n -> (n _C k) e. NN) <-> A.k e. NN (k <_ N -> (N _C k) e. NN)))
31		nnle1eq1 7128	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> (k <_ 1 <-> k = 1))
32		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (k = 1 -> (1 _C k) = (1 _C 1))
33		1nn0 7323	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN0
34		bcnn 8216	. . . . . . . . . . . . 13 |- (1 e. NN0 -> (1 _C 1) = 1)
35	33, 34	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 _C 1) = 1
36		1nn 7117	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
37	35, 36	eqeltri 1967	. . . . . . . . . . 11 |- (1 _C 1) e. NN
38	32, 37	syl6eqel 1979	. . . . . . . . . 10 |- (k = 1 -> (1 _C k) e. NN)
39	31, 38	syl6bi 231	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (k <_ 1 -> (1 _C k) e. NN))
40	39	rgen 2159	. . . . . . . 8 |- A.k e. NN (k <_ 1 -> (1 _C k) e. NN)
41		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (j e. NN -> A.k j e. NN)
42		hbra1 2147	. . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> A.kA.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN))
43		leloe 6688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((k e. RR /\ (j + 1) e. RR) -> (k <_ (j + 1) <-> (k < (j + 1) \/ k = (j + 1))))
44		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN -> k e. RR)
45		peano2nn 7118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (j e. NN -> (j + 1) e. NN)
46		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((j + 1) e. NN -> (j + 1) e. RR)
47	45, 46	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (j e. NN -> (j + 1) e. RR)
48	43, 44, 47	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (k <_ (j + 1) <-> (k < (j + 1) \/ k = (j + 1))))
49		nnleltp1 7138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (k <_ j <-> k < (j + 1)))
50	49	orbi1d 677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> ((k <_ j \/ k = (j + 1)) <-> (k < (j + 1) \/ k = (j + 1))))
51	48, 50	bitr4d 590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (k <_ (j + 1) <-> (k <_ j \/ k = (j + 1))))
52		nnge1 7126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN -> 1 <_ k)
53		leloe 6688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((1 e. RR /\ k e. RR) -> (1 <_ k <-> (1 < k \/ 1 = k)))
54		1re 6598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
55	53, 54, 44	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN -> (1 <_ k <-> (1 < k \/ 1 = k)))
56	52, 55	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN -> (1 < k \/ 1 = k))
57	56	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (1 < k \/ 1 = k))
58		ra4 2155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> (k e. NN -> (k <_ j -> (j _C k) e. NN)))
59	58	imp32 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) /\ (k e. NN /\ k <_ j)) -> (j _C k) e. NN)
60	59	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((k e. NN /\ k <_ j) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN)) -> (j _C k) e. NN)
61	60	adantllr 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ k <_ j) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN)) -> (j _C k) e. NN)
62	61	adantlrl 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN)) -> (j _C k) e. NN)
63		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. NN -> k e. ZZ)
64		peano2zm 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. ZZ -> (k - 1) e. ZZ)
65	63, 64	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (k e. NN -> (k - 1) e. ZZ)
66		nnltlem1 7396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((1 e. NN /\ k e. NN) -> (1 < k <-> 1 <_ (k - 1)))
67	36, 66	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (k e. NN -> (1 < k <-> 1 <_ (k - 1)))
68	67	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (k e. NN -> (1 < k -> 1 <_ (k - 1)))
69	68	anim2d 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. NN -> (((k - 1) e. ZZ /\ 1 < k) -> ((k - 1) e. ZZ /\ 1 <_ (k - 1))))
70		elnnz1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((k - 1) e. NN <-> ((k - 1) e. ZZ /\ 1 <_ (k - 1)))
71	69, 70	syl6ibr 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (k e. NN -> (((k - 1) e. ZZ /\ 1 < k) -> (k - 1) e. NN))
72	65, 71	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (k e. NN -> (1 < k -> (k - 1) e. NN))
73		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (n = (k - 1) -> (n <_ j <-> (k - 1) <_ j))
74		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (n = (k - 1) -> (j _C n) = (j _C (k - 1)))
75	74	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (n = (k - 1) -> ((j _C n) e. NN <-> (j _C (k - 1)) e. NN))
76	73, 75	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (n = (k - 1) -> ((n <_ j -> (j _C n) e. NN) <-> ((k - 1) <_ j -> (j _C (k - 1)) e. NN)))
77	76	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((k - 1) e. NN -> (A.n e. NN (n <_ j -> (j _C n) e. NN) -> ((k - 1) <_ j -> (j _C (k - 1)) e. NN)))
78		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (k = n -> (k <_ j <-> n <_ j))
79		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (k = n -> (j _C k) = (j _C n))
80	79	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (k = n -> ((j _C k) e. NN <-> (j _C n) e. NN))
81	78, 80	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (k = n -> ((k <_ j -> (j _C k) e. NN) <-> (n <_ j -> (j _C n) e. NN)))
82	81	cbvralv 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) <-> A.n e. NN (n <_ j -> (j _C n) e. NN))
83	77, 82	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((k - 1) e. NN -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> ((k - 1) <_ j -> (j _C (k - 1)) e. NN)))
84	83	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((k - 1) e. NN -> ((k - 1) <_ j -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> (j _C (k - 1)) e. NN)))
85	72, 84	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (k e. NN -> (1 < k -> ((k - 1) <_ j -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> (j _C (k - 1)) e. NN))))
86	85	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (1 < k -> ((k - 1) <_ j -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> (j _C (k - 1)) e. NN))))
87		lep1 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. RR -> k <_ (k + 1))
88		lesubadd 6812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((k e. RR /\ 1 e. RR /\ k e. RR) -> ((k - 1) <_ k <-> k <_ (k + 1)))
89	54, 88	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((k e. RR /\ k e. RR) -> ((k - 1) <_ k <-> k <_ (k + 1)))
90	89	anidms 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. RR -> ((k - 1) <_ k <-> k <_ (k + 1)))
91	87, 90	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (k e. RR -> (k - 1) <_ k)
92	91	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((k e. RR /\ j e. RR) -> (k - 1) <_ k)
93		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((k - 1) e. RR /\ k e. RR /\ j e. RR) -> (((k - 1) <_ k /\ k <_ j) -> (k - 1) <_ j))
94	93	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((k - 1) e. RR /\ k e. RR) /\ j e. RR) -> (((k - 1) <_ k /\ k <_ j) -> (k - 1) <_ j))
95		peano2rem 6605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. RR -> (k - 1) e. RR)
96	95	ancri 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (k e. RR -> ((k - 1) e. RR /\ k e. RR))
97	94, 96	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((k e. RR /\ j e. RR) -> (((k - 1) <_ k /\ k <_ j) -> (k - 1) <_ j))
98	92, 97	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((k e. RR /\ j e. RR) -> (k <_ j -> (k - 1) <_ j))
99		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (j e. NN -> j e. RR)
100	98, 44, 99	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (k <_ j -> (k - 1) <_ j))
101	86, 100	syl5d 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (1 < k -> (k <_ j -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> (j _C (k - 1)) e. NN))))
102	101	imp42 396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN)) -> (j _C (k - 1)) e. NN)
103		nnaddcl 7123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((j _C k) e. NN /\ (j _C (k - 1)) e. NN) -> ((j _C k) + (j _C (k - 1))) e. NN)
104	62, 102, 103	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN)) -> ((j _C k) + (j _C (k - 1))) e. NN)
105		bcpasc2 8220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((j e. NN /\ k e. NN /\ k <_ j) -> ((j _C k) + (j _C (k - 1))) = ((j + 1) _C k))
106	105	3com12 1071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((k e. NN /\ j e. NN /\ k <_ j) -> ((j _C k) + (j _C (k - 1))) = ((j + 1) _C k))
107	106	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((k e. NN /\ j e. NN) /\ k <_ j) -> ((j _C k) + (j _C (k - 1))) = ((j + 1) _C k))
108	107	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((k e. NN /\ j e. NN) /\ k <_ j) -> (((j _C k) + (j _C (k - 1))) e. NN <-> ((j + 1) _C k) e. NN))
109	108	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) -> (((j _C k) + (j _C (k - 1))) e. NN <-> ((j + 1) _C k) e. NN))
110	109	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN)) -> (((j _C k) + (j _C (k - 1))) e. NN <-> ((j + 1) _C k) e. NN))
111	104, 110	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN)) -> ((j + 1) _C k) e. NN)
112	111	exp31 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> ((1 < k /\ k <_ j) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN)))
113	112	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((1 < k /\ k <_ j) -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN)))
114		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (1 = k -> ((j + 1) _C 1) = ((j + 1) _C k))
115	114	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (1 = k -> (((j + 1) _C 1) e. NN <-> ((j + 1) _C k) e. NN))
116		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (j e. NN -> j e. NN0)
117		bcnp11 8217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (j e. NN0 -> ((j + 1) _C 1) = (j + 1))
118	116, 117	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (j e. NN -> ((j + 1) _C 1) = (j + 1))
119	118, 45	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (j e. NN -> ((j + 1) _C 1) e. NN)
120	115, 119	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (1 = k -> (j e. NN -> ((j + 1) _C k) e. NN))
121	120	adantld 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (1 = k -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN))
122	121	a1dd 53	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (1 = k -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN)))
123		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (k = (j + 1) -> (k _C k) = ((j + 1) _C k))
124	123	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k = (j + 1) -> ((k _C k) e. NN <-> ((j + 1) _C k) e. NN))
125		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (k e. NN -> k e. NN0)
126		bcnn 8216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (k e. NN0 -> (k _C k) = 1)
127	125, 126	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (k e. NN -> (k _C k) = 1)
128	127, 36	syl6eqel 1979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. NN -> (k _C k) e. NN)
129	124, 128	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k = (j + 1) -> (k e. NN -> ((j + 1) _C k) e. NN))
130	129	adantrd 427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k = (j + 1) -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN))
131	130	a1dd 53	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k = (j + 1) -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN)))
132	113, 122, 131	ccase2 831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((1 < k \/ 1 = k) /\ (k <_ j \/ k = (j + 1))) -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN)))
133	132	com12 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (((1 < k \/ 1 = k) /\ (k <_ j \/ k = (j + 1))) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN)))
134	57, 133	mpand 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> ((k <_ j \/ k = (j + 1)) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN)))
135	51, 134	sylbid 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (k <_ (j + 1) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN)))
136	135	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> (j e. NN -> (k <_ (j + 1) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN))))
137	136	com23 36	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> (k <_ (j + 1) -> (j e. NN -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> ((j + 1) _C k) e. NN))))
138	137	com4t 44	. . . . . . . . 9 |- (j e. NN -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> (k e. NN -> (k <_ (j + 1) -> ((j + 1) _C k) e. NN))))
139	41, 42, 138	r19.21ad 2180	. . . . . . . 8 |- (j e. NN -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j _C k) e. NN) -> A.k e. NN (k <_ (j + 1) -> ((j + 1) _C k) e. NN)))
140	15, 20, 25, 30, 40, 139	nnind 7120	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> A.k e. NN (k <_ N -> (N _C k) e. NN))
141	10, 140	syl5com 63	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (K e. NN -> (K <_ N -> (N _C K) e. NN)))
142	141	imp 377	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ K e. NN) -> (K <_ N -> (N _C K) e. NN))
143		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> (K <_ N <-> K <_ 0))
144	143	notbid 673	. . . . . . . 8 |- (N = 0 -> (-. K <_ N <-> -. K <_ 0))
145		nngt0 7129	. . . . . . . . 9 |- (K e. NN -> 0 < K)
146		ltnle 6680	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ K e. RR) -> (0 < K <-> -. K <_ 0))
147		0re 6603	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
148		nnre 7112	. . . . . . . . . 10 |- (K e. NN -> K e. RR)
149	146, 147, 148	sylancr 526	. . . . . . . . 9 |- (K e. NN -> (0 < K <-> -. K <_ 0))
150	145, 149	mpbid 212	. . . . . . . 8 |- (K e. NN -> -. K <_ 0)
151	144, 150	syl5bir 227	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> (K e. NN -> -. K <_ N))
152	151	imp 377	. . . . . 6 |- ((N = 0 /\ K e. NN) -> -. K <_ N)
153	152	pm2.21d 94	. . . . 5 |- ((N = 0 /\ K e. NN) -> (K <_ N -> (N _C K) e. NN))
154		nnnn0 7315	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> N e. NN0)
155		bcn0 8215	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN0 -> (N _C 0) = 1)
156	154, 155	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (N _C 0) = 1)
157	156, 36	syl6eqel 1979	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (N _C 0) e. NN)
158	157	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ K = 0) -> (N _C 0) e. NN)
159		opreq2 4890	. . . . . . . . 9 |- (K = 0 -> (N _C K) = (N _C 0))
160	159	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (K = 0 -> ((N _C K) e. NN <-> (N _C 0) e. NN))
161	160	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ K = 0) -> ((N _C K) e. NN <-> (N _C 0) e. NN))
162	158, 161	mpbird 213	. . . . . 6 |- ((N e. NN /\ K = 0) -> (N _C K) e. NN)
163	162	a1d 15	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ K = 0) -> (K <_ N -> (N _C K) e. NN))
164		opreq12 4891	. . . . . . 7 |- ((N = 0 /\ K = 0) -> (N _C K) = (0 _C 0))
165		0nn0 7322	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
166		bcn0 8215	. . . . . . . . 9 |- (0 e. NN0 -> (0 _C 0) = 1)
167	165, 166	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0 _C 0) = 1
168	167, 36	eqeltri 1967	. . . . . . 7 |- (0 _C 0) e. NN
169	164, 168	syl6eqel 1979	. . . . . 6 |- ((N = 0 /\ K = 0) -> (N _C K) e. NN)
170	169	a1d 15	. . . . 5 |- ((N = 0 /\ K = 0) -> (K <_ N -> (N _C K) e. NN))
171	142, 153, 163, 170	ccase 829	. . . 4 |- (((N e. NN \/ N = 0) /\ (K e. NN \/ K = 0)) -> (K <_ N -> (N _C K) e. NN))
172		elnn0 7310	. . . 4 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
173		elnn0 7310	. . . 4 |- (K e. NN0 <-> (K e. NN \/ K = 0))
174	171, 172, 173	syl2anb 504	. . 3 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (K <_ N -> (N _C K) e. NN))
175	174	3impia 1064	. 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N _C K) e. NN)
176	1, 3, 5, 175	syl111anc 1100	1 |- ((N e. NN0 /\ K e. (0...N)) -> (N _C K) e. NN)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  ...cfz 7637   _C cbc 8208

This theorem is referenced by:  bccl 8224  permnn 8225

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-fac 8184  df-bc 8209

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