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Theorem bccl 12379
Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bccl  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem bccl
Dummy variables  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6288 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
m  _C  k )  =  ( 0  _C  k ) )
21eleq1d 2512 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( 0  _C  k )  e. 
NN0 ) )
32ralbidv 2882 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( 0  _C  k )  e.  NN0 ) )
4 oveq1 6288 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
m  _C  k )  =  ( n  _C  k ) )
54eleq1d 2512 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
65ralbidv 2882 . . 3  |-  ( m  =  n  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
7 oveq1 6288 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  _C  k )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
87eleq1d 2512 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( (
n  +  1 )  _C  k )  e. 
NN0 ) )
98ralbidv 2882 . . 3  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
10 oveq1 6288 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
m  _C  k )  =  ( N  _C  k ) )
1110eleq1d 2512 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( N  _C  k )  e.  NN0 ) )
1211ralbidv 2882 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k )  e.  NN0 ) )
13 elfz1eq 11706 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  k  =  0 )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  k  =  0 )
15 oveq2 6289 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  ( 0  _C  0 ) )
16 0nn0 10816 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
17 bcn0 12367 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( 0  _C  0 )  =  1 )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0  _C  0 )  =  1
19 1nn0 10817 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
2018, 19eqeltri 2527 . . . . . . 7  |-  ( 0  _C  0 )  e. 
NN0
2115, 20syl6eqel 2539 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  e.  NN0 )
2214, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  e.  NN0 )
23 bcval3 12363 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  =  0 )
2416, 23mp3an1 1312 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  (
0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  =  0 )
2524, 16syl6eqel 2539 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  (
0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  e.  NN0 )
2622, 25pm2.61dan 791 . . . 4  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  _C  k )  e.  NN0 )
2726rgen 2803 . . 3  |-  A. k  e.  ZZ  ( 0  _C  k )  e.  NN0
28 oveq2 6289 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
n  _C  k )  =  ( n  _C  m ) )
2928eleq1d 2512 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
( n  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  m )  e.  NN0 ) )
3029cbvralv 3070 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ZZ  (
n  _C  k )  e.  NN0  <->  A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )
31 bcpasc 12378 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
3231adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  (
k  -  1 ) ) )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
33 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
n  _C  m )  =  ( n  _C  k ) )
3433eleq1d 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( n  _C  m
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
3534rspccva 3195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  k
)  e.  NN0 )
36 peano2zm 10913 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
37 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
n  _C  m )  =  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )
3837eleq1d 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( n  _C  m
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 ) )
3938rspccva 3195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
4036, 39sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  (
k  -  1 ) )  e.  NN0 )
4135, 40nn0addcld 10862 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
4241adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  (
k  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
4332, 42eqeltrrd 2532 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 )
4443ralrimiva 2857 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  A. m  e.  ZZ  (
n  _C  m )  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  + 
1 )  _C  k
)  e.  NN0 )
4544ex 434 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  ZZ  (
n  _C  m )  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
4630, 45syl5bi 217 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ZZ  (
n  _C  k )  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
473, 6, 9, 12, 27, 46nn0ind 10965 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k )  e.  NN0 )
48 oveq2 6289 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  K
) )
4948eleq1d 2512 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
( N  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( N  _C  K )  e.  NN0 ) )
5049rspccva 3195 . 2  |-  ( ( A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k
)  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )
5147, 50sylan 471 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    - cmin 9810   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ...cfz 11681    _C cbc 12359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-seq 12087  df-fac 12333  df-bc 12360
This theorem is referenced by:  bccl2  12380  bcn2m1  12381  bcn2p1  12382  binomlem  13620  bcxmas  13626  srgbinomlem3  17067  srgbinomlem4  17068  srgbinomlem  17069  chpscmatgsummon  19219  basellem2  23227  basellem3  23228  basellem5  23230  chtublem  23358  bcmono  23424  bcp1ctr  23426  bclbnd  23427  binomfallfaclem1  29136  binomfallfaclem2  29137  binomrisefac  29139  bpolycl  29789  bpolysum  29790  bpolydiflem  29791  bpoly4  29796  jm2.22  30912  jm2.23  30913  altgsumbc  32674  altgsumbcALT  32675
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