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Theorem bccl 12199
Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bccl  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem bccl
Dummy variables  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6197 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
m  _C  k )  =  ( 0  _C  k ) )
21eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( 0  _C  k )  e. 
NN0 ) )
32ralbidv 2839 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( 0  _C  k )  e.  NN0 ) )
4 oveq1 6197 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
m  _C  k )  =  ( n  _C  k ) )
54eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
65ralbidv 2839 . . 3  |-  ( m  =  n  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
7 oveq1 6197 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  _C  k )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
87eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( (
n  +  1 )  _C  k )  e. 
NN0 ) )
98ralbidv 2839 . . 3  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
10 oveq1 6197 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
m  _C  k )  =  ( N  _C  k ) )
1110eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( N  _C  k )  e.  NN0 ) )
1211ralbidv 2839 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k )  e.  NN0 ) )
13 elfz1eq 11563 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  k  =  0 )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  k  =  0 )
15 oveq2 6198 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  ( 0  _C  0 ) )
16 0nn0 10695 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
17 bcn0 12187 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( 0  _C  0 )  =  1 )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0  _C  0 )  =  1
19 1nn0 10696 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
2018, 19eqeltri 2535 . . . . . . 7  |-  ( 0  _C  0 )  e. 
NN0
2115, 20syl6eqel 2547 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  e.  NN0 )
2214, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  e.  NN0 )
23 bcval3 12183 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  =  0 )
2416, 23mp3an1 1302 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  (
0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  =  0 )
2524, 16syl6eqel 2547 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  (
0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  e.  NN0 )
2622, 25pm2.61dan 789 . . . 4  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  _C  k )  e.  NN0 )
2726rgen 2889 . . 3  |-  A. k  e.  ZZ  ( 0  _C  k )  e.  NN0
28 oveq2 6198 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
n  _C  k )  =  ( n  _C  m ) )
2928eleq1d 2520 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
( n  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  m )  e.  NN0 ) )
3029cbvralv 3043 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ZZ  (
n  _C  k )  e.  NN0  <->  A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )
31 bcpasc 12198 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
3231adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  (
k  -  1 ) ) )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
33 oveq2 6198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
n  _C  m )  =  ( n  _C  k ) )
3433eleq1d 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( n  _C  m
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
3534rspccva 3168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  k
)  e.  NN0 )
36 peano2zm 10789 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
37 oveq2 6198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
n  _C  m )  =  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )
3837eleq1d 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( n  _C  m
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 ) )
3938rspccva 3168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
4036, 39sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  (
k  -  1 ) )  e.  NN0 )
4135, 40nn0addcld 10741 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
4241adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  (
k  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
4332, 42eqeltrrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 )
4443ralrimiva 2822 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  A. m  e.  ZZ  (
n  _C  m )  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  + 
1 )  _C  k
)  e.  NN0 )
4544ex 434 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  ZZ  (
n  _C  m )  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
4630, 45syl5bi 217 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ZZ  (
n  _C  k )  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
473, 6, 9, 12, 27, 46nn0ind 10839 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k )  e.  NN0 )
48 oveq2 6198 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  K
) )
4948eleq1d 2520 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
( N  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( N  _C  K )  e.  NN0 ) )
5049rspccva 3168 . 2  |-  ( ( A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k
)  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )
5147, 50sylan 471 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795  (class class class)co 6190   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    - cmin 9696   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   ...cfz 11538    _C cbc 12179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-fz 11539  df-seq 11908  df-fac 12153  df-bc 12180
This theorem is referenced by:  bccl2  12200  bcn2m1  12201  bcn2p1  12202  binomlem  13394  bcxmas  13400  srgbinomlem3  16746  srgbinomlem4  16747  srgbinomlem  16748  basellem2  22535  basellem3  22536  basellem5  22538  chtublem  22666  bcmono  22732  bcp1ctr  22734  bclbnd  22735  binomfallfaclem1  27676  binomfallfaclem2  27677  binomrisefac  27679  bpolycl  28329  bpolysum  28330  bpolydiflem  28331  bpoly4  28336  jm2.22  29482  jm2.23  29483  altgsumbc  30887  altgsumbcALT  30888  cpscmatgsummon  31299
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