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Theorem bccl 11568
Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bccl  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem bccl
Dummy variables  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
m  _C  k )  =  ( 0  _C  k ) )
21eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( 0  _C  k )  e. 
NN0 ) )
32ralbidv 2686 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( 0  _C  k )  e.  NN0 ) )
4 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
m  _C  k )  =  ( n  _C  k ) )
54eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
65ralbidv 2686 . . 3  |-  ( m  =  n  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
7 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  _C  k )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
87eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( (
n  +  1 )  _C  k )  e. 
NN0 ) )
98ralbidv 2686 . . 3  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
10 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
m  _C  k )  =  ( N  _C  k ) )
1110eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( N  _C  k )  e.  NN0 ) )
1211ralbidv 2686 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k )  e.  NN0 ) )
13 elfz1eq 11024 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  k  =  0 )
1413adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  k  =  0 )
15 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  ( 0  _C  0 ) )
16 0nn0 10192 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
17 bcn0 11556 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( 0  _C  0 )  =  1 )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 0  _C  0 )  =  1
19 1nn0 10193 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
2018, 19eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  ( 0  _C  0 )  e. 
NN0
2115, 20syl6eqel 2492 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  e.  NN0 )
2214, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  e.  NN0 )
23 bcval3 11552 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  =  0 )
2416, 23mp3an1 1266 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  (
0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  =  0 )
2524, 16syl6eqel 2492 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  (
0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  e.  NN0 )
2622, 25pm2.61dan 767 . . . 4  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  _C  k )  e.  NN0 )
2726rgen 2731 . . 3  |-  A. k  e.  ZZ  ( 0  _C  k )  e.  NN0
28 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
n  _C  k )  =  ( n  _C  m ) )
2928eleq1d 2470 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
( n  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  m )  e.  NN0 ) )
3029cbvralv 2892 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ZZ  (
n  _C  k )  e.  NN0  <->  A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )
31 bcpasc 11567 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
3231adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  (
k  -  1 ) ) )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
33 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
n  _C  m )  =  ( n  _C  k ) )
3433eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( n  _C  m
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
3534rspccva 3011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  k
)  e.  NN0 )
36 peano2zm 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
37 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
n  _C  m )  =  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )
3837eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( n  _C  m
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 ) )
3938rspccva 3011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
4036, 39sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  (
k  -  1 ) )  e.  NN0 )
4135, 40nn0addcld 10234 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
4241adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  (
k  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
4332, 42eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 )
4443ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  A. m  e.  ZZ  (
n  _C  m )  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  + 
1 )  _C  k
)  e.  NN0 )
4544ex 424 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  ZZ  (
n  _C  m )  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
4630, 45syl5bi 209 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ZZ  (
n  _C  k )  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
473, 6, 9, 12, 27, 46nn0ind 10322 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k )  e.  NN0 )
48 oveq2 6048 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  K
) )
4948eleq1d 2470 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
( N  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( N  _C  K )  e.  NN0 ) )
5049rspccva 3011 . 2  |-  ( ( A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k
)  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )
5147, 50sylan 458 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    - cmin 9247   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999    _C cbc 11548
This theorem is referenced by:  bccl2  11569  bcn2m1  11570  bcn2p1  11571  binomlem  12563  bcxmas  12570  basellem2  20817  basellem3  20818  basellem5  20820  chtublem  20948  bcmono  21014  bcp1ctr  21016  bclbnd  21017  binomfallfaclem1  25306  binomfallfaclem2  25307  binomrisefac  25309  bpolycl  26002  bpolysum  26003  bpolydiflem  26004  bpoly4  26009  jm2.22  26956  jm2.23  26957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-fac 11522  df-bc 11549
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