Theorem bastop2 8913

Description: A version of bastop1 8912 that doesn't have B C_ J in the antecedent.

Assertion

Ref	Expression
bastop2	|- (J e. Top -> ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) <-> (B C_ J /\ A.x e. J E.y(y C_ B /\ x = U.y))))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,J,y

Proof of Theorem bastop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bastop1 8912	. . 3 |- ((J e. Top /\ B C_ J) -> ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) <-> A.x e. J E.y(y C_ B /\ x = U.y)))
2	1	pm5.32da 711	. 2 |- (J e. Top -> ((B C_ J /\ (B e. Bases /\ (topGen` B) = J)) <-> (B C_ J /\ A.x e. J E.y(y C_ B /\ x = U.y))))
3		bastg 8892	. . . . 5 |- (B e. Bases -> B C_ (topGen` B))
4	3	adantr 425	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) -> B C_ (topGen` B))
5		simpr 350	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) -> (topGen` B) = J)
6	4, 5	sseqtrd 2653	. . 3 |- ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) -> B C_ J)
7	6	pm4.71ri 700	. 2 |- ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) <-> (B C_ J /\ (B e. Bases /\ (topGen` B) = J)))
8	2, 7	syl5bb 591	1 |- (J e. Top -> ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) <-> (B C_ J /\ A.x e. J E.y(y C_ B /\ x = U.y))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  Basesctb 8859  topGenctg 8860

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864

Copyright terms: Public domain