MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastop2 Structured version   Unicode version

Theorem bastop2 19788
Description: A version of bastop1 19787 that doesn't have  B  C_  J in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
bastop2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  <->  ( B  C_  J  /\  A. x  e.  J  E. y ( y  C_  B  /\  x  =  U. y
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, J, y

Proof of Theorem bastop2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2474 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  B )  =  J  ->  ( ( topGen `
 B )  e. 
Top 
<->  J  e.  Top )
)
21biimparc 485 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  ( topGen `
 B )  e. 
Top )
3 tgclb 19764 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
42, 3sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  B  e. 
TopBases )
5 bastg 19759 . . . . . 6  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
7 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  ( topGen `
 B )  =  J )
86, 7sseqtrd 3478 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  B  C_  J )
98ex 432 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  ->  B  C_  J ) )
109pm4.71rd 633 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  <->  ( B  C_  J  /\  ( topGen `  B
)  =  J ) ) )
11 bastop1 19787 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( ( topGen `  B
)  =  J  <->  A. x  e.  J  E. y
( y  C_  B  /\  x  =  U. y ) ) )
1211pm5.32da 639 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( B  C_  J  /\  ( topGen `  B )  =  J )  <->  ( B  C_  J  /\  A. x  e.  J  E. y
( y  C_  B  /\  x  =  U. y ) ) ) )
1310, 12bitrd 253 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  <->  ( B  C_  J  /\  A. x  e.  J  E. y ( y  C_  B  /\  x  =  U. y
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   A.wral 2754    C_ wss 3414   U.cuni 4191   ` cfv 5569   topGenctg 15052   Topctop 19686   TopBasesctb 19690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-topgen 15058  df-top 19691  df-bases 19693
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator