MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Structured version   Unicode version

Theorem bastg 19912
Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)

Proof of Theorem bastg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
2 vex 3090 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32pwid 3999 . . . . . . 7  |-  x  e. 
~P x
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ~P x
)
51, 4elind 3656 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  i^i  ~P x ) )
6 elssuni 4251 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
87ex 435 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
9 eltg 19903 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
108, 9sylibrd 237 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
1110ssrdv 3476 1  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1870    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222   ` cfv 5601   topGenctg 15295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-topgen 15301
This theorem is referenced by:  unitg  19913  unitgOLD  19914  tgclb  19917  tgtop  19920  tgidm  19927  tgss3  19933  bastop2  19941  elcls3  20030  ordtopn1  20141  ordtopn2  20142  leordtval2  20159  iocpnfordt  20162  icomnfordt  20163  iooordt  20164  tgcn  20199  tgcnp  20200  tgcmp  20347  2ndcsb  20395  2ndc1stc  20397  2ndcctbss  20401  2ndcomap  20404  ptopn  20529  xkoopn  20535  txopn  20548  txbasval  20552  ptpjcn  20557  flftg  20942  alexsubb  20992  blssopn  21441  iooretop  21697  bndth  21882  ovolicc2  22353  cncombf  22491  cnmbf  22492  ordtconlem1  28569  elmbfmvol2  28928  dya2icoseg2  28939  iccllyscon  29761  rellyscon  29762  topjoin  30806  fnemeet2  30808  fnejoin1  30809  ontgval  30876  mblfinlem3  31682  mblfinlem4  31683  ismblfin  31684  cnambfre  31692  kelac2  35628
  Copyright terms: Public domain W3C validator