Theorem bastg 8892

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates.

Assertion

Ref	Expression
bastg	|- (B e. Bases -> B C_ (topGen` B))

Proof of Theorem bastg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basis1 8883	. . . . . 6 |- ((B e. Bases /\ x e. B /\ x e. B) -> (x i^i x) C_ U.(B i^i ~P(x i^i x)))
2	1	3anidm23 1156	. . . . 5 |- ((B e. Bases /\ x e. B) -> (x i^i x) C_ U.(B i^i ~P(x i^i x)))
3		inidm 2803	. . . . 5 |- (x i^i x) = x
4		pweq 3036	. . . . . . . 8 |- ((x i^i x) = x -> ~P(x i^i x) = ~Px)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ~P(x i^i x) = ~Px
6	5	ineq2i 2793	. . . . . 6 |- (B i^i ~P(x i^i x)) = (B i^i ~Px)
7	6	unieqi 3187	. . . . 5 |- U.(B i^i ~P(x i^i x)) = U.(B i^i ~Px)
8	2, 3, 7	3sstr3g 2657	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ x e. B) -> x C_ U.(B i^i ~Px))
9	8	ex 402	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. B -> x C_ U.(B i^i ~Px)))
10		eltg 8888	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) <-> x C_ U.(B i^i ~Px)))
11	9, 10	sylibrd 221	. 2 |- (B e. Bases -> (x e. B -> x e. (topGen` B)))
12	11	ssrdv 2622	1 |- (B e. Bases -> B C_ (topGen` B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Basesctb 8859  topGenctg 8860

This theorem is referenced by:  unitg 8893  tgval3 8895  tgtop 8898  tgss2 8907  bastop2 8913  iooretop 8929  elcls3 8987  tx1cn 10223  tx2cn 10224  elsubops 14877  2ndcsb 15476  2ndc1stc 15477  2ndcctbss 15478  topjoin 15527  txsubsp 15912  txopn 15913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-bases 8863  df-topgen 8864

Copyright terms: Public domain