MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Structured version   Unicode version

Theorem bastg 19262
Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)

Proof of Theorem bastg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
2 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32pwid 4024 . . . . . . 7  |-  x  e. 
~P x
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ~P x
)
51, 4elind 3688 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  i^i  ~P x ) )
6 elssuni 4275 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
87ex 434 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
9 eltg 19253 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
108, 9sylibrd 234 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
1110ssrdv 3510 1  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   ` cfv 5588   topGenctg 14693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-topgen 14699
This theorem is referenced by:  unitg  19263  tgclb  19266  tgtop  19269  tgidm  19276  tgss3  19282  bastop2  19290  elcls3  19378  ordtopn1  19489  ordtopn2  19490  leordtval2  19507  iocpnfordt  19510  icomnfordt  19511  iooordt  19512  tgcn  19547  tgcnp  19548  tgcmp  19695  2ndcsb  19744  2ndc1stc  19746  2ndcctbss  19750  2ndcomap  19753  ptopn  19847  xkoopn  19853  txopn  19866  txbasval  19870  ptpjcn  19875  flftg  20260  alexsubb  20309  blssopn  20761  iooretop  21036  bndth  21221  ovolicc2  21696  cncombf  21828  cnmbf  21829  ordtconlem1  27570  elmbfmvol2  27906  dya2icoseg2  27917  iccllyscon  28363  rellyscon  28364  ontgval  29501  mblfinlem3  29658  mblfinlem4  29659  ismblfin  29660  cnambfre  29668  topjoin  29814  fnemeet2  29816  fnejoin1  29817  kelac2  30643
  Copyright terms: Public domain W3C validator