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Theorem basqtop 17696
Description: An injection maps bases to bases. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
basqtop  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  TopBases )

Proof of Theorem basqtop
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5640 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
2 qtopcmp.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
32elqtop2 17686 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
42elqtop2 17686 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
y  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
53, 4anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  <->  ( (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) ) ) )
61, 5sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  <->  ( (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) ) ) )
7 simpl1l 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  J  e. 
TopBases )
8 simpl2r 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
9 simpl3r 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F " y )  e.  J )
10 simpl1r 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
11 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
12 f1ofn 5634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F  Fn  Y
)
1310, 11, 123syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  `' F  Fn  Y )
14 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  x  C_  Y )
15 inss1 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  ( x  i^i  y
) )
1715, 16sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  x )
18 fnfvima 5935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F  Fn  Y  /\  x  C_  Y  /\  z  e.  x )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " x ) )
1913, 14, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " x ) )
20 simpl3l 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  y  C_  Y )
21 inss2 3522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
2221, 16sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  y )
23 fnfvima 5935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F  Fn  Y  /\  y  C_  Y  /\  z  e.  y )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " y ) )
2413, 20, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " y ) )
25 elin 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) )  <->  ( ( `' F `  z )  e.  ( `' F " x )  /\  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " y ) ) )
2619, 24, 25sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
27 basis2 16971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( ( `' F " y )  e.  J  /\  ( `' F `  z )  e.  ( ( `' F "
x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )
287, 8, 9, 26, 27syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )
2910adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
30 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  x  C_  Y )
3115, 30syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
x  i^i  y )  C_  Y )
3231sselda 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  Y )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  Y )
34 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
3529, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
36 f1ofn 5634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  Fn  X )
3729, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F  Fn  X )
38 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
39 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " x )
4038, 39syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( `' F "
x ) )
41 cnvimass 5183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
42 f1odm 5637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
4329, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  dom  F  =  X )
4441, 43syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " x ) 
C_  X )
4540, 44sstrd 3318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  X )
46 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  w )
47 fnfvima 5935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  X  /\  w  C_  X  /\  ( `' F `  z )  e.  w )  -> 
( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" w ) )
4837, 45, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" w ) )
4935, 48eqeltrrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  ( F " w
) )
50 imassrn 5175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" w )  C_  ran  F
5129, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
52 forn 5615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ran  F  =  Y )
5450, 53syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  Y )
55 f1of1 5632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
5629, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
57 f1imacnv 5650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  w  C_  X )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  =  w )
5856, 45, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" w ) )  =  w )
59 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  e.  J )
6058, 59eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" w ) )  e.  J )
617adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  J  e. 
TopBases )
622elqtop2 17686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
6361, 51, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
6454, 60, 63mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  ( J qTop  F ) )
65 fnfun 5501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
66 inpreima 5816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( x  i^i  y ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
6737, 65, 663syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( x  i^i  y ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
6838, 67sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( `' F "
( x  i^i  y
) ) )
6937, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  Fun  F )
7040, 41syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_ 
dom  F )
71 funimass3 5805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  w  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
w )  C_  (
x  i^i  y )  <->  w 
C_  ( `' F " ( x  i^i  y
) ) ) )
7269, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  (
( F " w
)  C_  ( x  i^i  y )  <->  w  C_  ( `' F " ( x  i^i  y ) ) ) )
7368, 72mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  ( x  i^i  y
) )
74 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
7574inex1 4304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
7675elpw2 4324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " w )  e.  ~P ( x  i^i  y )  <->  ( F " w )  C_  (
x  i^i  y )
)
7773, 76sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e. 
~P ( x  i^i  y ) )
78 elin 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " w )  e.  ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( ( F " w )  e.  ( J qTop  F )  /\  ( F "
w )  e.  ~P ( x  i^i  y
) ) )
7964, 77, 78sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P (
x  i^i  y )
) )
80 elunii 3980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( F
" w )  /\  ( F " w )  e.  ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )  -> 
z  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
8149, 79, 80syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
8228, 81rexlimddv 2794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
8382ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  y )  -> 
z  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
8483ssrdv 3314 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
85843expib 1156 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J
)  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
866, 85sylbid 207 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
8786ralrimivv 2757 . 2  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  A. x  e.  ( J qTop  F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
88 ovex 6065 . . 3  |-  ( J qTop 
F )  e.  _V
89 isbasisg 16967 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
_V  ->  ( ( J qTop 
F )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( J qTop  F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
9088, 89ax-mp 8 . 2  |-  ( ( J qTop  F )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( J qTop 
F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y
)  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
9187, 90sylibr 204 1  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   qTop cqtop 13684   TopBasesctb 16917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-qtop 13688  df-bases 16920
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