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Theorem basqtop 19126
Description: An injection maps bases to bases. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
basqtop  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  TopBases )

Proof of Theorem basqtop
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5636 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
2 qtopcmp.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
32elqtop2 19116 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
42elqtop2 19116 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
y  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
53, 4anbi12d 703 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  <->  ( (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) ) ) )
61, 5sylan2 471 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  <->  ( (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) ) ) )
7 simpl1l 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  J  e. 
TopBases )
8 simpl2r 1035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
9 simpl3r 1037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F " y )  e.  J )
10 simpl1r 1033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
11 f1ocnv 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
12 f1ofn 5630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F  Fn  Y
)
1310, 11, 123syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  `' F  Fn  Y )
14 simpl2l 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  x  C_  Y )
15 inss1 3558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
16 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  ( x  i^i  y
) )
1715, 16sseldi 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  x )
18 fnfvima 5942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F  Fn  Y  /\  x  C_  Y  /\  z  e.  x )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " x ) )
1913, 14, 17, 18syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " x ) )
20 simpl3l 1036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  y  C_  Y )
21 inss2 3559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
2221, 16sseldi 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  y )
23 fnfvima 5942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F  Fn  Y  /\  y  C_  Y  /\  z  e.  y )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " y ) )
2413, 20, 22, 23syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " y ) )
2519, 24elind 3528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
26 basis2 18398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( ( `' F " y )  e.  J  /\  ( `' F `  z )  e.  ( ( `' F "
x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )
277, 8, 9, 25, 26syl22anc 1212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )
2810adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
29 simp2l 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  x  C_  Y )
3015, 29syl5ss 3355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
x  i^i  y )  C_  Y )
3130sselda 3344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  Y )
3231adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  Y )
33 f1ocnvfv2 5971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
3428, 32, 33syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
35 f1ofn 5630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  Fn  X )
3628, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F  Fn  X )
37 simprrr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
38 inss1 3558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " x )
3937, 38syl6ss 3356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( `' F "
x ) )
40 cnvimass 5177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
41 f1odm 5633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
4228, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  dom  F  =  X )
4340, 42syl5sseq 3392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " x ) 
C_  X )
4439, 43sstrd 3354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  X )
45 simprrl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  w )
46 fnfvima 5942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  X  /\  w  C_  X  /\  ( `' F `  z )  e.  w )  -> 
( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" w ) )
4736, 44, 45, 46syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" w ) )
4834, 47eqeltrrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  ( F " w
) )
49 imassrn 5168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" w )  C_  ran  F
5028, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
51 forn 5611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ran  F  =  Y )
5349, 52syl5sseq 3392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  Y )
54 f1of1 5628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
5528, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
56 f1imacnv 5645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  w  C_  X )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  =  w )
5755, 44, 56syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" w ) )  =  w )
58 simprl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  e.  J )
5957, 58eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" w ) )  e.  J )
607adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  J  e. 
TopBases )
612elqtop2 19116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
6260, 50, 61syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
6353, 59, 62mpbir2and 906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  ( J qTop  F ) )
64 fnfun 5496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
65 inpreima 5818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( x  i^i  y ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
6636, 64, 653syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( x  i^i  y ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
6737, 66sseqtr4d 3381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( `' F "
( x  i^i  y
) ) )
6836, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  Fun  F )
6939, 40syl6ss 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_ 
dom  F )
70 funimass3 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  w  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
w )  C_  (
x  i^i  y )  <->  w 
C_  ( `' F " ( x  i^i  y
) ) ) )
7168, 69, 70syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  (
( F " w
)  C_  ( x  i^i  y )  <->  w  C_  ( `' F " ( x  i^i  y ) ) ) )
7267, 71mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  ( x  i^i  y
) )
73 vex 2965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
7473inex1 4421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
7574elpw2 4444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " w )  e.  ~P ( x  i^i  y )  <->  ( F " w )  C_  (
x  i^i  y )
)
7672, 75sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e. 
~P ( x  i^i  y ) )
7763, 76elind 3528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P (
x  i^i  y )
) )
78 elunii 4084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( F
" w )  /\  ( F " w )  e.  ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )  -> 
z  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
7948, 77, 78syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
8027, 79rexlimddv 2835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
8180ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  y )  -> 
z  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
8281ssrdv 3350 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
83823expib 1183 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J
)  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
846, 83sylbid 215 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
8584ralrimivv 2797 . 2  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  A. x  e.  ( J qTop  F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
86 ovex 6105 . . 3  |-  ( J qTop 
F )  e.  _V
87 isbasisg 18394 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
_V  ->  ( ( J qTop 
F )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( J qTop  F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . 2  |-  ( ( J qTop  F )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( J qTop 
F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y
)  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
8985, 88sylibr 212 1  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    i^i cin 3315    C_ wss 3316   ~Pcpw 3848   U.cuni 4079   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   ran crn 4828   "cima 4830   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -1-1->wf1 5403   -onto->wfo 5404   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   qTop cqtop 14424   TopBasesctb 18344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-qtop 14428  df-bases 18347
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