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Theorem basqtop 20738
Description: An injection maps bases to bases. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
basqtop |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. TopBases )
Proof of Theorem basqtop
Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5826 . . . . 5 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
2 qtopcmp.1 . . . . . . 7 |- X = U. J
32elqtop2 20728 . . . . . 6 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
42elqtop2 20728 . . . . . 6 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( y e. ( J qTop F ) <-> ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) )
53, 4anbi12d 718 . . . . 5 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( x e. ( J qTop F ) /\ y e. ( J qTop F ) ) <-> ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) ) )
61, 5sylan2 477 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( x e. ( J qTop F ) /\ y e. ( J qTop F ) ) <-> ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) ) )
7 simpl1l 1060 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> J e. TopBases )
8 simpl2r 1063 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
9 simpl3r 1065 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( `' F " y ) e. J )
10 simpl1r 1061 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
11 f1ocnv 5831 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
12 f1ofn 5820 . . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F Fn Y )
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> `' F Fn Y )
14 simpl2l 1062 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> x C_ Y )
15 inss1 3654 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ x
16 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. ( x i^i y ) )
1715, 16sseldi 3432 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. x )
18 fnfvima 6148 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F Fn Y /\ x C_ Y /\ z e. x ) -> ( `' F ` z ) e. ( `' F " x ) )
1913, 14, 17, 18syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( `' F ` z ) e. ( `' F " x ) )
20 simpl3l 1064 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> y C_ Y )
21 inss2 3655 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ y
2221, 16sseldi 3432 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. y )
23 fnfvima 6148 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F Fn Y /\ y C_ Y /\ z e. y ) -> ( `' F ` z ) e. ( `' F " y ) )
2413, 20, 22, 23syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( `' F ` z ) e. ( `' F " y ) )
2519, 24elind 3620 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( `' F ` z ) e. ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) )
26 basis2 19978 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. TopBases /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( ( `' F " y ) e. J /\ ( `' F ` z ) e. ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) )
277, 8, 9, 25, 26syl22anc 1270 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. J ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) )
2810adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
29 simp2l 1035 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) -> x C_ Y )
3015, 29syl5ss 3445 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( x i^i y ) C_ Y )
3130sselda 3434 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. Y )
3231adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> z e. Y )
33 f1ocnvfv2 6181 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ z e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
3428, 32, 33syl2anc 667 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
35 f1ofn 5820 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F Fn X )
3628, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> F Fn X )
37 simprrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) )
38 inss1 3654 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " x )
3937, 38syl6ss 3446 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w C_ ( `' F " x ) )
40 cnvimass 5191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F " x ) C_ dom F
41 f1odm 5823 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> dom F = X )
4228, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> dom F = X )
4340, 42syl5sseq 3482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( `' F " x ) C_ X )
4439, 43sstrd 3444 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w C_ X )
45 simprrl 775 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( `' F ` z ) e. w )
46 fnfvima 6148 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn X /\ w C_ X /\ ( `' F ` z ) e. w ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " w ) )
4736, 44, 45, 46syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " w ) )
4834, 47eqeltrrd 2532 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> z e. ( F " w ) )
49 imassrn 5182 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F " w ) C_ ran F
5028, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> F : X -onto-> Y )
51 forn 5801 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ran F = Y )
5349, 52syl5sseq 3482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F " w ) C_ Y )
54 f1of1 5818 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -1-1-> Y )
5528, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> F : X -1-1-> Y )
56 f1imacnv 5835 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ w C_ X ) -> ( `' F " ( F " w ) ) = w )
5755, 44, 56syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( `' F " ( F " w ) ) = w )
58 simprl 765 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w e. J )
5957, 58eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( `' F " ( F " w ) ) e. J )
607adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> J e. TopBases )
612elqtop2 20728 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
6260, 50, 61syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
6353, 59, 62mpbir2and 934 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F " w ) e. ( J qTop F ) )
64 fnfun 5678 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn X -> Fun F )
65 inpreima 6012 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun F -> ( `' F " ( x i^i y ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) )
6636, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( `' F " ( x i^i y ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) )
6737, 66sseqtr4d 3471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w C_ ( `' F " ( x i^i y ) ) )
6836, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> Fun F )
6939, 40syl6ss 3446 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w C_ dom F )
70 funimass3 6003 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ w C_ dom F ) -> ( ( F " w ) C_ ( x i^i y ) <-> w C_ ( `' F " ( x i^i y ) ) ) )
7168, 69, 70syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( ( F " w ) C_ ( x i^i y ) <-> w C_ ( `' F " ( x i^i y ) ) ) )
7267, 71mpbird 236 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F " w ) C_ ( x i^i y ) )
73 vex 3050 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
7473inex1 4547 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) e. _V
7574elpw2 4570 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " w ) e. ~P ( x i^i y ) <-> ( F " w ) C_ ( x i^i y ) )
7672, 75sylibr 216 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F " w ) e. ~P ( x i^i y ) )
7763, 76elind 3620 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F " w ) e. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
78 elunii 4206 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( F " w ) /\ ( F " w ) e. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) ) -> z e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
7948, 77, 78syl2anc 667 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> z e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
8027, 79rexlimddv 2885 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
8180ex 436 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) -> z e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
8281ssrdv 3440 . . . . 5 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
83823expib 1212 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
846, 83sylbid 219 . . 3 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( x e. ( J qTop F ) /\ y e. ( J qTop F ) ) -> ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
8584ralrimivv 2810 . 2 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> A. x e. ( J qTop F ) A. y e. ( J qTop F ) ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
86 ovex 6323 . . 3 |- ( J qTop F ) e. _V
87 isbasisg 19974 . . 3 |- ( ( J qTop F ) e. _V -> ( ( J qTop F ) e. TopBases <-> A. x e. ( J qTop F ) A. y e. ( J qTop F ) ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . 2 |- ( ( J qTop F ) e. TopBases <-> A. x e. ( J qTop F ) A. y e. ( J qTop F ) ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
8985, 88sylibr 216 1 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   i^i cin 3405   C_ wss 3406   ~Pcpw 3953   U.cuni 4201   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5579   Fn wfn 5580   -1-1->wf1 5582   -onto->wfo 5583   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   qTop cqtop 15413   TopBasesctb 19932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-qtop 15418  df-bases 19934
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