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Theorem basqtop 20738
Description: An injection maps bases to bases. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
basqtop  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  TopBases )

Proof of Theorem basqtop
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5826 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
2 qtopcmp.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
32elqtop2 20728 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
42elqtop2 20728 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
y  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
53, 4anbi12d 718 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  <->  ( (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) ) ) )
61, 5sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  <->  ( (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) ) ) )
7 simpl1l 1060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  J  e. 
TopBases )
8 simpl2r 1063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
9 simpl3r 1065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F " y )  e.  J )
10 simpl1r 1061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
11 f1ocnv 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
12 f1ofn 5820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F  Fn  Y
)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  `' F  Fn  Y )
14 simpl2l 1062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  x  C_  Y )
15 inss1 3654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
16 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  ( x  i^i  y
) )
1715, 16sseldi 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  x )
18 fnfvima 6148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F  Fn  Y  /\  x  C_  Y  /\  z  e.  x )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " x ) )
1913, 14, 17, 18syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " x ) )
20 simpl3l 1064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  y  C_  Y )
21 inss2 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
2221, 16sseldi 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  y )
23 fnfvima 6148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F  Fn  Y  /\  y  C_  Y  /\  z  e.  y )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " y ) )
2413, 20, 22, 23syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " y ) )
2519, 24elind 3620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
26 basis2 19978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( ( `' F " y )  e.  J  /\  ( `' F `  z )  e.  ( ( `' F "
x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )
277, 8, 9, 25, 26syl22anc 1270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )
2810adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
29 simp2l 1035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  x  C_  Y )
3015, 29syl5ss 3445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
x  i^i  y )  C_  Y )
3130sselda 3434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  Y )
3231adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  Y )
33 f1ocnvfv2 6181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
3428, 32, 33syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
35 f1ofn 5820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  Fn  X )
3628, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F  Fn  X )
37 simprrr 776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
38 inss1 3654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " x )
3937, 38syl6ss 3446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( `' F "
x ) )
40 cnvimass 5191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
41 f1odm 5823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
4228, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  dom  F  =  X )
4340, 42syl5sseq 3482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " x ) 
C_  X )
4439, 43sstrd 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  X )
45 simprrl 775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  w )
46 fnfvima 6148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  X  /\  w  C_  X  /\  ( `' F `  z )  e.  w )  -> 
( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" w ) )
4736, 44, 45, 46syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" w ) )
4834, 47eqeltrrd 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  ( F " w
) )
49 imassrn 5182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" w )  C_  ran  F
5028, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
51 forn 5801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ran  F  =  Y )
5349, 52syl5sseq 3482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  Y )
54 f1of1 5818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
5528, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
56 f1imacnv 5835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  w  C_  X )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  =  w )
5755, 44, 56syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" w ) )  =  w )
58 simprl 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  e.  J )
5957, 58eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" w ) )  e.  J )
607adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  J  e. 
TopBases )
612elqtop2 20728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
6260, 50, 61syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
6353, 59, 62mpbir2and 934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  ( J qTop  F ) )
64 fnfun 5678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
65 inpreima 6012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( x  i^i  y ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
6636, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( x  i^i  y ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
6737, 66sseqtr4d 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( `' F "
( x  i^i  y
) ) )
6836, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  Fun  F )
6939, 40syl6ss 3446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_ 
dom  F )
70 funimass3 6003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  w  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
w )  C_  (
x  i^i  y )  <->  w 
C_  ( `' F " ( x  i^i  y
) ) ) )
7168, 69, 70syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  (
( F " w
)  C_  ( x  i^i  y )  <->  w  C_  ( `' F " ( x  i^i  y ) ) ) )
7267, 71mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  ( x  i^i  y
) )
73 vex 3050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
7473inex1 4547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
7574elpw2 4570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " w )  e.  ~P ( x  i^i  y )  <->  ( F " w )  C_  (
x  i^i  y )
)
7672, 75sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e. 
~P ( x  i^i  y ) )
7763, 76elind 3620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P (
x  i^i  y )
) )
78 elunii 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( F
" w )  /\  ( F " w )  e.  ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )  -> 
z  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
7948, 77, 78syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
8027, 79rexlimddv 2885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
8180ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  y )  -> 
z  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
8281ssrdv 3440 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
83823expib 1212 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J
)  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
846, 83sylbid 219 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
8584ralrimivv 2810 . 2  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  A. x  e.  ( J qTop  F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
86 ovex 6323 . . 3  |-  ( J qTop 
F )  e.  _V
87 isbasisg 19974 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
_V  ->  ( ( J qTop 
F )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( J qTop  F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . 2  |-  ( ( J qTop  F )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( J qTop 
F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y
)  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
8985, 88sylibr 216 1  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    i^i cin 3405    C_ wss 3406   ~Pcpw 3953   U.cuni 4201   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5579    Fn wfn 5580   -1-1->wf1 5582   -onto->wfo 5583   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   qTop cqtop 15413   TopBasesctb 19932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-qtop 15418  df-bases 19934
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