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Theorem basqtop 19415
Description: An injection maps bases to bases. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
basqtop  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  TopBases )

Proof of Theorem basqtop
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5755 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
2 qtopcmp.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
32elqtop2 19405 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
42elqtop2 19405 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
y  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
53, 4anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  <->  ( (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) ) ) )
61, 5sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  <->  ( (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) ) ) )
7 simpl1l 1039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  J  e. 
TopBases )
8 simpl2r 1042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
9 simpl3r 1044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F " y )  e.  J )
10 simpl1r 1040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
11 f1ocnv 5760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
12 f1ofn 5749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F  Fn  Y
)
1310, 11, 123syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  `' F  Fn  Y )
14 simpl2l 1041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  x  C_  Y )
15 inss1 3677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  ( x  i^i  y
) )
1715, 16sseldi 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  x )
18 fnfvima 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F  Fn  Y  /\  x  C_  Y  /\  z  e.  x )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " x ) )
1913, 14, 17, 18syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " x ) )
20 simpl3l 1043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  y  C_  Y )
21 inss2 3678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
2221, 16sseldi 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  y )
23 fnfvima 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F  Fn  Y  /\  y  C_  Y  /\  z  e.  y )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " y ) )
2413, 20, 22, 23syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( `' F " y ) )
2519, 24elind 3647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
26 basis2 18687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( ( `' F " y )  e.  J  /\  ( `' F `  z )  e.  ( ( `' F "
x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )
277, 8, 9, 25, 26syl22anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) )
2810adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
29 simp2l 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  x  C_  Y )
3015, 29syl5ss 3474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
x  i^i  y )  C_  Y )
3130sselda 3463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  Y )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  Y )
33 f1ocnvfv2 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
3428, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
35 f1ofn 5749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  Fn  X )
3628, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F  Fn  X )
37 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
38 inss1 3677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " x )
3937, 38syl6ss 3475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( `' F "
x ) )
40 cnvimass 5296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
41 f1odm 5752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
4228, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  dom  F  =  X )
4340, 42syl5sseq 3511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " x ) 
C_  X )
4439, 43sstrd 3473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  X )
45 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  w )
46 fnfvima 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  X  /\  w  C_  X  /\  ( `' F `  z )  e.  w )  -> 
( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" w ) )
4736, 44, 45, 46syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" w ) )
4834, 47eqeltrrd 2543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  ( F " w
) )
49 imassrn 5287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" w )  C_  ran  F
5028, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
51 forn 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ran  F  =  Y )
5349, 52syl5sseq 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  Y )
54 f1of1 5747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
5528, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
56 f1imacnv 5764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  w  C_  X )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  =  w )
5755, 44, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" w ) )  =  w )
58 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  e.  J )
5957, 58eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" w ) )  e.  J )
607adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  J  e. 
TopBases )
612elqtop2 19405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
6260, 50, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
6353, 59, 62mpbir2and 913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  ( J qTop  F ) )
64 fnfun 5615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
65 inpreima 5938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( x  i^i  y ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
6636, 64, 653syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( x  i^i  y ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) )
6737, 66sseqtr4d 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_  ( `' F "
( x  i^i  y
) ) )
6836, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  Fun  F )
6939, 40syl6ss 3475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  w  C_ 
dom  F )
70 funimass3 5927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  w  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
w )  C_  (
x  i^i  y )  <->  w 
C_  ( `' F " ( x  i^i  y
) ) ) )
7168, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  (
( F " w
)  C_  ( x  i^i  y )  <->  w  C_  ( `' F " ( x  i^i  y ) ) ) )
7267, 71mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  ( x  i^i  y
) )
73 vex 3079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
7473inex1 4540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
7574elpw2 4563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " w )  e.  ~P ( x  i^i  y )  <->  ( F " w )  C_  (
x  i^i  y )
)
7672, 75sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e. 
~P ( x  i^i  y ) )
7763, 76elind 3647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P (
x  i^i  y )
) )
78 elunii 4203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( F
" w )  /\  ( F " w )  e.  ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )  -> 
z  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
7948, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
w  e.  J  /\  ( ( `' F `  z )  e.  w  /\  w  C_  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " y ) ) ) ) )  ->  z  e.  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
8027, 79rexlimddv 2949 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
8180ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  y )  -> 
z  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
8281ssrdv 3469 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
83823expib 1191 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J
)  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
846, 83sylbid 215 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( x  e.  ( J qTop  F )  /\  y  e.  ( J qTop  F ) )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
8584ralrimivv 2911 . 2  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  A. x  e.  ( J qTop  F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
86 ovex 6224 . . 3  |-  ( J qTop 
F )  e.  _V
87 isbasisg 18683 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
_V  ->  ( ( J qTop 
F )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( J qTop  F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . 2  |-  ( ( J qTop  F )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( J qTop 
F ) A. y  e.  ( J qTop  F ) ( x  i^i  y
)  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
8985, 88sylibr 212 1  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799   _Vcvv 3076    i^i cin 3434    C_ wss 3435   ~Pcpw 3967   U.cuni 4198   `'ccnv 4946   dom cdm 4947   ran crn 4948   "cima 4950   Fun wfun 5519    Fn wfn 5520   -1-1->wf1 5522   -onto->wfo 5523   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   qTop cqtop 14559   TopBasesctb 18633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-qtop 14563  df-bases 18636
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