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Theorem baspartn 19962
Description: A disjoint system of sets is a basis for a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
baspartn  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  P  e.  TopBases )
Distinct variable group:    x, P, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem baspartn
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  P )
2 pwidg 3963 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  ~P x )
31, 2elind 3617 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  ( P  i^i  ~P x ) )
4 elssuni 4226 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( P  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( P  i^i  ~P x ) )
53, 4syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P  ->  x  C_ 
U. ( P  i^i  ~P x ) )
6 inidm 3640 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  x )  =  x
7 ineq2 3627 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  i^i  x )  =  ( x  i^i  y ) )
86, 7syl5eqr 2498 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  x  =  ( x  i^i  y ) )
98pweqd 3955 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ~P x  =  ~P (
x  i^i  y )
)
109ineq2d 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( P  i^i  ~P x )  =  ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
1110unieqd 4207 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  U. ( P  i^i  ~P x )  =  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
128, 11sseq12d 3460 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  U. ( P  i^i  ~P x )  <-> 
( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
135, 12syl5ibcom 224 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P  ->  (
x  =  y  -> 
( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
14 0ss 3762 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )
15 sseq1 3452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  (/)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
1614, 15mpbiri 237 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
1813, 17jaod 382 . . . . 5  |-  ( x  e.  P  ->  (
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
1918ralimdv 2797 . . . 4  |-  ( x  e.  P  ->  ( A. y  e.  P  ( x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2019ralimia 2778 . . 3  |-  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
2120adantl 468 . 2  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
22 isbasisg 19955 . . 3  |-  ( P  e.  V  ->  ( P  e.  TopBases  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2322adantr 467 . 2  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  ( P  e.  TopBases  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
2421, 23mpbird 236 1  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  P  e.  TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   U.cuni 4197   TopBasesctb 19913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ral 2741  df-rex 2742  df-v 3046  df-dif 3406  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-pw 3952  df-uni 4198  df-bases 19915
This theorem is referenced by:  kelac2lem  35916
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