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Theorem basis2 18554
Description: Property of a basis. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
basis2  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  C  e.  B )  /\  ( D  e.  B  /\  A  e.  ( C  i^i  D ) ) )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, D

Proof of Theorem basis2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbasis2g 18551 . . . . 5  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  ( y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z
) ) ) )
21ibi 241 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  (
y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) ) )
3 ineq1 3543 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  (
y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z ) )
4 sseq2 3376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  (
x  C_  ( y  i^i  z )  <->  x  C_  ( C  i^i  z ) ) )
54anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  (
( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <-> 
( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
65rexbidv 2734 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  ( E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <->  E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
76raleqbi1dv 2923 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  ( A. w  e.  (
y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
83, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  ( A. w  e.  (
y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
9 ineq2 3544 . . . . . . 7  |-  ( z  =  D  ->  ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D
) )
10 sseq2 3376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( x  C_  ( C  i^i  z
)  <->  x  C_  ( C  i^i  D ) ) )
1110anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) )  <->  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) )
1211rexbidv 2734 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( E. x  e.  B  (
w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) )  <->  E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) )
1312raleqbi1dv 2923 . . . . . . 7  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z
) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  D
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
149, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( z  =  D  ->  ( A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  D
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
158, 14rspc2v 3077 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  ( y  i^i  z
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z
) )  ->  A. w  e.  ( C  i^i  D
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
16 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  (
w  e.  x  <->  A  e.  x ) )
1716anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) )  <-> 
( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
1817rexbidv 2734 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) )  <->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
1918rspccv 3068 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  ( C  i^i  D ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) )  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) )
2015, 19syl6com 35 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  ( y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z
) )  ->  (
( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D
)  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) ) )
212, 20syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) ) )
2221expd 436 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( C  e.  B  ->  ( D  e.  B  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) ) ) )
2322imp43 595 1  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  C  e.  B )  /\  ( D  e.  B  /\  A  e.  ( C  i^i  D ) ) )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3325    C_ wss 3326   TopBasesctb 18500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ral 2718  df-rex 2719  df-v 2972  df-in 3333  df-ss 3340  df-pw 3860  df-uni 4090  df-bases 18503
This theorem is referenced by:  tgcl  18572  restbas  18760  txbas  19138  basqtop  19282  tgioo  20371
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