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Theorem basellem9 22310
Description: Lemma for basel 22311. Since by basellem8 22309 
F is bounded by two expressions that tend to  pi ^ 2  / 
6,  F must also go to  pi ^ 2  /  6 by the squeeze theorem climsqz 13101. But the series  F is exactly the partial sums of 
k ^ -u 2, so it follows that this is also the value of the infinite sum  sum_ k  e.  NN ( k ^ -u 2
). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basel.f  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
basel.j  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
basel.k  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
Assertion
Ref Expression
basellem9  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G    k, H    k, J, n    k, K
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    K( n)

Proof of Theorem basellem9
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10883 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10664 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 oveq1 6087 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n ^ -u 2
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
4 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )
5 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( k ^ -u 2 )  e.  _V
63, 4, 5fvmpt 5762 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
76adantl 463 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
8 nnre 10316 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
9 nnne0 10341 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
10 2z 10665 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
11 znegcl 10667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  -u 2  e.  ZZ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  -u 2  e.  ZZ )
148, 9, 13reexpclzd 12016 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ -u 2
)  e.  RR )
1514adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
n ^ -u 2
)  e.  RR )
1615, 4fmptd 5855 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) : NN --> RR )
1716ffvelrnda 5831 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  e.  RR )
187, 17eqeltrrd 2508 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  RR )
1918recnd 9399 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  CC )
201, 2, 17serfre 11818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) : NN --> RR )
21 basel.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
2221feq1i 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> RR  <->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) ) : NN --> RR )
2320, 22sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  F : NN --> RR )
2423ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
2524recnd 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
26 remulcl 9354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
2726adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
28 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e. 
_V
2928fconst 5584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) : NN --> { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) }
30 pire 21805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  pi  e.  RR
3130resqcli 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi
^ 2 )  e.  RR
32 6re 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  e.  RR
33 6nn 10470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  6  e.  NN
3433nnne0i 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  =/=  0
3531, 32, 34redivcli 10085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  ( ( pi ^
2 )  /  6
)  e.  RR )
3736snssd 4006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) }  C_  RR )
38 fss 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) }  /\  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> RR )
3929, 37, 38sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> RR )
40 resubcl 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
4140adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  RR )
42 1ex 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  _V
4342fconst 5584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( NN 
X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }
44 1red 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
4544snssd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  { 1 }  C_  RR )
46 fss 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 }  /\  { 1 } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR )
4743, 45, 46sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR )
48 2nn 10466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  NN
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T. 
->  2  e.  NN )
50 nnmulcl 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
5149, 50sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
5251peano2nnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
5352nnrecred 10354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
54 basel.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
5553, 54fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  G : NN --> RR )
56 nnex 10315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  NN  e.  _V )
58 inidm 3547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
5941, 47, 55, 57, 57, 58off 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) : NN --> RR )
6027, 39, 59, 57, 57, 58off 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) ) : NN --> RR )
61 basel.h . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
6261feq1i 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H : NN --> RR  <->  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  oF  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) ) : NN --> RR )
6360, 62sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  H : NN --> RR )
64 readdcl 9352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
6564adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
6612elexi 2972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 2  e.  _V
6766fconst 5584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { -u 2 } ) : NN --> { -u 2 }
6812zrei 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u 2  e.  RR
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  -u 2  e.  RR )
7069snssd 4006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { -u 2 } 
C_  RR )
71 fss 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> { -u 2 }  /\  { -u 2 }  C_  RR )  -> 
( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> RR )
7267, 70, 71sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> RR )
7327, 72, 55, 57, 57, 58off 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) : NN --> RR )
7465, 47, 73, 57, 57, 58off 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) : NN --> RR )
7527, 63, 74, 57, 57, 58off 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) : NN --> RR )
76 basel.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
7776feq1i 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J : NN --> RR  <->  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) ) : NN --> RR )
7875, 77sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  J : NN --> RR )
7978ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( J `  n )  e.  RR )
8079recnd 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( J `  n )  e.  CC )
8125, 80npcand 9710 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( F `  n )  -  ( J `  n )
)  +  ( J `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
8281mpteq2dva 4366 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `
 n )  -  ( J `  n ) )  +  ( J `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( F `
 n ) ) )
83 ovex 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  -  ( J `  n ) )  e. 
_V
8483a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  -  ( J `
 n ) )  e.  _V )
8523feqmptd 5732 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  F  =  (
n  e.  NN  |->  ( F `  n ) ) )
8678feqmptd 5732 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  J  =  (
n  e.  NN  |->  ( J `  n ) ) )
8757, 24, 79, 85, 86offval2 6325 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  -  ( J `  n )
) ) )
8857, 84, 79, 87, 86offval2 6325 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `  n
)  -  ( J `
 n ) )  +  ( J `  n ) ) ) )
8982, 88, 853eqtr4d 2475 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  =  F )
9065, 47, 55, 57, 57, 58off 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
) : NN --> RR )
91 recn 9359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
92 recn 9359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
93 recn 9359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
94 subdi 9765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z
) ) )
9591, 92, 93, 94syl3an 1253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
x  x.  ( y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z
) ) )
9695adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  (
y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z ) ) )
9757, 63, 90, 74, 96caofdi 6345 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  =  ( ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )  oF  -  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) ) ) )
98 basel.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
9998, 76oveq12i 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( K  oF  -  J
)  =  ( ( H  oF  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
) )  oF  -  ( H  oF  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) )
10097, 99syl6eqr 2483 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  =  ( K  oF  -  J ) )
10135recni 9385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC
1021eqimss2i 3399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
103102, 56climconst2 13009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
104101, 2, 103sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
105 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  -  G ) )  e. 
_V
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  e.  _V )
107 ax-resscn 9326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
108 fss 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> CC )
10947, 107, 108sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
110 fss 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : NN --> CC )
11155, 107, 110sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  G : NN --> CC )
112 ofnegsub 10307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> CC  /\  G : NN --> CC )  ->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  -  G ) )
11357, 109, 111, 112syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G ) )
114 neg1cn 10412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
11554, 114basellem7 22308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  ~~>  1
116113, 115syl6eqbrr 4318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
)  ~~>  1 )
11739ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  e.  RR )
118117recnd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  e.  CC )
11959ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) `  k )  e.  RR )
120119recnd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) `  k )  e.  CC )
121 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) : NN --> RR  ->  ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  Fn  NN )
12239, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  Fn  NN )
123 fnconstg 5586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( NN  X.  { 1 } )  Fn  NN )
1242, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  Fn  NN )
125 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : NN --> RR  ->  G  Fn  NN )
12655, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  G  Fn  NN )
127124, 126, 57, 57, 58offn 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
)  Fn  NN )
128 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k ) )
129 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G ) `  k ) )
130122, 127, 57, 57, 58, 128, 129ofval 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) `  k
)  x.  ( ( ( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) `
 k ) ) )
1311, 2, 104, 106, 116, 118, 120, 130climmul 13093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 ) )
132101mulid1i 9375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 )  =  ( ( pi ^
2 )  /  6
)
133131, 132syl6breq 4319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  ~~>  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) )
13461, 133syl5eqbr 4313 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  H  ~~>  ( (
pi ^ 2 )  /  6 ) )
135 ovex 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  oF  x.  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  e. 
_V
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  e.  _V )
137 3cn 10383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
138102, 56climconst2 13009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
3 } )  ~~>  3 )
139137, 2, 138sylancr 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
3 } )  ~~>  3 )
140 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G )  e. 
_V
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
)  e.  _V )
14254basellem6 22307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  ~~>  0
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  G  ~~>  0 )
144 3ex 10384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  _V
145144fconst 5584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { 3 } ) : NN --> { 3 }
146 3re 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  RR
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  3  e.  RR )
148147snssd 4006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { 3 }  C_  RR )
149 fss 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  {
3 } ) : NN --> { 3 }  /\  { 3 } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
3 } ) : NN --> RR )
150145, 148, 149sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
3 } ) : NN --> RR )
151150ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  e.  RR )
152151recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  e.  CC )
15355ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
154153recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
155 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { 3 } ) : NN --> RR  ->  ( NN  X.  { 3 } )  Fn  NN )
156150, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
3 } )  Fn  NN )
157 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
3 } ) `  k ) )
158 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
159156, 126, 57, 57, 58, 157, 158ofval 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 3 } ) `  k
)  x.  ( G `
 k ) ) )
1601, 2, 139, 141, 143, 152, 154, 159climmul 13093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
)  ~~>  ( 3  x.  0 ) )
161137mul01i 9546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  0 )  =  0
162160, 161syl6breq 4319 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
)  ~~>  0 )
16363ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  RR )
164163recnd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
16527, 150, 55, 57, 57, 58off 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) : NN --> RR )
166165ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  e.  RR )
167166recnd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  e.  CC )
168 ffn 5547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : NN --> RR  ->  H  Fn  NN )
16963, 168syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  H  Fn  NN )
17041, 90, 74, 57, 57, 58off 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) : NN --> RR )
171 ffn 5547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) : NN --> RR  ->  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) )  Fn  NN )
172170, 171syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  Fn  NN )
173 eqidd 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  k ) )
174154mulid2d 9391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  x.  ( G `
 k ) )  =  ( G `  k ) )
175 2cn 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
176 mulneg1 9768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( G `  k )  e.  CC )  -> 
( -u 2  x.  ( G `  k )
)  =  -u (
2  x.  ( G `
 k ) ) )
177175, 154, 176sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
178177negeqd 9591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u -u ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
179 mulcl 9353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( G `  k )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( G `  k )
)  e.  CC )
180175, 154, 179sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( G `
 k ) )  e.  CC )
181180negnegd 9697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u -u (
2  x.  ( G `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
182178, 181eqtr2d 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) )
183174, 182oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  x.  ( G `  k )
)  +  ( 2  x.  ( G `  k ) ) )  =  ( ( G `
 k )  + 
-u ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
184 remulcl 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 2  e.  RR  /\  ( G `  k
)  e.  RR )  ->  ( -u 2  x.  ( G `  k
) )  e.  RR )
18568, 153, 184sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
186185recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  e.  CC )
187154, 186negsubd 9712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  -u ( -u 2  x.  ( G `
 k ) ) )  =  ( ( G `  k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
188183, 187eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  x.  ( G `  k )
)  +  ( 2  x.  ( G `  k ) ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k )
) ) )
189 df-3 10368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  =  ( 2  +  1 )
190 ax-1cn 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
191175, 190addcomi 9547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  ( 1  +  2 )
192189, 191eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =  ( 1  +  2 )
193192oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  ( G `  k ) )  =  ( ( 1  +  2 )  x.  ( G `  k )
)
194 1cnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
195175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
196194, 195, 154adddird 9398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  2 )  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( 1  x.  ( G `  k ) )  +  ( 2  x.  ( G `  k )
) ) )
197193, 196syl5eq 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
3  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( 1  x.  ( G `  k ) )  +  ( 2  x.  ( G `  k )
) ) )
198194, 154, 186pnpcand 9743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k )
) ) )
199188, 197, 1983eqtr4rd 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )  =  ( 3  x.  ( G `  k
) ) )
200124, 126, 57, 57, 58offn 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  Fn  NN )
20112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  -u 2  e.  ZZ )
202 fnconstg 5586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u
2  e.  ZZ  ->  ( NN  X.  { -u
2 } )  Fn  NN )
203201, 202syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } )  Fn  NN )
204203, 126, 57, 57, 58offn 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
)  Fn  NN )
205124, 204, 57, 57, 58offn 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  Fn  NN )
20657, 44, 126, 158ofc1 6332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
) `  k )  =  ( 1  +  ( G `  k
) ) )
20757, 69, 126, 158ofc1 6332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) `  k )  =  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) )
20857, 44, 204, 207ofc1 6332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
209200, 205, 57, 57, 58, 206, 208ofval 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) ) )
21057, 147, 126, 158ofc1 6332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  =  ( 3  x.  ( G `  k
) ) )
211199, 209, 2103eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )
)
212169, 172, 57, 57, 58, 173, 211ofval 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( H `  k )  x.  ( ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G ) `  k ) ) )
2131, 2, 134, 136, 162, 164, 167, 212climmul 13093 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  0 ) )
214101mul01i 9546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  0 )  =  0
215213, 214syl6breq 4319 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  ~~>  0 )
216100, 215eqbrtrrd 4302 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( K  oF  -  J )  ~~>  0 )
217 ovex 6105 . . . . . . . 8  |-  ( F  oF  -  J
)  e.  _V
218217a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  e. 
_V )
21927, 63, 90, 57, 57, 58off 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) ) : NN --> RR )
22098feq1i 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( K : NN --> RR  <->  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  G ) ) : NN --> RR )
221219, 220sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  K : NN --> RR )
22241, 221, 78, 57, 57, 58off 6323 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( K  oF  -  J ) : NN --> RR )
223222ffvelrnda 5831 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( K  oF  -  J ) `  k )  e.  RR )
22441, 23, 78, 57, 57, 58off 6323 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J ) : NN --> RR )
225224ffvelrnda 5831 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  e.  RR )
22623ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
227221ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( K `  k )  e.  RR )
22878ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  e.  RR )
229 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )
23054, 21, 61, 76, 98, 229basellem8 22309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( J `  k
)  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) ) )
231230adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( J `  k
)  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) ) )
232231simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) )
233226, 227, 228, 232lesub1dd 9942 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( J `
 k ) )  <_  ( ( K `
 k )  -  ( J `  k ) ) )
234 ffn 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
23523, 234syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  F  Fn  NN )
236 ffn 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( J : NN --> RR  ->  J  Fn  NN )
23778, 236syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  J  Fn  NN )
238 eqidd 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
239 eqidd 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  =  ( J `  k ) )
240235, 237, 57, 57, 58, 238, 239ofval 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  =  ( ( F `  k
)  -  ( J `
 k ) ) )
241 ffn 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( K : NN --> RR  ->  K  Fn  NN )
242221, 241syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  K  Fn  NN )
243 eqidd 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( K `  k )  =  ( K `  k ) )
244242, 237, 57, 57, 58, 243, 239ofval 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( K  oF  -  J ) `  k )  =  ( ( K `  k
)  -  ( J `
 k ) ) )
245233, 240, 2443brtr4d 4310 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  <_  (
( K  oF  -  J ) `  k ) )
246231simpld 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  <_  ( F `  k
) )
247226, 228subge0d 9916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( J `  k ) )  <->  ( J `  k )  <_  ( F `  k )
) )
248246, 247mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  k )  -  ( J `  k )
) )
249248, 240breqtrrd 4306 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F  oF  -  J ) `  k ) )
2501, 2, 216, 218, 223, 225, 245, 249climsqz2 13102 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  ~~>  0 )
251 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J )  e. 
_V
252251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  e.  _V )
253 ovex 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) )  e.  _V
254253a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  e. 
_V )
25568recni 9385 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 2  e.  CC
25654, 255basellem7 22308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  ~~>  1
257256a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  ~~>  1 )
25874ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  e.  RR )
259258recnd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  e.  CC )
260 eqidd 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `
 k ) )
261169, 205, 57, 57, 58, 173, 260ofval 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( H `  k
)  x.  ( ( ( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) `  k ) ) )
2621, 2, 134, 254, 257, 164, 259, 261climmul 13093 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 ) )
263262, 132syl6breq 4319 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
26476, 263syl5eqbr 4313 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  J  ~~>  ( (
pi ^ 2 )  /  6 ) )
265225recnd 9399 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  e.  CC )
266228recnd 9399 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  e.  CC )
267 ffn 5547 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  oF  -  J ) : NN --> RR  ->  ( F  oF  -  J )  Fn  NN )
268224, 267syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  Fn  NN )
269 eqidd 2434 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  =  ( ( F  oF  -  J ) `  k ) )
270268, 237, 57, 57, 58, 269, 239ofval 6318 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
) `  k )  =  ( ( ( F  oF  -  J ) `  k
)  +  ( J `
 k ) ) )
2711, 2, 250, 252, 264, 265, 266, 270climadd 13092 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  ~~>  ( 0  +  ( ( pi ^
2 )  /  6
) ) )
27289, 271eqbrtrrd 4302 . . . 4  |-  ( T. 
->  F  ~~>  ( 0  +  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) ) )
273101addid2i 9544 . . . 4  |-  ( 0  +  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) )  =  ( ( pi ^
2 )  /  6
)
274272, 21, 2733brtr3g 4311 . . 3  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )  ~~>  ( ( pi ^
2 )  /  6
) )
2751, 2, 7, 19, 274isumclim 13207 . 2  |-  ( T. 
->  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2
)  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
276275trud 1371 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   {csn 3865   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    X. cxp 4825    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274    <_ cle 9406    - cmin 9582   -ucneg 9583    / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   3c3 10359   6c6 10362   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848    seqcseq 11789   ^cexp 11848    ~~> cli 12945   sum_csu 13146   picpi 13334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338  df-tan 13339  df-pi 13340  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-0p 20989  df-limc 21182  df-dv 21183  df-ply 21540  df-idp 21541  df-coe 21542  df-dgr 21543  df-quot 21641
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