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Theorem basellem9 23488
Description: Lemma for basel 23489. Since by basellem8 23487 
F is bounded by two expressions that tend to  pi ^ 2  / 
6,  F must also go to  pi ^ 2  /  6 by the squeeze theorem climsqz 13475. But the series  F is exactly the partial sums of 
k ^ -u 2, so it follows that this is also the value of the infinite sum  sum_ k  e.  NN ( k ^ -u 2
). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basel.f  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
basel.j  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
basel.k  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
Assertion
Ref Expression
basellem9  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G    k, H    k, J, n    k, K
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    K( n)

Proof of Theorem basellem9
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11141 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10916 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n ^ -u 2
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
4 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )
5 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( k ^ -u 2 )  e.  _V
63, 4, 5fvmpt 5956 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
8 nnre 10563 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
9 nnne0 10589 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
10 2z 10917 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
11 znegcl 10920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  -u 2  e.  ZZ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  -u 2  e.  ZZ )
148, 9, 13reexpclzd 12338 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ -u 2
)  e.  RR )
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
n ^ -u 2
)  e.  RR )
1615, 4fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) : NN --> RR )
1716ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  e.  RR )
187, 17eqeltrrd 2546 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  RR )
1918recnd 9639 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  CC )
201, 2, 17serfre 12139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) : NN --> RR )
21 basel.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
2221feq1i 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> RR  <->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) ) : NN --> RR )
2320, 22sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  F : NN --> RR )
2423ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
2524recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
26 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
28 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e. 
_V
2928fconst 5777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) : NN --> { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) }
30 pire 22977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  pi  e.  RR
3130resqcli 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi
^ 2 )  e.  RR
32 6re 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  e.  RR
33 6nn 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  6  e.  NN
3433nnne0i 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  =/=  0
3531, 32, 34redivcli 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  ( ( pi ^
2 )  /  6
)  e.  RR )
3736snssd 4177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) }  C_  RR )
38 fss 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) }  /\  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> RR )
3929, 37, 38sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> RR )
40 resubcl 9902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  RR )
42 1ex 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  _V
4342fconst 5777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( NN 
X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }
44 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
4544snssd 4177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  { 1 }  C_  RR )
46 fss 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 }  /\  { 1 } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR )
4743, 45, 46sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR )
48 2nn 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  NN
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T. 
->  2  e.  NN )
50 nnmulcl 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
5149, 50sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
5251peano2nnd 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
5352nnrecred 10602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
54 basel.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
5553, 54fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  G : NN --> RR )
56 nnex 10562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  NN  e.  _V )
58 inidm 3703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
5941, 47, 55, 57, 57, 58off 6553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) : NN --> RR )
6027, 39, 59, 57, 57, 58off 6553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) ) : NN --> RR )
61 basel.h . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
6261feq1i 5729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H : NN --> RR  <->  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  oF  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) ) : NN --> RR )
6360, 62sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  H : NN --> RR )
64 readdcl 9592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
66 negex 9837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 2  e.  _V
6766fconst 5777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { -u 2 } ) : NN --> { -u 2 }
6812zrei 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u 2  e.  RR
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  -u 2  e.  RR )
7069snssd 4177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { -u 2 } 
C_  RR )
71 fss 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> { -u 2 }  /\  { -u 2 }  C_  RR )  -> 
( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> RR )
7267, 70, 71sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> RR )
7327, 72, 55, 57, 57, 58off 6553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) : NN --> RR )
7465, 47, 73, 57, 57, 58off 6553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) : NN --> RR )
7527, 63, 74, 57, 57, 58off 6553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) : NN --> RR )
76 basel.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
7776feq1i 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J : NN --> RR  <->  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) ) : NN --> RR )
7875, 77sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  J : NN --> RR )
7978ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( J `  n )  e.  RR )
8079recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( J `  n )  e.  CC )
8125, 80npcand 9954 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( F `  n )  -  ( J `  n )
)  +  ( J `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
8281mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `
 n )  -  ( J `  n ) )  +  ( J `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( F `
 n ) ) )
83 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  -  ( J `  n ) )  e. 
_V
8483a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  -  ( J `
 n ) )  e.  _V )
8523feqmptd 5926 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  F  =  (
n  e.  NN  |->  ( F `  n ) ) )
8678feqmptd 5926 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  J  =  (
n  e.  NN  |->  ( J `  n ) ) )
8757, 24, 79, 85, 86offval2 6555 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  -  ( J `  n )
) ) )
8857, 84, 79, 87, 86offval2 6555 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `  n
)  -  ( J `
 n ) )  +  ( J `  n ) ) ) )
8982, 88, 853eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  =  F )
9065, 47, 55, 57, 57, 58off 6553 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
) : NN --> RR )
91 recn 9599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
92 recn 9599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
93 recn 9599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
94 subdi 10011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z
) ) )
9591, 92, 93, 94syl3an 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
x  x.  ( y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z
) ) )
9695adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  (
y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z ) ) )
9757, 63, 90, 74, 96caofdi 6575 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  =  ( ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )  oF  -  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) ) ) )
98 basel.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
9998, 76oveq12i 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( K  oF  -  J
)  =  ( ( H  oF  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
) )  oF  -  ( H  oF  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) )
10097, 99syl6eqr 2516 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  =  ( K  oF  -  J ) )
10135recni 9625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC
1021eqimss2i 3554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
103102, 56climconst2 13383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
104101, 2, 103sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
105 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  -  G ) )  e. 
_V
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  e.  _V )
107 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
108 fss 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> CC )
10947, 107, 108sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
110 fss 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : NN --> CC )
11155, 107, 110sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  G : NN --> CC )
112 ofnegsub 10554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> CC  /\  G : NN --> CC )  ->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  -  G ) )
11357, 109, 111, 112syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G ) )
114 neg1cn 10660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
11554, 114basellem7 23486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  ~~>  1
116113, 115syl6eqbrr 4494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
)  ~~>  1 )
11739ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  e.  RR )
118117recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  e.  CC )
11959ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) `  k )  e.  RR )
120119recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) `  k )  e.  CC )
121 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) : NN --> RR  ->  ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  Fn  NN )
12239, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  Fn  NN )
123 fnconstg 5779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( NN  X.  { 1 } )  Fn  NN )
1242, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  Fn  NN )
125 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : NN --> RR  ->  G  Fn  NN )
12655, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  G  Fn  NN )
127124, 126, 57, 57, 58offn 6550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
)  Fn  NN )
128 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k ) )
129 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G ) `  k ) )
130122, 127, 57, 57, 58, 128, 129ofval 6548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) `  k
)  x.  ( ( ( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) `
 k ) ) )
1311, 2, 104, 106, 116, 118, 120, 130climmul 13467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 ) )
132101mulid1i 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 )  =  ( ( pi ^
2 )  /  6
)
133131, 132syl6breq 4495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  ~~>  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) )
13461, 133syl5eqbr 4489 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  H  ~~>  ( (
pi ^ 2 )  /  6 ) )
135 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  oF  x.  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  e. 
_V
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  e.  _V )
137 3cn 10631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
138102, 56climconst2 13383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
3 } )  ~~>  3 )
139137, 2, 138sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
3 } )  ~~>  3 )
140 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G )  e. 
_V
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
)  e.  _V )
14254basellem6 23485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  ~~>  0
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  G  ~~>  0 )
144 3ex 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  _V
145144fconst 5777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { 3 } ) : NN --> { 3 }
146 3re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  RR
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  3  e.  RR )
148147snssd 4177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { 3 }  C_  RR )
149 fss 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  {
3 } ) : NN --> { 3 }  /\  { 3 } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
3 } ) : NN --> RR )
150145, 148, 149sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
3 } ) : NN --> RR )
151150ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  e.  RR )
152151recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  e.  CC )
15355ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
154153recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
155 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { 3 } ) : NN --> RR  ->  ( NN  X.  { 3 } )  Fn  NN )
156150, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
3 } )  Fn  NN )
157 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
3 } ) `  k ) )
158 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
159156, 126, 57, 57, 58, 157, 158ofval 6548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 3 } ) `  k
)  x.  ( G `
 k ) ) )
1601, 2, 139, 141, 143, 152, 154, 159climmul 13467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
)  ~~>  ( 3  x.  0 ) )
161137mul01i 9787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  0 )  =  0
162160, 161syl6breq 4495 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
)  ~~>  0 )
16363ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  RR )
164163recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
16527, 150, 55, 57, 57, 58off 6553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) : NN --> RR )
166165ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  e.  RR )
167166recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  e.  CC )
168 ffn 5737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : NN --> RR  ->  H  Fn  NN )
16963, 168syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  H  Fn  NN )
17041, 90, 74, 57, 57, 58off 6553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) : NN --> RR )
171 ffn 5737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) : NN --> RR  ->  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) )  Fn  NN )
172170, 171syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  Fn  NN )
173 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  k ) )
174154mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  x.  ( G `
 k ) )  =  ( G `  k ) )
175 2cn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
176 mulneg1 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( G `  k )  e.  CC )  -> 
( -u 2  x.  ( G `  k )
)  =  -u (
2  x.  ( G `
 k ) ) )
177175, 154, 176sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
178177negeqd 9833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u -u ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
179 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( G `  k )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( G `  k )
)  e.  CC )
180175, 154, 179sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( G `
 k ) )  e.  CC )
181180negnegd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u -u (
2  x.  ( G `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
182178, 181eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) )
183174, 182oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  x.  ( G `  k )
)  +  ( 2  x.  ( G `  k ) ) )  =  ( ( G `
 k )  + 
-u ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
184 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 2  e.  RR  /\  ( G `  k
)  e.  RR )  ->  ( -u 2  x.  ( G `  k
) )  e.  RR )
18568, 153, 184sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
186185recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  e.  CC )
187154, 186negsubd 9956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  -u ( -u 2  x.  ( G `
 k ) ) )  =  ( ( G `  k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
188183, 187eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  x.  ( G `  k )
)  +  ( 2  x.  ( G `  k ) ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k )
) ) )
189 df-3 10616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  =  ( 2  +  1 )
190 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
191175, 190addcomi 9788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  ( 1  +  2 )
192189, 191eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =  ( 1  +  2 )
193192oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  ( G `  k ) )  =  ( ( 1  +  2 )  x.  ( G `  k )
)
194 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
195175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
196194, 195, 154adddird 9638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  2 )  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( 1  x.  ( G `  k ) )  +  ( 2  x.  ( G `  k )
) ) )
197193, 196syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
3  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( 1  x.  ( G `  k ) )  +  ( 2  x.  ( G `  k )
) ) )
198194, 154, 186pnpcand 9987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k )
) ) )
199188, 197, 1983eqtr4rd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )  =  ( 3  x.  ( G `  k
) ) )
200124, 126, 57, 57, 58offn 6550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  Fn  NN )
20112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  -u 2  e.  ZZ )
202 fnconstg 5779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u
2  e.  ZZ  ->  ( NN  X.  { -u
2 } )  Fn  NN )
203201, 202syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } )  Fn  NN )
204203, 126, 57, 57, 58offn 6550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
)  Fn  NN )
205124, 204, 57, 57, 58offn 6550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  Fn  NN )
20657, 44, 126, 158ofc1 6562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
) `  k )  =  ( 1  +  ( G `  k
) ) )
20757, 69, 126, 158ofc1 6562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) `  k )  =  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) )
20857, 44, 204, 207ofc1 6562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
209200, 205, 57, 57, 58, 206, 208ofval 6548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) ) )
21057, 147, 126, 158ofc1 6562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  =  ( 3  x.  ( G `  k
) ) )
211199, 209, 2103eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )
)
212169, 172, 57, 57, 58, 173, 211ofval 6548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( H `  k )  x.  ( ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G ) `  k ) ) )
2131, 2, 134, 136, 162, 164, 167, 212climmul 13467 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  0 ) )
214101mul01i 9787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  0 )  =  0
215213, 214syl6breq 4495 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  ~~>  0 )
216100, 215eqbrtrrd 4478 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( K  oF  -  J )  ~~>  0 )
217 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( F  oF  -  J
)  e.  _V
218217a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  e. 
_V )
21927, 63, 90, 57, 57, 58off 6553 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) ) : NN --> RR )
22098feq1i 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( K : NN --> RR  <->  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  G ) ) : NN --> RR )
221219, 220sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  K : NN --> RR )
22241, 221, 78, 57, 57, 58off 6553 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( K  oF  -  J ) : NN --> RR )
223222ffvelrnda 6032 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( K  oF  -  J ) `  k )  e.  RR )
22441, 23, 78, 57, 57, 58off 6553 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J ) : NN --> RR )
225224ffvelrnda 6032 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  e.  RR )
22623ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
227221ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( K `  k )  e.  RR )
22878ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  e.  RR )
229 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )
23054, 21, 61, 76, 98, 229basellem8 23487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( J `  k
)  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) ) )
231230adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( J `  k
)  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) ) )
232231simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) )
233226, 227, 228, 232lesub1dd 10189 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( J `
 k ) )  <_  ( ( K `
 k )  -  ( J `  k ) ) )
234 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
23523, 234syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  F  Fn  NN )
236 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( J : NN --> RR  ->  J  Fn  NN )
23778, 236syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  J  Fn  NN )
238 eqidd 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
239 eqidd 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  =  ( J `  k ) )
240235, 237, 57, 57, 58, 238, 239ofval 6548 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  =  ( ( F `  k
)  -  ( J `
 k ) ) )
241 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( K : NN --> RR  ->  K  Fn  NN )
242221, 241syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  K  Fn  NN )
243 eqidd 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( K `  k )  =  ( K `  k ) )
244242, 237, 57, 57, 58, 243, 239ofval 6548 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( K  oF  -  J ) `  k )  =  ( ( K `  k
)  -  ( J `
 k ) ) )
245233, 240, 2443brtr4d 4486 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  <_  (
( K  oF  -  J ) `  k ) )
246231simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  <_  ( F `  k
) )
247226, 228subge0d 10163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( J `  k ) )  <->  ( J `  k )  <_  ( F `  k )
) )
248246, 247mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  k )  -  ( J `  k )
) )
249248, 240breqtrrd 4482 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F  oF  -  J ) `  k ) )
2501, 2, 216, 218, 223, 225, 245, 249climsqz2 13476 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  ~~>  0 )
251 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J )  e. 
_V
252251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  e.  _V )
253 ovex 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) )  e.  _V
254253a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  e. 
_V )
25568recni 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 2  e.  CC
25654, 255basellem7 23486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  ~~>  1
257256a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  ~~>  1 )
25874ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  e.  RR )
259258recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  e.  CC )
260 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `
 k ) )
261169, 205, 57, 57, 58, 173, 260ofval 6548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( H `  k
)  x.  ( ( ( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) `  k ) ) )
2621, 2, 134, 254, 257, 164, 259, 261climmul 13467 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 ) )
263262, 132syl6breq 4495 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
26476, 263syl5eqbr 4489 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  J  ~~>  ( (
pi ^ 2 )  /  6 ) )
265225recnd 9639 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  e.  CC )
266228recnd 9639 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  e.  CC )
267 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  oF  -  J ) : NN --> RR  ->  ( F  oF  -  J )  Fn  NN )
268224, 267syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  Fn  NN )
269 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  =  ( ( F  oF  -  J ) `  k ) )
270268, 237, 57, 57, 58, 269, 239ofval 6548 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
) `  k )  =  ( ( ( F  oF  -  J ) `  k
)  +  ( J `
 k ) ) )
2711, 2, 250, 252, 264, 265, 266, 270climadd 13466 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  ~~>  ( 0  +  ( ( pi ^
2 )  /  6
) ) )
27289, 271eqbrtrrd 4478 . . . 4  |-  ( T. 
->  F  ~~>  ( 0  +  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) ) )
273101addid2i 9785 . . . 4  |-  ( 0  +  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) )  =  ( ( pi ^
2 )  /  6
)
274272, 21, 2733brtr3g 4487 . . 3  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )  ~~>  ( ( pi ^
2 )  /  6
) )
2751, 2, 7, 19, 274isumclim 13584 . 2  |-  ( T. 
->  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2
)  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
276275trud 1404 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   6c6 10610   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106    seqcseq 12110   ^cexp 12169    ~~> cli 13319   sum_csu 13520   picpi 13814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-tan 13819  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-0p 22203  df-limc 22396  df-dv 22397  df-ply 22711  df-idp 22712  df-coe 22713  df-dgr 22714  df-quot 22813
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