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Theorem basellem9 22448
Description: Lemma for basel 22449. Since by basellem8 22447 
F is bounded by two expressions that tend to  pi ^ 2  / 
6,  F must also go to  pi ^ 2  /  6 by the squeeze theorem climsqz 13139. But the series  F is exactly the partial sums of 
k ^ -u 2, so it follows that this is also the value of the infinite sum  sum_ k  e.  NN ( k ^ -u 2
). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basel.f  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
basel.j  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
basel.k  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
Assertion
Ref Expression
basellem9  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G    k, H    k, J, n    k, K
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    K( n)

Proof of Theorem basellem9
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10917 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10698 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 oveq1 6119 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n ^ -u 2
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )
5 ovex 6137 . . . . 5  |-  ( k ^ -u 2 )  e.  _V
63, 4, 5fvmpt 5795 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
8 nnre 10350 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
9 nnne0 10375 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
10 2z 10699 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
11 znegcl 10701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  -u 2  e.  ZZ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  -u 2  e.  ZZ )
148, 9, 13reexpclzd 12054 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ -u 2
)  e.  RR )
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
n ^ -u 2
)  e.  RR )
1615, 4fmptd 5888 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) : NN --> RR )
1716ffvelrnda 5864 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  e.  RR )
187, 17eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  RR )
1918recnd 9433 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  CC )
201, 2, 17serfre 11856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) : NN --> RR )
21 basel.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
2221feq1i 5572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> RR  <->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) ) : NN --> RR )
2320, 22sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  F : NN --> RR )
2423ffvelrnda 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
2524recnd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
26 remulcl 9388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
28 ovex 6137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e. 
_V
2928fconst 5617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) : NN --> { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) }
30 pire 21943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  pi  e.  RR
3130resqcli 11972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi
^ 2 )  e.  RR
32 6re 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  e.  RR
33 6nn 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  6  e.  NN
3433nnne0i 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  =/=  0
3531, 32, 34redivcli 10119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  ( ( pi ^
2 )  /  6
)  e.  RR )
3736snssd 4039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) }  C_  RR )
38 fss 5588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) }  /\  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> RR )
3929, 37, 38sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> RR )
40 resubcl 9694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  RR )
42 1ex 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  _V
4342fconst 5617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( NN 
X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }
44 1red 9422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
4544snssd 4039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  { 1 }  C_  RR )
46 fss 5588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 }  /\  { 1 } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR )
4743, 45, 46sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR )
48 2nn 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  NN
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T. 
->  2  e.  NN )
50 nnmulcl 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
5149, 50sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
5251peano2nnd 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
5352nnrecred 10388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
54 basel.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
5553, 54fmptd 5888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  G : NN --> RR )
56 nnex 10349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  NN  e.  _V )
58 inidm 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
5941, 47, 55, 57, 57, 58off 6355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) : NN --> RR )
6027, 39, 59, 57, 57, 58off 6355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) ) : NN --> RR )
61 basel.h . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
6261feq1i 5572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H : NN --> RR  <->  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  oF  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) ) : NN --> RR )
6360, 62sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  H : NN --> RR )
64 readdcl 9386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
6612elexi 3003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 2  e.  _V
6766fconst 5617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { -u 2 } ) : NN --> { -u 2 }
6812zrei 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u 2  e.  RR
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  -u 2  e.  RR )
7069snssd 4039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { -u 2 } 
C_  RR )
71 fss 5588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> { -u 2 }  /\  { -u 2 }  C_  RR )  -> 
( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> RR )
7267, 70, 71sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> RR )
7327, 72, 55, 57, 57, 58off 6355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) : NN --> RR )
7465, 47, 73, 57, 57, 58off 6355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) : NN --> RR )
7527, 63, 74, 57, 57, 58off 6355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) : NN --> RR )
76 basel.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
7776feq1i 5572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J : NN --> RR  <->  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) ) : NN --> RR )
7875, 77sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  J : NN --> RR )
7978ffvelrnda 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( J `  n )  e.  RR )
8079recnd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( J `  n )  e.  CC )
8125, 80npcand 9744 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( F `  n )  -  ( J `  n )
)  +  ( J `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
8281mpteq2dva 4399 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `
 n )  -  ( J `  n ) )  +  ( J `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( F `
 n ) ) )
83 ovex 6137 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  -  ( J `  n ) )  e. 
_V
8483a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  -  ( J `
 n ) )  e.  _V )
8523feqmptd 5765 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  F  =  (
n  e.  NN  |->  ( F `  n ) ) )
8678feqmptd 5765 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  J  =  (
n  e.  NN  |->  ( J `  n ) ) )
8757, 24, 79, 85, 86offval2 6357 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  -  ( J `  n )
) ) )
8857, 84, 79, 87, 86offval2 6357 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `  n
)  -  ( J `
 n ) )  +  ( J `  n ) ) ) )
8982, 88, 853eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  =  F )
9065, 47, 55, 57, 57, 58off 6355 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
) : NN --> RR )
91 recn 9393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
92 recn 9393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
93 recn 9393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
94 subdi 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z
) ) )
9591, 92, 93, 94syl3an 1260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
x  x.  ( y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z
) ) )
9695adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  (
y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z ) ) )
9757, 63, 90, 74, 96caofdi 6377 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  =  ( ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )  oF  -  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) ) ) )
98 basel.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
9998, 76oveq12i 6124 . . . . . . . . 9  |-  ( K  oF  -  J
)  =  ( ( H  oF  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
) )  oF  -  ( H  oF  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) )
10097, 99syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  =  ( K  oF  -  J ) )
10135recni 9419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC
1021eqimss2i 3432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
103102, 56climconst2 13047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
104101, 2, 103sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
105 ovex 6137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  -  G ) )  e. 
_V
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  e.  _V )
107 ax-resscn 9360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
108 fss 5588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> CC )
10947, 107, 108sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
110 fss 5588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : NN --> CC )
11155, 107, 110sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  G : NN --> CC )
112 ofnegsub 10341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> CC  /\  G : NN --> CC )  ->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  -  G ) )
11357, 109, 111, 112syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G ) )
114 neg1cn 10446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
11554, 114basellem7 22446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  ~~>  1
116113, 115syl6eqbrr 4351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
)  ~~>  1 )
11739ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  e.  RR )
118117recnd 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  e.  CC )
11959ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) `  k )  e.  RR )
120119recnd 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) `  k )  e.  CC )
121 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) : NN --> RR  ->  ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  Fn  NN )
12239, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  Fn  NN )
123 fnconstg 5619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( NN  X.  { 1 } )  Fn  NN )
1242, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  Fn  NN )
125 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : NN --> RR  ->  G  Fn  NN )
12655, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  G  Fn  NN )
127124, 126, 57, 57, 58offn 6352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
)  Fn  NN )
128 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k ) )
129 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G ) `  k ) )
130122, 127, 57, 57, 58, 128, 129ofval 6350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) `  k
)  x.  ( ( ( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) `
 k ) ) )
1311, 2, 104, 106, 116, 118, 120, 130climmul 13131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 ) )
132101mulid1i 9409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 )  =  ( ( pi ^
2 )  /  6
)
133131, 132syl6breq 4352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  ~~>  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) )
13461, 133syl5eqbr 4346 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  H  ~~>  ( (
pi ^ 2 )  /  6 ) )
135 ovex 6137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  oF  x.  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  e. 
_V
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  e.  _V )
137 3cn 10417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
138102, 56climconst2 13047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
3 } )  ~~>  3 )
139137, 2, 138sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
3 } )  ~~>  3 )
140 ovex 6137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G )  e. 
_V
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
)  e.  _V )
14254basellem6 22445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  ~~>  0
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  G  ~~>  0 )
144 3ex 10418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  _V
145144fconst 5617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { 3 } ) : NN --> { 3 }
146 3re 10416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  RR
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  3  e.  RR )
148147snssd 4039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { 3 }  C_  RR )
149 fss 5588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  {
3 } ) : NN --> { 3 }  /\  { 3 } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
3 } ) : NN --> RR )
150145, 148, 149sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
3 } ) : NN --> RR )
151150ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  e.  RR )
152151recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  e.  CC )
15355ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
154153recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
155 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { 3 } ) : NN --> RR  ->  ( NN  X.  { 3 } )  Fn  NN )
156150, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
3 } )  Fn  NN )
157 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
3 } ) `  k ) )
158 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
159156, 126, 57, 57, 58, 157, 158ofval 6350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 3 } ) `  k
)  x.  ( G `
 k ) ) )
1601, 2, 139, 141, 143, 152, 154, 159climmul 13131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
)  ~~>  ( 3  x.  0 ) )
161137mul01i 9580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  0 )  =  0
162160, 161syl6breq 4352 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
)  ~~>  0 )
16363ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  RR )
164163recnd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
16527, 150, 55, 57, 57, 58off 6355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) : NN --> RR )
166165ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  e.  RR )
167166recnd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  e.  CC )
168 ffn 5580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : NN --> RR  ->  H  Fn  NN )
16963, 168syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  H  Fn  NN )
17041, 90, 74, 57, 57, 58off 6355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) : NN --> RR )
171 ffn 5580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) : NN --> RR  ->  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) )  Fn  NN )
172170, 171syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  Fn  NN )
173 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  k ) )
174154mulid2d 9425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  x.  ( G `
 k ) )  =  ( G `  k ) )
175 2cn 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
176 mulneg1 9802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( G `  k )  e.  CC )  -> 
( -u 2  x.  ( G `  k )
)  =  -u (
2  x.  ( G `
 k ) ) )
177175, 154, 176sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
178177negeqd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u -u ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
179 mulcl 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( G `  k )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( G `  k )
)  e.  CC )
180175, 154, 179sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( G `
 k ) )  e.  CC )
181180negnegd 9731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u -u (
2  x.  ( G `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
182178, 181eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) )
183174, 182oveq12d 6130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  x.  ( G `  k )
)  +  ( 2  x.  ( G `  k ) ) )  =  ( ( G `
 k )  + 
-u ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
184 remulcl 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 2  e.  RR  /\  ( G `  k
)  e.  RR )  ->  ( -u 2  x.  ( G `  k
) )  e.  RR )
18568, 153, 184sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
186185recnd 9433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  e.  CC )
187154, 186negsubd 9746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  -u ( -u 2  x.  ( G `
 k ) ) )  =  ( ( G `  k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
188183, 187eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  x.  ( G `  k )
)  +  ( 2  x.  ( G `  k ) ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k )
) ) )
189 df-3 10402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  =  ( 2  +  1 )
190 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
191175, 190addcomi 9581 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  ( 1  +  2 )
192189, 191eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =  ( 1  +  2 )
193192oveq1i 6122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  ( G `  k ) )  =  ( ( 1  +  2 )  x.  ( G `  k )
)
194 1cnd 9423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
195175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
196194, 195, 154adddird 9432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  2 )  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( 1  x.  ( G `  k ) )  +  ( 2  x.  ( G `  k )
) ) )
197193, 196syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
3  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( 1  x.  ( G `  k ) )  +  ( 2  x.  ( G `  k )
) ) )
198194, 154, 186pnpcand 9777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k )
) ) )
199188, 197, 1983eqtr4rd 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )  =  ( 3  x.  ( G `  k
) ) )
200124, 126, 57, 57, 58offn 6352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  Fn  NN )
20112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  -u 2  e.  ZZ )
202 fnconstg 5619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u
2  e.  ZZ  ->  ( NN  X.  { -u
2 } )  Fn  NN )
203201, 202syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } )  Fn  NN )
204203, 126, 57, 57, 58offn 6352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
)  Fn  NN )
205124, 204, 57, 57, 58offn 6352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  Fn  NN )
20657, 44, 126, 158ofc1 6364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
) `  k )  =  ( 1  +  ( G `  k
) ) )
20757, 69, 126, 158ofc1 6364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) `  k )  =  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) )
20857, 44, 204, 207ofc1 6364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
209200, 205, 57, 57, 58, 206, 208ofval 6350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) ) )
21057, 147, 126, 158ofc1 6364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )  =  ( 3  x.  ( G `  k
) ) )
211199, 209, 2103eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G
) `  k )
)
212169, 172, 57, 57, 58, 173, 211ofval 6350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( H `  k )  x.  ( ( ( NN  X.  { 3 } )  oF  x.  G ) `  k ) ) )
2131, 2, 134, 136, 162, 164, 167, 212climmul 13131 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  0 ) )
214101mul01i 9580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  0 )  =  0
215213, 214syl6breq 4352 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G )  oF  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) ) )  ~~>  0 )
216100, 215eqbrtrrd 4335 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( K  oF  -  J )  ~~>  0 )
217 ovex 6137 . . . . . . . 8  |-  ( F  oF  -  J
)  e.  _V
218217a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  e. 
_V )
21927, 63, 90, 57, 57, 58off 6355 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) ) : NN --> RR )
22098feq1i 5572 . . . . . . . . . 10  |-  ( K : NN --> RR  <->  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  G ) ) : NN --> RR )
221219, 220sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  K : NN --> RR )
22241, 221, 78, 57, 57, 58off 6355 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( K  oF  -  J ) : NN --> RR )
223222ffvelrnda 5864 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( K  oF  -  J ) `  k )  e.  RR )
22441, 23, 78, 57, 57, 58off 6355 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J ) : NN --> RR )
225224ffvelrnda 5864 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  e.  RR )
22623ffvelrnda 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
227221ffvelrnda 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( K `  k )  e.  RR )
22878ffvelrnda 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  e.  RR )
229 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )
23054, 21, 61, 76, 98, 229basellem8 22447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( J `  k
)  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) ) )
231230adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( J `  k
)  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) ) )
232231simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) )
233226, 227, 228, 232lesub1dd 9976 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( J `
 k ) )  <_  ( ( K `
 k )  -  ( J `  k ) ) )
234 ffn 5580 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
23523, 234syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  F  Fn  NN )
236 ffn 5580 . . . . . . . . . 10  |-  ( J : NN --> RR  ->  J  Fn  NN )
23778, 236syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  J  Fn  NN )
238 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
239 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  =  ( J `  k ) )
240235, 237, 57, 57, 58, 238, 239ofval 6350 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  =  ( ( F `  k
)  -  ( J `
 k ) ) )
241 ffn 5580 . . . . . . . . . 10  |-  ( K : NN --> RR  ->  K  Fn  NN )
242221, 241syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  K  Fn  NN )
243 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( K `  k )  =  ( K `  k ) )
244242, 237, 57, 57, 58, 243, 239ofval 6350 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( K  oF  -  J ) `  k )  =  ( ( K `  k
)  -  ( J `
 k ) ) )
245233, 240, 2443brtr4d 4343 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  <_  (
( K  oF  -  J ) `  k ) )
246231simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  <_  ( F `  k
) )
247226, 228subge0d 9950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( J `  k ) )  <->  ( J `  k )  <_  ( F `  k )
) )
248246, 247mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  k )  -  ( J `  k )
) )
249248, 240breqtrrd 4339 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F  oF  -  J ) `  k ) )
2501, 2, 216, 218, 223, 225, 245, 249climsqz2 13140 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  ~~>  0 )
251 ovex 6137 . . . . . . 7  |-  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J )  e. 
_V
252251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  e.  _V )
253 ovex 6137 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) )  e.  _V
254253a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  e. 
_V )
25568recni 9419 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 2  e.  CC
25654, 255basellem7 22446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  ~~>  1
257256a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  ~~>  1 )
25874ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  e.  RR )
259258recnd 9433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  e.  CC )
260 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) ) `
 k ) )
261169, 205, 57, 57, 58, 173, 260ofval 6350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( H `  k
)  x.  ( ( ( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) `  k ) ) )
2621, 2, 134, 254, 257, 164, 259, 261climmul 13131 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 ) )
263262, 132syl6breq 4352 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
26476, 263syl5eqbr 4346 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  J  ~~>  ( (
pi ^ 2 )  /  6 ) )
265225recnd 9433 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  e.  CC )
266228recnd 9433 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  e.  CC )
267 ffn 5580 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  oF  -  J ) : NN --> RR  ->  ( F  oF  -  J )  Fn  NN )
268224, 267syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( F  oF  -  J )  Fn  NN )
269 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  oF  -  J ) `  k )  =  ( ( F  oF  -  J ) `  k ) )
270268, 237, 57, 57, 58, 269, 239ofval 6350 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
) `  k )  =  ( ( ( F  oF  -  J ) `  k
)  +  ( J `
 k ) ) )
2711, 2, 250, 252, 264, 265, 266, 270climadd 13130 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( F  oF  -  J )  oF  +  J
)  ~~>  ( 0  +  ( ( pi ^
2 )  /  6
) ) )
27289, 271eqbrtrrd 4335 . . . 4  |-  ( T. 
->  F  ~~>  ( 0  +  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) ) )
273101addid2i 9578 . . . 4  |-  ( 0  +  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) )  =  ( ( pi ^
2 )  /  6
)
274272, 21, 2733brtr3g 4344 . . 3  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )  ~~>  ( ( pi ^
2 )  /  6
) )
2751, 2, 7, 19, 274isumclim 13245 . 2  |-  ( T. 
->  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2
)  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
276275trud 1378 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   _Vcvv 2993    C_ wss 3349   {csn 3898   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371    X. cxp 4859    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    oFcof 6339   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    <_ cle 9440    - cmin 9616   -ucneg 9617    / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   3c3 10393   6c6 10396   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882    seqcseq 11827   ^cexp 11886    ~~> cli 12983   sum_csu 13184   picpi 13373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-tan 13378  df-pi 13379  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-0p 21170  df-limc 21363  df-dv 21364  df-ply 21678  df-idp 21679  df-coe 21680  df-dgr 21681  df-quot 21779
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