Theorem basellem8 22405

Description: Lemma for basel 22407. The function F of partial sums of the inverse squares is bounded below by J and above by K, obtained by summing the inequality cot ^ 2 x <_ 1 / x ^ 2 <_ csc ^ 2 x = cot ^ 2 x + 1 over the M roots of the polynomial P, and applying the identity basellem5 22402. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	|- G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
basel.f	|- F = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h	|- H = ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) )
basel.j	|- J = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) )
basel.k	|- K = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) )
basellem8.n	|- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
basellem8	|- ( M e. NN -> ( ( J ` M ) <_ ( F ` M ) /\ ( F ` M ) <_ ( K ` M ) ) )

Distinct variable groups:   n, F   n, M   n, J   n, N

Allowed substitution hints:   G( n)   H( n)   K( n)

Proof of Theorem basellem8

Dummy variables k x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11787	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) e. Fin )
2		pire 21901	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
3		basellem8.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
4		2nn 10471	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
5		nnmulcl 10337	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
6	4, 5	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN )
7	6	peano2nnd 10331	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. NN )
8	3, 7	syl5eqel 2522	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> N e. NN )
9		nndivre 10349	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. RR /\ N e. NN ) -> ( pi / N ) e. RR )
10	2, 8, 9	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( pi / N ) e. RR )
11	10	resqcld 12026	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. RR )
12	11	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. RR )
13	3	basellem1 22398	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
14		tanrpcl 21946	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
16	15	rpred 11019	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
17	15	rpne0d 11024	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
18		2z 10670	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
19		znegcl 10672	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -u 2 e. ZZ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> -u 2 e. ZZ )
22	16, 17, 21	reexpclzd 12025	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
23	12, 22	remulcld 9406	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) e. RR )
24		elfznn 11470	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
25	24	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. NN )
26	25	nnred 10329	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. RR )
27	25	nnne0d 10358	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k =/= 0 )
28	26, 27, 21	reexpclzd 12025	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR )
29	16	recnd 9404	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
30		2nn0 10588	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
31		expneg 11865	. . . . . . . 8 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
32	29, 30, 31	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
33	32	oveq2d 6102	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
34	10	recnd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( pi / N ) e. CC )
35	34	sqcld 11998	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. CC )
36	35	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. CC )
37		rpexpcl 11876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
38	15, 18, 37	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
39	38	rpred 11019	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR )
40	39	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
41	38	rpne0d 11024	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
42	36, 40, 41	divrecd 10102	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
43	33, 42	eqtr4d 2473	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
44	25	nnrpd 11018	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. RR+ )
45		rpexpcl 11876	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR+ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR+ )
46	44, 20, 45	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR+ )
47		2cn 10384	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
48	47	negnegi 9670	. . . . . . . . . . 11 |- -u -u 2 = 2
49	48	oveq2i 6097	. . . . . . . . . 10 |- ( k ^ -u -u 2 ) = ( k ^ 2 )
50	25	nncnd 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. CC )
51	50, 27, 21	expnegd 12007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u -u 2 ) = ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) )
52	49, 51	syl5reqr 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) = ( k ^ 2 ) )
53	52	oveq1d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
54		nncn 10322	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. CC )
55		nnne0 10346	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
56	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> -u 2 e. ZZ )
57	54, 55, 56	expclzd 12005	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( k ^ -u 2 ) e. CC )
58	25, 57	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. CC )
59	50, 27, 21	expne0d 12006	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) =/= 0 )
60	36, 58, 59	divrec2d 10103	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) = ( ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
61	2	recni 9390	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. CC
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> pi e. CC )
63	8	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> N e. CC )
64	8	nnne0d 10358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> N =/= 0 )
65	63, 64	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
67		divass 10004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ pi e. CC /\ ( N e. CC /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) = ( k x. ( pi / N ) ) )
68	50, 62, 66, 67	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) = ( k x. ( pi / N ) ) )
69	68	oveq1d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) = ( ( k x. ( pi / N ) ) ^ 2 ) )
70	34	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( pi / N ) e. CC )
71	50, 70	sqmuld 12012	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. ( pi / N ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
72	69, 71	eqtrd 2470	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
73	53, 60, 72	3eqtr4d 2480	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) = ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) )
74		elioore 11322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR )
75	13, 74	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR )
76	75	resqcld 12026	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) e. RR )
77		tangtx 21947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
78	13, 77	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
79		eliooord 11347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( ( k x. pi ) / N ) /\ ( ( k x. pi ) / N ) < ( pi / 2 ) ) )
80	13, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( ( k x. pi ) / N ) /\ ( ( k x. pi ) / N ) < ( pi / 2 ) ) )
81	80	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( ( k x. pi ) / N ) )
82	75, 81	elrpd 11017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR+ )
83	82	rpge0d 11023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( ( k x. pi ) / N ) )
84	15	rpge0d 11023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
85	75, 16, 83, 84	lt2sqd 12034	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <-> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
86	78, 85	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
87	76, 39, 86	ltled 9514	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) <_ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
88	73, 87	eqbrtrd 4307	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) <_ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
89	12, 46, 38, 88	lediv23d 11076	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( k ^ -u 2 ) )
90	43, 89	eqbrtrd 4307	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) <_ ( k ^ -u 2 ) )
91	1, 23, 28, 90	fsumle 13254	. . 3 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) )
92		oveq2 6094	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = M -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. M ) )
93	92	oveq1d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. M ) + 1 ) )
94	93, 3	syl6eqr 2488	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N )
95	94	oveq2d 6102	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( 1 / N ) )
96	95	oveq2d 6102	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / N ) ) )
97	96	oveq2d 6102	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) )
98	95	oveq2d 6102	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) )
99	98	oveq2d 6102	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) )
100	97, 99	oveq12d 6104	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) )
101		basel.j	. . . . . 6 |- J = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) )
102		nnex 10320	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( T. -> NN e. _V )
104		ovex 6111	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
105	104	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V )
106		ovex 6111	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V )
108		basel.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) )
109	2	resqcli 11943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi ^ 2 ) e. RR
110		6re 10394	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. RR
111		6nn 10475	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. NN
112	111	nnne0i 10348	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 =/= 0
113	109, 110, 112	redivcli 10090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. RR
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
115		ovex 6111	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
117		fconstmpt 4877	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) = ( n e. NN |-> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) )
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) = ( n e. NN |-> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) ) )
119		1zzd 10669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 1 e. ZZ )
120		ovex 6111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. _V
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. _V )
122		fconstmpt 4877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN X. { 1 } ) = ( n e. NN |-> 1 )
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( NN X. { 1 } ) = ( n e. NN |-> 1 ) )
124		basel.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
126	103, 119, 121, 123, 125	offval2 6331	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) = ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
127	103, 114, 116, 118, 126	offval2 6331	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
128	108, 127	syl5eq 2482	. . . . . . . 8 |- ( T. -> H = ( n e. NN |-> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
129		ovex 6111	. . . . . . . . . 10 |- ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V
130	129	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
131	47	negcli 9668	. . . . . . . . . . 11 |- -u 2 e. CC
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> -u 2 e. CC )
133		fconstmpt 4877	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN X. { -u 2 } ) = ( n e. NN |-> -u 2 )
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( NN X. { -u 2 } ) = ( n e. NN |-> -u 2 ) )
135	103, 132, 121, 134, 125	offval2 6331	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) = ( n e. NN |-> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
136	103, 119, 130, 123, 135	offval2 6331	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
137	103, 105, 107, 128, 136	offval2 6331	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) ) )
138	137	trud 1378	. . . . . 6 |- ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
139	101, 138	eqtri 2458	. . . . 5 |- J = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
140		ovex 6111	. . . . 5 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) e. _V
141	100, 139, 140	fvmpt 5769	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) )
142	113	recni 9390	. . . . . . . 8 |- ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. CC
143	142	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. CC )
144	6	nncnd 10330	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. CC )
145	144, 63, 64	divcld 10099	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) / N ) e. CC )
146		ax-1cn 9332	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
147		subcl 9601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 x. M ) - 1 ) e. CC )
148	144, 146, 147	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) - 1 ) e. CC )
149	148, 63, 64	divcld 10099	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) e. CC )
150	143, 145, 149	mulassd 9401	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) )
151		1cnd 9394	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 1 e. CC )
152	63, 151, 63, 64	divsubdird 10138	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) = ( ( N / N ) - ( 1 / N ) ) )
153	3	oveq1i 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( N - 1 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 )
154		pncan 9608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. M ) )
155	144, 146, 154	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. M ) )
156	153, 155	syl5eq 2482	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N - 1 ) = ( 2 x. M ) )
157	156	oveq1d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) = ( ( 2 x. M ) / N ) )
158	63, 64	dividd 10097	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N / N ) = 1 )
159	158	oveq1d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) - ( 1 / N ) ) = ( 1 - ( 1 / N ) ) )
160	152, 157, 159	3eqtr3rd 2479	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( 1 - ( 1 / N ) ) = ( ( 2 x. M ) / N ) )
161	160	oveq2d 6102	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) )
162	131	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> -u 2 e. CC )
163	63, 162, 63, 64	divdird 10137	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N + -u 2 ) / N ) = ( ( N / N ) + ( -u 2 / N ) ) )
164		negsub 9649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( N + -u 2 ) = ( N - 2 ) )
165	63, 47, 164	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N + -u 2 ) = ( N - 2 ) )
166		df-2 10372	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
167	3, 166	oveq12i 6098	. . . . . . . . . . 11 |- ( N - 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) )
168	144, 151, 151	pnpcan2d 9749	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
169	167, 168	syl5eq 2482	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N - 2 ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
170	165, 169	eqtrd 2470	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( N + -u 2 ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
171	170	oveq1d 6101	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N + -u 2 ) / N ) = ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) )
172	162, 63, 64	divrecd 10102	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( -u 2 / N ) = ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) )
173	158, 172	oveq12d 6104	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) + ( -u 2 / N ) ) = ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) )
174	163, 171, 173	3eqtr3rd 2479	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) )
175	161, 174	oveq12d 6104	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) )
176	8	nnsqcld 12020	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
177	176	nncnd 10330	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) e. CC )
178		6cn 10395	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. CC
179		mulcom 9360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ 6 e. CC ) -> ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) = ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) )
180	177, 178, 179	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) = ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) )
181	180	oveq2d 6102	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
182	109	recni 9390	. . . . . . . . . 10 |- ( pi ^ 2 ) e. CC
183	182	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( pi ^ 2 ) e. CC )
184	144, 148	mulcld 9398	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC )
185	176	nnne0d 10358	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) =/= 0 )
186	177, 185	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) )
187	178, 112	pm3.2i 455	. . . . . . . . . 10 |- ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 )
188	187	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) )
189		divmuldiv 10023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) /\ ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
190	183, 184, 186, 188, 189	syl22anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
191		divmuldiv 10023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) /\ ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
192	183, 184, 188, 186, 191	syl22anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
193	181, 190, 192	3eqtr4d 2480	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
194	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> pi e. CC )
195	194, 63, 64	sqdivd 12013	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) = ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) )
196	195	oveq1d 6101	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
197	144, 63, 148, 63, 64, 64	divmuldivd 10140	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
198	63	sqvald 11997	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
199	198	oveq2d 6102	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
200	197, 199	eqtr4d 2473	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) )
201	200	oveq2d 6102	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
202	193, 196, 201	3eqtr4d 2480	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) )
203	150, 175, 202	3eqtr4d 2480	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
204		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( x ^ j ) ) ) = ( x e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( x ^ j ) ) )
205		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
206	3, 204, 205	basellem5 22402	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) )
207	206	oveq2d 6102	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
208	203, 207	eqtr4d 2473	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
209	22	recnd 9404	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
210	1, 35, 209	fsummulc2 13243	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
211	141, 208, 210	3eqtrd 2474	. . 3 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
212		oveq1 6093	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( n ^ -u 2 ) = ( k ^ -u 2 ) )
213		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) = ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) )
214		ovex 6111	. . . . . . 7 |- ( k ^ -u 2 ) e. _V
215	212, 213, 214	fvmpt 5769	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ` k ) = ( k ^ -u 2 ) )
216	25, 215	syl 16	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ` k ) = ( k ^ -u 2 ) )
217		id 22	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. NN )
218		nnuz 10888	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
219	217, 218	syl6eleq 2528	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
220	216, 219, 58	fsumser 13199	. . . 4 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ) ` M ) )
221		basel.f	. . . . 5 |- F = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) )
222	221	fveq1i 5687	. . . 4 |- ( F ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ) ` M )
223	220, 222	syl6reqr 2489	. . 3 |- ( M e. NN -> ( F ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) )
224	91, 211, 223	3brtr4d 4317	. 2 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) <_ ( F ` M ) )
225	75	resincld 13419	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
226		sincosq1sgn 21940	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
227	13, 226	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
228	227	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
229	228	gt0ne0d 9896	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
230	225, 229, 21	reexpclzd 12025	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
231	12, 230	remulcld 9406	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) e. RR )
232		sinltx 13465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. RR+ -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( ( k x. pi ) / N ) )
233	82, 232	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( ( k x. pi ) / N ) )
234	225, 75, 233	ltled 9514	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <_ ( ( k x. pi ) / N ) )
235		0re 9378	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
236		ltle 9455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
237	235, 225, 236	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
238	228, 237	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
239	225, 75, 238, 83	le2sqd 12035	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <_ ( ( k x. pi ) / N ) <-> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) ) )
240	234, 239	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) )
241	240, 73	breqtrrd 4313	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) )
242	225	resqcld 12026	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR )
243	242, 12, 46	lemuldiv2d 11065	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k ^ -u 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( pi / N ) ^ 2 ) <-> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) ) )
244	225, 228	elrpd 11017	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
245		rpexpcl 11876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
246	244, 18, 245	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
247	28, 12, 246	lemuldivd 11064	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k ^ -u 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( pi / N ) ^ 2 ) <-> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
248	243, 247	bitr3d 255	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) <-> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
249	241, 248	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
250	225	recnd 9404	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
251		expneg 11865	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
252	250, 30, 251	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
253	252	oveq2d 6102	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
254	242	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
255	246	rpne0d 11024	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
256	36, 254, 255	divrecd 10102	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
257	253, 256	eqtr4d 2473	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
258	249, 257	breqtrrd 4313	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
259	1, 28, 231, 258	fsumle 13254	. . 3 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) <_ sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
260	95	oveq2d 6102	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( 1 + ( 1 / N ) ) )
261	97, 260	oveq12d 6104	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) )
262		basel.k	. . . . . 6 |- K = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) )
263		ovex 6111	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V
264	263	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
265	103, 119, 121, 123, 125	offval2 6331	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) = ( n e. NN |-> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
266	103, 105, 264, 128, 265	offval2 6331	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
267	266	trud 1378	. . . . . 6 |- ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
268	262, 267	eqtri 2458	. . . . 5 |- K = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
269		ovex 6111	. . . . 5 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) e. _V
270	261, 268, 269	fvmpt 5769	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( K ` M ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) )
271		peano2cn 9533	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
272	63, 271	syl 16	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
273	272, 63, 64	divcld 10099	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) e. CC )
274	143, 145, 273	mulassd 9401	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) )
275	63, 151, 63, 64	divdird 10137	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) = ( ( N / N ) + ( 1 / N ) ) )
276	158	oveq1d 6101	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) + ( 1 / N ) ) = ( 1 + ( 1 / N ) ) )
277	275, 276	eqtr2d 2471	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( 1 + ( 1 / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
278	161, 277	oveq12d 6104	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
279	180	oveq2d 6102	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
280	144, 272	mulcld 9398	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC )
281		divmuldiv 10023	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) /\ ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
282	183, 280, 186, 188, 281	syl22anc 1219	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
283		divmuldiv 10023	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) /\ ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
284	183, 280, 188, 186, 283	syl22anc 1219	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
285	279, 282, 284	3eqtr4d 2480	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
286	75	recoscld 13420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
287	286	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
288	287	sqcld 11998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
289	254, 288, 254, 255	divdird 10137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
290	75	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. CC )
291		sincossq 13452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
292	290, 291	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
293	292	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
294	254, 255	dividd 10097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
295	227	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
296	295	gt0ne0d 9896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
297		tanval 13404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( k x. pi ) / N ) e. CC /\ ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) = ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
298	290, 296, 297	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) = ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
299	298	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) ^ 2 ) )
300	250, 287, 296	sqdivd 12013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
301	299, 300	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
302	301	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 / ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
303		sqne0 11924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) )
304	287, 303	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) )
305	296, 304	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
306	254, 288, 255, 305	recdivd 10116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
307	32, 302, 306	3eqtrrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
308	294, 307	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
309	289, 293, 308	3eqtr3d 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
310		addcom 9547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
311	146, 209, 310	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
312	252, 309, 311	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
313	312	sumeq2dv 13172	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
314		1cnd 9394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 1 e. CC )
315	1, 209, 314	fsumadd 13207	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) = ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 ) )
316		fsumconst 13249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... M ) e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) )
317	1, 146, 316	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) )
318		nnnn0 10578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
319		hashfz1 12109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
320	318, 319	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
321	320	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) = ( M x. 1 ) )
322		nncn 10322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> M e. CC )
323	322	mulid1d 9395	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( M x. 1 ) = M )
324	317, 321, 323	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = M )
325	206, 324	oveq12d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
326	313, 315, 325	3eqtrd 2474	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
327		3cn 10388	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. CC
328	327	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> 3 e. CC )
329	144, 148, 328	adddid 9402	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( ( 2 x. M ) x. 3 ) ) )
330		df-3 10373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 = ( 2 + 1 )
331	330	oveq1i 6096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 - 1 ) = ( ( 2 + 1 ) - 1 )
332		pncan 9608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 + 1 ) - 1 ) = 2 )
333	47, 146, 332	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 + 1 ) - 1 ) = 2
334	331, 333, 166	3eqtri 2462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 - 1 ) = ( 1 + 1 )
335	334	oveq2i 6097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. M ) + ( 3 - 1 ) ) = ( ( 2 x. M ) + ( 1 + 1 ) )
336	144, 151, 328	subadd23d 9733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( ( 2 x. M ) + ( 3 - 1 ) ) )
337	144, 151, 151	addassd 9400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. M ) + ( 1 + 1 ) ) )
338	335, 336, 337	3eqtr4a 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 ) )
339	3	oveq1i 6096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N + 1 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 )
340	338, 339	syl6eqr 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( N + 1 ) )
341	340	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) ) = ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) )
342	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> 2 e. CC )
343	342, 322, 328	mul32d 9571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. 3 ) = ( ( 2 x. 3 ) x. M ) )
344		3t2e6 10465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 x. 2 ) = 6
345	327, 47	mulcomi 9384	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 x. 2 ) = ( 2 x. 3 )
346	344, 345	eqtr3i 2460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 = ( 2 x. 3 )
347	346	oveq1i 6096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 6 x. M ) = ( ( 2 x. 3 ) x. M )
348	343, 347	syl6eqr 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. 3 ) = ( 6 x. M ) )
349	348	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( ( 2 x. M ) x. 3 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) )
350	329, 341, 349	3eqtr3d 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) )
351	350	oveq1d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) / 6 ) )
352		mulcl 9358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 6 e. CC /\ M e. CC ) -> ( 6 x. M ) e. CC )
353	178, 322, 352	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( 6 x. M ) e. CC )
354	178	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 6 e. CC )
355	112	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 6 =/= 0 )
356	184, 353, 354, 355	divdird 10137	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + ( ( 6 x. M ) / 6 ) ) )
357	322, 354, 355	divcan3d 10104	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( ( 6 x. M ) / 6 ) = M )
358	357	oveq2d 6102	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + ( ( 6 x. M ) / 6 ) ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
359	351, 356, 358	3eqtrd 2474	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
360	326, 359	eqtr4d 2473	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) )
361	195, 360	oveq12d 6104	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) )
362	144, 63, 272, 63, 64, 64	divmuldivd 10140	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
363	198	oveq2d 6102	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
364	362, 363	eqtr4d 2473	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) )
365	364	oveq2d 6102	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
366	285, 361, 365	3eqtr4d 2480	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) )
367	274, 278, 366	3eqtr4d 2480	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
368	230	recnd 9404	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
369	1, 35, 368	fsummulc2 13243	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
370	270, 367, 369	3eqtrd 2474	. . 3 |- ( M e. NN -> ( K ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
371	259, 223, 370	3brtr4d 4317	. 2 |- ( M e. NN -> ( F ` M ) <_ ( K ` M ) )
372	224, 371	jca 532	1 |- ( M e. NN -> ( ( J ` M ) <_ ( F ` M ) /\ ( F ` M ) <_ ( K ` M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   T. wtru 1370   e. wcel 1756   =/= wne 2601   _Vcvv 2967   {csn 3872   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   X. cxp 4833   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   oFcof 6313   Fincfn 7302   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   -ucneg 9588   / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   3c3 10364   6c6 10367   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   ...cfz 11429   seqcseq 11798   ^cexp 11857   _C cbc 12070   #chash 12095   sum_csu 13155   sincsin 13341   cosccos 13342   tanctan 13343   picpi 13344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-tan 13349  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-0p 21128  df-limc 21321  df-dv 21322  df-ply 21636  df-idp 21637  df-coe 21638  df-dgr 21639  df-quot 21737

This theorem is referenced by:  basellem9  22406