Theorem basellem8 22310

Description: Lemma for basel 22312. The function F of partial sums of the inverse squares is bounded below by J and above by K, obtained by summing the inequality cot ^ 2 x <_ 1 / x ^ 2 <_ csc ^ 2 x = cot ^ 2 x + 1 over the M roots of the polynomial P, and applying the identity basellem5 22307. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	|- G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
basel.f	|- F = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h	|- H = ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) )
basel.j	|- J = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) )
basel.k	|- K = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) )
basellem8.n	|- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
basellem8	|- ( M e. NN -> ( ( J ` M ) <_ ( F ` M ) /\ ( F ` M ) <_ ( K ` M ) ) )

Distinct variable groups:   n, F   n, M   n, J   n, N

Allowed substitution hints:   G( n)   H( n)   K( n)

Proof of Theorem basellem8

Dummy variables k x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11779	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) e. Fin )
2		pire 21806	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
3		basellem8.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
4		2nn 10467	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
5		nnmulcl 10333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
6	4, 5	mpan 663	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN )
7	6	peano2nnd 10327	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. NN )
8	3, 7	syl5eqel 2517	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> N e. NN )
9		nndivre 10345	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. RR /\ N e. NN ) -> ( pi / N ) e. RR )
10	2, 8, 9	sylancr 656	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( pi / N ) e. RR )
11	10	resqcld 12018	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. RR )
12	11	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. RR )
13	3	basellem1 22303	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
14		tanrpcl 21851	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
16	15	rpred 11015	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
17	15	rpne0d 11020	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
18		2z 10666	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
19		znegcl 10668	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -u 2 e. ZZ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> -u 2 e. ZZ )
22	16, 17, 21	reexpclzd 12017	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
23	12, 22	remulcld 9402	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) e. RR )
24		elfznn 11465	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
25	24	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. NN )
26	25	nnred 10325	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. RR )
27	25	nnne0d 10354	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k =/= 0 )
28	26, 27, 21	reexpclzd 12017	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR )
29	16	recnd 9400	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
30		2nn0 10584	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
31		expneg 11857	. . . . . . . 8 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
32	29, 30, 31	sylancl 655	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
33	32	oveq2d 6096	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
34	10	recnd 9400	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( pi / N ) e. CC )
35	34	sqcld 11990	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. CC )
36	35	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. CC )
37		rpexpcl 11868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
38	15, 18, 37	sylancl 655	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
39	38	rpred 11015	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR )
40	39	recnd 9400	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
41	38	rpne0d 11020	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
42	36, 40, 41	divrecd 10098	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
43	33, 42	eqtr4d 2468	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
44	25	nnrpd 11014	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. RR+ )
45		rpexpcl 11868	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR+ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR+ )
46	44, 20, 45	sylancl 655	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR+ )
47		2cn 10380	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
48	47	negnegi 9666	. . . . . . . . . . 11 |- -u -u 2 = 2
49	48	oveq2i 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( k ^ -u -u 2 ) = ( k ^ 2 )
50	25	nncnd 10326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. CC )
51	50, 27, 21	expnegd 11999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u -u 2 ) = ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) )
52	49, 51	syl5reqr 2480	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) = ( k ^ 2 ) )
53	52	oveq1d 6095	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
54		nncn 10318	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. CC )
55		nnne0 10342	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
56	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> -u 2 e. ZZ )
57	54, 55, 56	expclzd 11997	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( k ^ -u 2 ) e. CC )
58	25, 57	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. CC )
59	50, 27, 21	expne0d 11998	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) =/= 0 )
60	36, 58, 59	divrec2d 10099	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) = ( ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
61	2	recni 9386	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. CC
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> pi e. CC )
63	8	nncnd 10326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> N e. CC )
64	8	nnne0d 10354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> N =/= 0 )
65	63, 64	jca 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
66	65	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
67		divass 10000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ pi e. CC /\ ( N e. CC /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) = ( k x. ( pi / N ) ) )
68	50, 62, 66, 67	syl3anc 1211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) = ( k x. ( pi / N ) ) )
69	68	oveq1d 6095	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) = ( ( k x. ( pi / N ) ) ^ 2 ) )
70	34	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( pi / N ) e. CC )
71	50, 70	sqmuld 12004	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. ( pi / N ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
72	69, 71	eqtrd 2465	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
73	53, 60, 72	3eqtr4d 2475	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) = ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) )
74		elioore 11318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR )
75	13, 74	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR )
76	75	resqcld 12018	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) e. RR )
77		tangtx 21852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
78	13, 77	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
79		eliooord 11343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( ( k x. pi ) / N ) /\ ( ( k x. pi ) / N ) < ( pi / 2 ) ) )
80	13, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( ( k x. pi ) / N ) /\ ( ( k x. pi ) / N ) < ( pi / 2 ) ) )
81	80	simpld 456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( ( k x. pi ) / N ) )
82	75, 81	elrpd 11013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR+ )
83	82	rpge0d 11019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( ( k x. pi ) / N ) )
84	15	rpge0d 11019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
85	75, 16, 83, 84	lt2sqd 12026	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <-> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
86	78, 85	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
87	76, 39, 86	ltled 9510	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) <_ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
88	73, 87	eqbrtrd 4300	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) <_ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
89	12, 46, 38, 88	lediv23d 11072	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( k ^ -u 2 ) )
90	43, 89	eqbrtrd 4300	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) <_ ( k ^ -u 2 ) )
91	1, 23, 28, 90	fsumle 13245	. . 3 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) )
92		oveq2 6088	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = M -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. M ) )
93	92	oveq1d 6095	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. M ) + 1 ) )
94	93, 3	syl6eqr 2483	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N )
95	94	oveq2d 6096	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( 1 / N ) )
96	95	oveq2d 6096	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / N ) ) )
97	96	oveq2d 6096	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) )
98	95	oveq2d 6096	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) )
99	98	oveq2d 6096	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) )
100	97, 99	oveq12d 6098	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) )
101		basel.j	. . . . . 6 |- J = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) )
102		nnex 10316	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( T. -> NN e. _V )
104		ovex 6105	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
105	104	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V )
106		ovex 6105	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V )
108		basel.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) )
109	2	resqcli 11935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi ^ 2 ) e. RR
110		6re 10390	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. RR
111		6nn 10471	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. NN
112	111	nnne0i 10344	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 =/= 0
113	109, 110, 112	redivcli 10086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. RR
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
115		ovex 6105	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
117		fconstmpt 4869	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) = ( n e. NN |-> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) )
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) = ( n e. NN |-> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) ) )
119		1zzd 10665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 1 e. ZZ )
120		ovex 6105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. _V
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. _V )
122		fconstmpt 4869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN X. { 1 } ) = ( n e. NN |-> 1 )
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( NN X. { 1 } ) = ( n e. NN |-> 1 ) )
124		basel.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
126	103, 119, 121, 123, 125	offval2 6325	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) = ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
127	103, 114, 116, 118, 126	offval2 6325	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
128	108, 127	syl5eq 2477	. . . . . . . 8 |- ( T. -> H = ( n e. NN |-> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
129		ovex 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V
130	129	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
131	47	negcli 9664	. . . . . . . . . . 11 |- -u 2 e. CC
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> -u 2 e. CC )
133		fconstmpt 4869	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN X. { -u 2 } ) = ( n e. NN |-> -u 2 )
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( NN X. { -u 2 } ) = ( n e. NN |-> -u 2 ) )
135	103, 132, 121, 134, 125	offval2 6325	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) = ( n e. NN |-> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
136	103, 119, 130, 123, 135	offval2 6325	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
137	103, 105, 107, 128, 136	offval2 6325	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) ) )
138	137	trud 1371	. . . . . 6 |- ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
139	101, 138	eqtri 2453	. . . . 5 |- J = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
140		ovex 6105	. . . . 5 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) e. _V
141	100, 139, 140	fvmpt 5762	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) )
142	113	recni 9386	. . . . . . . 8 |- ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. CC
143	142	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. CC )
144	6	nncnd 10326	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. CC )
145	144, 63, 64	divcld 10095	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) / N ) e. CC )
146		ax-1cn 9328	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
147		subcl 9597	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 x. M ) - 1 ) e. CC )
148	144, 146, 147	sylancl 655	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) - 1 ) e. CC )
149	148, 63, 64	divcld 10095	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) e. CC )
150	143, 145, 149	mulassd 9397	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) )
151		1cnd 9390	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 1 e. CC )
152	63, 151, 63, 64	divsubdird 10134	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) = ( ( N / N ) - ( 1 / N ) ) )
153	3	oveq1i 6090	. . . . . . . . . . 11 |- ( N - 1 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 )
154		pncan 9604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. M ) )
155	144, 146, 154	sylancl 655	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. M ) )
156	153, 155	syl5eq 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N - 1 ) = ( 2 x. M ) )
157	156	oveq1d 6095	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) = ( ( 2 x. M ) / N ) )
158	63, 64	dividd 10093	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N / N ) = 1 )
159	158	oveq1d 6095	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) - ( 1 / N ) ) = ( 1 - ( 1 / N ) ) )
160	152, 157, 159	3eqtr3rd 2474	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( 1 - ( 1 / N ) ) = ( ( 2 x. M ) / N ) )
161	160	oveq2d 6096	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) )
162	131	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> -u 2 e. CC )
163	63, 162, 63, 64	divdird 10133	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N + -u 2 ) / N ) = ( ( N / N ) + ( -u 2 / N ) ) )
164		negsub 9645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( N + -u 2 ) = ( N - 2 ) )
165	63, 47, 164	sylancl 655	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N + -u 2 ) = ( N - 2 ) )
166		df-2 10368	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
167	3, 166	oveq12i 6092	. . . . . . . . . . 11 |- ( N - 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) )
168	144, 151, 151	pnpcan2d 9745	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
169	167, 168	syl5eq 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N - 2 ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
170	165, 169	eqtrd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( N + -u 2 ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
171	170	oveq1d 6095	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N + -u 2 ) / N ) = ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) )
172	162, 63, 64	divrecd 10098	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( -u 2 / N ) = ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) )
173	158, 172	oveq12d 6098	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) + ( -u 2 / N ) ) = ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) )
174	163, 171, 173	3eqtr3rd 2474	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) )
175	161, 174	oveq12d 6098	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) )
176	8	nnsqcld 12012	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
177	176	nncnd 10326	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) e. CC )
178		6cn 10391	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. CC
179		mulcom 9356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ 6 e. CC ) -> ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) = ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) )
180	177, 178, 179	sylancl 655	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) = ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) )
181	180	oveq2d 6096	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
182	109	recni 9386	. . . . . . . . . 10 |- ( pi ^ 2 ) e. CC
183	182	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( pi ^ 2 ) e. CC )
184	144, 148	mulcld 9394	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC )
185	176	nnne0d 10354	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) =/= 0 )
186	177, 185	jca 529	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) )
187	178, 112	pm3.2i 452	. . . . . . . . . 10 |- ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 )
188	187	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) )
189		divmuldiv 10019	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) /\ ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
190	183, 184, 186, 188, 189	syl22anc 1212	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
191		divmuldiv 10019	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) /\ ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
192	183, 184, 188, 186, 191	syl22anc 1212	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
193	181, 190, 192	3eqtr4d 2475	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
194	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> pi e. CC )
195	194, 63, 64	sqdivd 12005	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) = ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) )
196	195	oveq1d 6095	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
197	144, 63, 148, 63, 64, 64	divmuldivd 10136	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
198	63	sqvald 11989	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
199	198	oveq2d 6096	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
200	197, 199	eqtr4d 2468	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) )
201	200	oveq2d 6096	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
202	193, 196, 201	3eqtr4d 2475	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) )
203	150, 175, 202	3eqtr4d 2475	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
204		eqid 2433	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( x ^ j ) ) ) = ( x e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( x ^ j ) ) )
205		eqid 2433	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
206	3, 204, 205	basellem5 22307	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) )
207	206	oveq2d 6096	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
208	203, 207	eqtr4d 2468	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
209	22	recnd 9400	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
210	1, 35, 209	fsummulc2 13234	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
211	141, 208, 210	3eqtrd 2469	. . 3 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
212		oveq1 6087	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( n ^ -u 2 ) = ( k ^ -u 2 ) )
213		eqid 2433	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) = ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) )
214		ovex 6105	. . . . . . 7 |- ( k ^ -u 2 ) e. _V
215	212, 213, 214	fvmpt 5762	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ` k ) = ( k ^ -u 2 ) )
216	25, 215	syl 16	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ` k ) = ( k ^ -u 2 ) )
217		id 22	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. NN )
218		nnuz 10884	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
219	217, 218	syl6eleq 2523	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
220	216, 219, 58	fsumser 13191	. . . 4 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ) ` M ) )
221		basel.f	. . . . 5 |- F = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) )
222	221	fveq1i 5680	. . . 4 |- ( F ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ) ` M )
223	220, 222	syl6reqr 2484	. . 3 |- ( M e. NN -> ( F ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) )
224	91, 211, 223	3brtr4d 4310	. 2 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) <_ ( F ` M ) )
225	75	resincld 13410	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
226		sincosq1sgn 21845	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
227	13, 226	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
228	227	simpld 456	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
229	228	gt0ne0d 9892	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
230	225, 229, 21	reexpclzd 12017	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
231	12, 230	remulcld 9402	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) e. RR )
232		sinltx 13456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. RR+ -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( ( k x. pi ) / N ) )
233	82, 232	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( ( k x. pi ) / N ) )
234	225, 75, 233	ltled 9510	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <_ ( ( k x. pi ) / N ) )
235		0re 9374	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
236		ltle 9451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
237	235, 225, 236	sylancr 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
238	228, 237	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
239	225, 75, 238, 83	le2sqd 12027	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <_ ( ( k x. pi ) / N ) <-> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) ) )
240	234, 239	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) )
241	240, 73	breqtrrd 4306	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) )
242	225	resqcld 12018	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR )
243	242, 12, 46	lemuldiv2d 11061	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k ^ -u 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( pi / N ) ^ 2 ) <-> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) ) )
244	225, 228	elrpd 11013	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
245		rpexpcl 11868	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
246	244, 18, 245	sylancl 655	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
247	28, 12, 246	lemuldivd 11060	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k ^ -u 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( pi / N ) ^ 2 ) <-> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
248	243, 247	bitr3d 255	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) <-> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
249	241, 248	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
250	225	recnd 9400	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
251		expneg 11857	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
252	250, 30, 251	sylancl 655	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
253	252	oveq2d 6096	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
254	242	recnd 9400	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
255	246	rpne0d 11020	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
256	36, 254, 255	divrecd 10098	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
257	253, 256	eqtr4d 2468	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
258	249, 257	breqtrrd 4306	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
259	1, 28, 231, 258	fsumle 13245	. . 3 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) <_ sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
260	95	oveq2d 6096	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( 1 + ( 1 / N ) ) )
261	97, 260	oveq12d 6098	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) )
262		basel.k	. . . . . 6 |- K = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) )
263		ovex 6105	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V
264	263	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
265	103, 119, 121, 123, 125	offval2 6325	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) = ( n e. NN |-> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
266	103, 105, 264, 128, 265	offval2 6325	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
267	266	trud 1371	. . . . . 6 |- ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
268	262, 267	eqtri 2453	. . . . 5 |- K = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
269		ovex 6105	. . . . 5 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) e. _V
270	261, 268, 269	fvmpt 5762	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( K ` M ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) )
271		peano2cn 9529	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
272	63, 271	syl 16	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
273	272, 63, 64	divcld 10095	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) e. CC )
274	143, 145, 273	mulassd 9397	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) )
275	63, 151, 63, 64	divdird 10133	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) = ( ( N / N ) + ( 1 / N ) ) )
276	158	oveq1d 6095	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) + ( 1 / N ) ) = ( 1 + ( 1 / N ) ) )
277	275, 276	eqtr2d 2466	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( 1 + ( 1 / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
278	161, 277	oveq12d 6098	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
279	180	oveq2d 6096	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
280	144, 272	mulcld 9394	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC )
281		divmuldiv 10019	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) /\ ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
282	183, 280, 186, 188, 281	syl22anc 1212	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
283		divmuldiv 10019	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) /\ ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
284	183, 280, 188, 186, 283	syl22anc 1212	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
285	279, 282, 284	3eqtr4d 2475	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
286	75	recoscld 13411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
287	286	recnd 9400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
288	287	sqcld 11990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
289	254, 288, 254, 255	divdird 10133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
290	75	recnd 9400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. CC )
291		sincossq 13443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
292	290, 291	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
293	292	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
294	254, 255	dividd 10093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
295	227	simprd 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
296	295	gt0ne0d 9892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
297		tanval 13395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( k x. pi ) / N ) e. CC /\ ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) = ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
298	290, 296, 297	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) = ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
299	298	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) ^ 2 ) )
300	250, 287, 296	sqdivd 12005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
301	299, 300	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
302	301	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 / ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
303		sqne0 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) )
304	287, 303	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) )
305	296, 304	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
306	254, 288, 255, 305	recdivd 10112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
307	32, 302, 306	3eqtrrd 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
308	294, 307	oveq12d 6098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
309	289, 293, 308	3eqtr3d 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
310		addcom 9543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
311	146, 209, 310	sylancr 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
312	252, 309, 311	3eqtrd 2469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
313	312	sumeq2dv 13164	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
314		1cnd 9390	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 1 e. CC )
315	1, 209, 314	fsumadd 13199	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) = ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 ) )
316		fsumconst 13240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... M ) e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) )
317	1, 146, 316	sylancl 655	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) )
318		nnnn0 10574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
319		hashfz1 12101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
320	318, 319	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
321	320	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) = ( M x. 1 ) )
322		nncn 10318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> M e. CC )
323	322	mulid1d 9391	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( M x. 1 ) = M )
324	317, 321, 323	3eqtrd 2469	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = M )
325	206, 324	oveq12d 6098	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
326	313, 315, 325	3eqtrd 2469	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
327		3cn 10384	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. CC
328	327	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> 3 e. CC )
329	144, 148, 328	adddid 9398	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( ( 2 x. M ) x. 3 ) ) )
330		df-3 10369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 = ( 2 + 1 )
331	330	oveq1i 6090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 - 1 ) = ( ( 2 + 1 ) - 1 )
332		pncan 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 + 1 ) - 1 ) = 2 )
333	47, 146, 332	mp2an 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 + 1 ) - 1 ) = 2
334	331, 333, 166	3eqtri 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 - 1 ) = ( 1 + 1 )
335	334	oveq2i 6091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. M ) + ( 3 - 1 ) ) = ( ( 2 x. M ) + ( 1 + 1 ) )
336	144, 151, 328	subadd23d 9729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( ( 2 x. M ) + ( 3 - 1 ) ) )
337	144, 151, 151	addassd 9396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. M ) + ( 1 + 1 ) ) )
338	335, 336, 337	3eqtr4a 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 ) )
339	3	oveq1i 6090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N + 1 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 )
340	338, 339	syl6eqr 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( N + 1 ) )
341	340	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) ) = ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) )
342	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> 2 e. CC )
343	342, 322, 328	mul32d 9567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. 3 ) = ( ( 2 x. 3 ) x. M ) )
344		3t2e6 10461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 x. 2 ) = 6
345	327, 47	mulcomi 9380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 x. 2 ) = ( 2 x. 3 )
346	344, 345	eqtr3i 2455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 = ( 2 x. 3 )
347	346	oveq1i 6090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 6 x. M ) = ( ( 2 x. 3 ) x. M )
348	343, 347	syl6eqr 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. 3 ) = ( 6 x. M ) )
349	348	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( ( 2 x. M ) x. 3 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) )
350	329, 341, 349	3eqtr3d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) )
351	350	oveq1d 6095	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) / 6 ) )
352		mulcl 9354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 6 e. CC /\ M e. CC ) -> ( 6 x. M ) e. CC )
353	178, 322, 352	sylancr 656	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( 6 x. M ) e. CC )
354	178	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 6 e. CC )
355	112	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 6 =/= 0 )
356	184, 353, 354, 355	divdird 10133	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + ( ( 6 x. M ) / 6 ) ) )
357	322, 354, 355	divcan3d 10100	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( ( 6 x. M ) / 6 ) = M )
358	357	oveq2d 6096	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + ( ( 6 x. M ) / 6 ) ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
359	351, 356, 358	3eqtrd 2469	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
360	326, 359	eqtr4d 2468	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) )
361	195, 360	oveq12d 6098	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) )
362	144, 63, 272, 63, 64, 64	divmuldivd 10136	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
363	198	oveq2d 6096	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
364	362, 363	eqtr4d 2468	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) )
365	364	oveq2d 6096	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
366	285, 361, 365	3eqtr4d 2475	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) )
367	274, 278, 366	3eqtr4d 2475	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
368	230	recnd 9400	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
369	1, 35, 368	fsummulc2 13234	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
370	270, 367, 369	3eqtrd 2469	. . 3 |- ( M e. NN -> ( K ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
371	259, 223, 370	3brtr4d 4310	. 2 |- ( M e. NN -> ( F ` M ) <_ ( K ` M ) )
372	224, 371	jca 529	1 |- ( M e. NN -> ( ( J ` M ) <_ ( F ` M ) /\ ( F ` M ) <_ ( K ` M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   T. wtru 1363   e. wcel 1755   =/= wne 2596   _Vcvv 2962   {csn 3865   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   X. cxp 4825   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   oFcof 6307   Fincfn 7298   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271   + caddc 9273   x. cmul 9275   < clt 9406   <_ cle 9407   - cmin 9583   -ucneg 9584   / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   6c6 10363   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   RR+crp 10979   (,)cioo 11288   ...cfz 11424   seqcseq 11790   ^cexp 11849   _C cbc 12062   #chash 12087   sum_csu 13147   sincsin 13332   cosccos 13333   tanctan 13334   picpi 13335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-sin 13338  df-cos 13339  df-tan 13340  df-pi 13341  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-0p 20990  df-limc 21183  df-dv 21184  df-ply 21541  df-idp 21542  df-coe 21543  df-dgr 21544  df-quot 21642

This theorem is referenced by:  basellem9  22311