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Theorem basellem8 24093
Description: Lemma for basel 24095. The function  F of partial sums of the inverse squares is bounded below by  J and above by  K, obtained by summing the inequality 
cot ^ 2 x  <_ 
1  /  x ^
2  <_  csc ^ 2 x  =  cot ^
2 x  +  1 over the  M roots of the polynomial  P, and applying the identity basellem5 24090. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basel.f  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
basel.j  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
basel.k  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
basellem8.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
basellem8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( J `  M
)  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) ) )
Distinct variable groups:    n, F    n, M    n, J    n, N
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    K( n)

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables  k  x  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12224 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
2 pire 23492 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
3 basellem8.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
4 2nn 10790 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
5 nnmulcl 10654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
64, 5mpan 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
76peano2nnd 10648 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
83, 7syl5eqel 2553 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
9 nndivre 10667 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( pi  /  N
)  e.  RR )
102, 8, 9sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi  /  N )  e.  RR )
1110resqcld 12480 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  e.  RR )
1211adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  e.  RR )
133basellem1 24086 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
14 tanrpcl 23538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
1513, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
1615rpred 11364 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
1715rpne0d 11369 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
18 2z 10993 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
19 znegcl 10996 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  ZZ
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  -u 2  e.  ZZ )
2216, 17, 21reexpclzd 12479 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
2312, 22remulcld 9689 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  e.  RR )
24 elfznn 11854 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
2524adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  NN )
2625nnred 10646 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  RR )
2725nnne0d 10676 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  =/=  0
)
2826, 27, 21reexpclzd 12479 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  RR )
2916recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
30 2nn0 10910 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
31 expneg 12318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
3229, 30, 31sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
3410recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi  /  N )  e.  CC )
3534sqcld 12452 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  e.  CC )
3635adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  e.  CC )
37 rpexpcl 12329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3815, 18, 37sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3938rpred 11364 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR )
4039recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
4138rpne0d 11369 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
4236, 40, 41divrecd 10408 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
4333, 42eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
4425nnrpd 11362 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  RR+ )
45 rpexpcl 12329 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  RR+ )
4644, 20, 45sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  RR+ )
47 2cn 10702 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4847negnegi 9964 . . . . . . . . . . 11  |-  -u -u 2  =  2
4948oveq2i 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( k ^ -u -u 2
)  =  ( k ^ 2 )
5025nncnd 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  CC )
5150, 27, 21expnegd 12461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u -u 2 )  =  ( 1  /  (
k ^ -u 2
) ) )
5249, 51syl5reqr 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( k ^ 2 ) )
5352oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( 1  /  ( k ^ -u 2 ) )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
54 nncn 10639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
55 nnne0 10664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
5620a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  -u 2  e.  ZZ )
5754, 55, 56expclzd 12459 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  CC )
5825, 57syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  CC )
5950, 27, 21expne0d 12460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  =/=  0
)
6036, 58, 59divrec2d 10409 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( ( 1  /  (
k ^ -u 2
) )  x.  (
( pi  /  N
) ^ 2 ) ) )
612recni 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  pi  e.  CC )
638nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  CC )
648nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
6563, 64jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
6665adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
67 divass 10310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  =  ( k  x.  ( pi  /  N ) ) )
6850, 62, 66, 67syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  =  ( k  x.  ( pi 
/  N ) ) )
6968oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  =  ( ( k  x.  (
pi  /  N )
) ^ 2 ) )
7034adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( pi  /  N )  e.  CC )
7150, 70sqmuld 12466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  ( pi  /  N ) ) ^
2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
7269, 71eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
7353, 60, 723eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( ( ( k  x.  pi )  /  N
) ^ 2 ) )
74 elioore 11691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( (
k  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
7513, 74syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
7675resqcld 12480 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  e.  RR )
77 tangtx 23539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( (
k  x.  pi )  /  N )  < 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
7813, 77syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  <  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
79 eliooord 11719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( ( k  x.  pi )  /  N )  /\  (
( k  x.  pi )  /  N )  < 
( pi  /  2
) ) )
8013, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  /\  ( (
k  x.  pi )  /  N )  < 
( pi  /  2
) ) )
8180simpld 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  (
( k  x.  pi )  /  N ) )
8275, 81elrpd 11361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
8382rpge0d 11368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  (
( k  x.  pi )  /  N ) )
8415rpge0d 11368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
8575, 16, 83, 84lt2sqd 12488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  < 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^ 2 )  <  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
8678, 85mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  <  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8776, 39, 86ltled 9800 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  <_  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8873, 87eqbrtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  <_  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8912, 46, 38, 88lediv23d 11427 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( k ^ -u 2 ) )
9043, 89eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  <_  ( k ^ -u 2 ) )
911, 23, 28, 90fsumle 13936 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 ) )
92 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
9392oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
9493, 3syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N )
9594oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  /  N ) )
9695oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )
9796oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  N ) ) ) )
9895oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) )
9998oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )
10097, 99oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  (
-u 2  x.  (
1  /  N ) ) ) ) )
101 basel.j . . . . . 6  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
102 nnex 10637 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
103102a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  NN  e.  _V )
104 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
105104a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V )
106 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
107106a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V )
108 basel.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
1092resqcli 12398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi
^ 2 )  e.  RR
110 6re 10712 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR
111 6nn 10794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
112111nnne0i 10666 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
113109, 110, 112redivcli 10396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR )
115 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e. 
_V
116115a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
117 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi ^
2 )  /  6
) ) )
119 1zzd 10992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
120 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e. 
_V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  _V )
122 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 ) )
124 basel.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
125124a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  G  =  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
126103, 119, 121, 123, 125offval2 6567 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
127103, 114, 116, 118, 126offval2 6567 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
128108, 127syl5eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  H  =  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
129 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
130129a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
13147negcli 9962 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 2  e.  CC
132131a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
133 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
X.  { -u 2 } )  =  ( n  e.  NN  |->  -u
2 )
134133a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } )  =  ( n  e.  NN  |->  -u 2 ) )
135103, 132, 121, 134, 125offval2 6567 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
136103, 119, 130, 123, 135offval2 6567 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
137103, 105, 107, 128, 136offval2 6567 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) ) )
138137trud 1461 . . . . . 6  |-  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
139101, 138eqtri 2493 . . . . 5  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
140 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  e.  _V
141100, 139, 140fvmpt 5963 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  (
-u 2  x.  (
1  /  N ) ) ) ) )
142113recni 9673 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC
143142a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC )
1446nncnd 10647 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
145144, 63, 64divcld 10405 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  /  N )  e.  CC )
146 ax-1cn 9615 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
147 subcl 9894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  CC )
148144, 146, 147sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  CC )
149148, 63, 64divcld 10405 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N )  e.  CC )
150143, 145, 149mulassd 9684 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( 2  x.  M
)  /  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) ) )
151 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  CC )
15263, 151, 63, 64divsubdird 10444 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  -  ( 1  /  N
) ) )
1533oveq1i 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )
154 pncan 9901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
155144, 146, 154sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
156153, 155syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
157156oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  =  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )
15863, 64dividd 10403 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
159158oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  -  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )
160152, 157, 1593eqtr3rd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  N ) )  =  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )
161160oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N
) ) )
162131a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  -u 2  e.  CC )
16363, 162, 63, 64divdird 10443 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  -u
2 )  /  N
)  =  ( ( N  /  N )  +  ( -u 2  /  N ) ) )
164 negsub 9942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( N  +  -u
2 )  =  ( N  -  2 ) )
16563, 47, 164sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  -u 2 )  =  ( N  - 
2 ) )
166 df-2 10690 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1673, 166oveq12i 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  -  2 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  (
1  +  1 ) )
168144, 151, 151pnpcan2d 10043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
169167, 168syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  2 )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
170165, 169eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  -u 2 )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
171170oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  -u
2 )  /  N
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )
172162, 63, 64divrecd 10408 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 2  /  N )  =  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) )
173158, 172oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( -u
2  /  N ) )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )
174163, 171, 1733eqtr3rd 2514 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )
175161, 174oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  /  N
) ) )
1768nnsqcld 12474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
177176nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
178 6cn 10713 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
179 mulcom 9643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  6  e.  CC )  ->  ( ( N ^
2 )  x.  6 )  =  ( 6  x.  ( N ^
2 ) ) )
180177, 178, 179sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  x.  6 )  =  ( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) )
181180oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  x.  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  /  ( ( N ^ 2 )  x.  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
182109recni 9673 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi
^ 2 )  e.  CC
183182a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi ^ 2 )  e.  CC )
184144, 148mulcld 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
185176nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =/=  0 )
186177, 185jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) )
187178, 112pm3.2i 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )
188187a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) )
189 divmuldiv 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 )  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
190183, 184, 186, 188, 189syl22anc 1293 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
191 divmuldiv 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
192183, 184, 188, 186, 191syl22anc 1293 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
193181, 190, 1923eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
19461a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
195194, 63, 64sqdivd 12467 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  =  ( ( pi
^ 2 )  / 
( N ^ 2 ) ) )
196195oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  ( N ^
2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
) ) )
197144, 63, 148, 63, 64, 64divmuldivd 10446 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
19863sqvald 12451 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
199198oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
200197, 199eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
201200oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
202193, 196, 2013eqtr4d 2515 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) ) )
203150, 175, 2023eqtr4d 2515 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
) ) )
204 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( x ^
j ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( x ^ j
) ) )
205 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
2063, 204, 205basellem5 24090 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
207206oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) ) )
208203, 207eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
20922recnd 9687 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
2101, 35, 209fsummulc2 13922 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
211141, 208, 2103eqtrd 2509 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  x.  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
212 oveq1 6315 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n ^ -u 2
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
213 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )
214 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( k ^ -u 2 )  e.  _V
215212, 213, 214fvmpt 5963 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
21625, 215syl 17 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) `  k )  =  ( k ^ -u 2 ) )
217 id 22 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN )
218 nnuz 11218 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
219217, 218syl6eleq 2559 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
220216, 219, 58fsumser 13873 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) `
 M ) )
221 basel.f . . . . 5  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
222221fveq1i 5880 . . . 4  |-  ( F `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) `  M
)
223220, 222syl6reqr 2524 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( F `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2
) )
22491, 211, 2233brtr4d 4426 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  <_  ( F `  M
) )
22575resincld 14274 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
226 sincosq1sgn 23532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
22713, 226syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
228227simpld 466 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
229228gt0ne0d 10199 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
230225, 229, 21reexpclzd 12479 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
23112, 230remulcld 9689 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  e.  RR )
232 sinltx 14320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR+  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
23382, 232syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
234225, 75, 233ltled 9800 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <_  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
235 0re 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
236 ltle 9740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  -> 
0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ) )
237235, 225, 236sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
238228, 237mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
239225, 75, 238, 83le2sqd 12489 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <_  (
( k  x.  pi )  /  N )  <->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^
2 )  <_  (
( ( k  x.  pi )  /  N
) ^ 2 ) ) )
240234, 239mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 ) )
241240, 73breqtrrd 4422 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( k ^ -u 2 ) ) )
242225resqcld 12480 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR )
243242, 12, 46lemuldiv2d 11411 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k ^ -u 2
)  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  <->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^
2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  /  ( k ^ -u 2 ) ) ) )
244225, 228elrpd 11361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
245 rpexpcl 12329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
246244, 18, 245sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
24728, 12, 246lemuldivd 11410 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k ^ -u 2
)  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  <->  ( k ^ -u 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
248243, 247bitr3d 263 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
k ^ -u 2
) )  <->  ( k ^ -u 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
249241, 248mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
250225recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
251 expneg 12318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
252250, 30, 251sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
253252oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
254242recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
255246rpne0d 11369 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
25636, 254, 255divrecd 10408 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
257253, 256eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
258249, 257breqtrrd 4422 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
2591, 28, 231, 258fsumle 13936 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
26095oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
26197, 260oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
262 basel.k . . . . . 6  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
263 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e. 
_V
264263a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
265103, 119, 121, 123, 125offval2 6567 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
266103, 105, 264, 128, 265offval2 6567 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
267266trud 1461 . . . . . 6  |-  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
268262, 267eqtri 2493 . . . . 5  |-  K  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
269 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )  e. 
_V
270261, 268, 269fvmpt 5963 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( K `  M )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
271 peano2cn 9823 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
27263, 271syl 17 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
273272, 63, 64divcld 10405 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
274143, 145, 273mulassd 9684 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( 2  x.  M
)  /  N ) )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
27563, 151, 63, 64divdird 10443 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
276158oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
277275, 276eqtr2d 2506 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
278161, 277oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
279180oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  x.  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ 2 )  x.  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
280144, 272mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
281 divmuldiv 10329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 )  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
282183, 280, 186, 188, 281syl22anc 1293 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
283 divmuldiv 10329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
284183, 280, 188, 186, 283syl22anc 1293 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
285279, 282, 2843eqtr4d 2515 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
28675recoscld 14275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
287286recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
288287sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
289254, 288, 254, 255divdird 10443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
29075recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  CC )
291 sincossq 14307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  CC  ->  ( (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
292290, 291syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
293292oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
294254, 255dividd 10403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
295227simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
296295gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
297 tanval 14259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  /  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
298290, 296, 297syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  /  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
299298oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) ^ 2 ) )
300250, 287, 296sqdivd 12467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  /  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
301299, 300eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
302301oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
303 sqne0 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  ->  (
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 ) )
304287, 303syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 ) )
305296, 304mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
306254, 288, 255, 305recdivd 10422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
30732, 302, 3063eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
308294, 307oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) ) )
309289, 293, 3083eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
310 addcom 9837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
311146, 209, 310sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
312252, 309, 3113eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
313312sumeq2dv 13846 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
314 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  1  e.  CC )
3151, 209, 314fsumadd 13882 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1 ) )
316 fsumconst 13928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  1 ) )
3171, 146, 316sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) 1  =  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  1 ) )
318 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
319 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
320318, 319syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
321320oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  x.  1 )  =  ( M  x.  1 ) )
322 nncn 10639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
323322mulid1d 9678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
324317, 321, 3233eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) 1  =  M )
325206, 324oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
)  +  M ) )
326313, 315, 3253eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
327 3cn 10706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  3  e.  CC )
329144, 148, 328adddid 9685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  +  3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( ( 2  x.  M )  x.  3 ) ) )
330 df-3 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =  ( 2  +  1 )
331330oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  -  1 )  =  ( ( 2  +  1 )  -  1 )
33247, 146pncan3oi 9911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2
333331, 332, 1663eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
334333oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  M )  +  ( 3  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) )
335144, 151, 328subadd23d 10027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 3  -  1 ) ) )
336144, 151, 151addassd 9683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) ) )
337334, 335, 3363eqtr4a 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 ) )
3383oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )
339337, 338syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( N  + 
1 ) )
340339oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  +  3 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )
341 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  2  e.  CC )
342341, 322, 328mul32d 9861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  3 )  =  ( ( 2  x.  3 )  x.  M ) )
343 3t2e6 10784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
344327, 47mulcomi 9667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  2 )  =  ( 2  x.  3 )
345343, 344eqtr3i 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  =  ( 2  x.  3 )
346345oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 6  x.  M )  =  ( ( 2  x.  3 )  x.  M
)
347342, 346syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  3 )  =  ( 6  x.  M ) )
348347oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  ( ( 2  x.  M )  x.  3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( 6  x.  M
) ) )
349329, 340, 3483eqtr3d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( 6  x.  M
) ) )
350349oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  +  ( 6  x.  M ) )  / 
6 ) )
351 mulcl 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 6  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 6  x.  M
)  e.  CC )
352178, 322, 351sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  x.  M )  e.  CC )
353178a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  6  e.  CC )
354112a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  6  =/=  0 )
355184, 352, 353, 354divdird 10443 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  +  ( 6  x.  M ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  ( ( 6  x.  M )  /  6
) ) )
356322, 353, 354divcan3d 10410 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 6  x.  M
)  /  6 )  =  M )
357356oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
)  +  ( ( 6  x.  M )  /  6 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
358350, 355, 3573eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
359326, 358eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 ) )
360195, 359oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) ) )
361144, 63, 272, 63, 64, 64divmuldivd 10446 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
362198oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
363361, 362eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
364363oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
365285, 360, 3643eqtr4d 2515 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
366274, 278, 3653eqtr4d 2515 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
367230recnd 9687 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
3681, 35, 367fsummulc2 13922 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
369270, 366, 3683eqtrd 2509 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( K `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  x.  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
370259, 223, 3693brtr4d 4426 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) )
371224, 370jca 541 1  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( J `  M
)  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   3c3 10682   6c6 10685   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   ...cfz 11810    seqcseq 12251   ^cexp 12310    _C cbc 12525   #chash 12553   sum_csu 13829   sincsin 14193   cosccos 14194   tanctan 14195   picpi 14196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ply 23221  df-idp 23222  df-coe 23223  df-dgr 23224  df-quot 23323
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