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Theorem basellem8 24006
Description: Lemma for basel 24008. The function  F of partial sums of the inverse squares is bounded below by  J and above by  K, obtained by summing the inequality 
cot ^ 2 x  <_ 
1  /  x ^
2  <_  csc ^ 2 x  =  cot ^
2 x  +  1 over the  M roots of the polynomial  P, and applying the identity basellem5 24003. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basel.f  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
basel.j  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
basel.k  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
basellem8.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
basellem8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( J `  M
)  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) ) )
Distinct variable groups:    n, F    n, M    n, J    n, N
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    K( n)

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables  k  x  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12187 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
2 pire 23405 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
3 basellem8.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
4 2nn 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
5 nnmulcl 10634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
64, 5mpan 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
76peano2nnd 10628 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
83, 7syl5eqel 2515 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
9 nndivre 10647 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( pi  /  N
)  e.  RR )
102, 8, 9sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi  /  N )  e.  RR )
1110resqcld 12443 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  e.  RR )
1211adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  e.  RR )
133basellem1 23999 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
14 tanrpcl 23451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
1513, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
1615rpred 11343 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
1715rpne0d 11348 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
18 2z 10971 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
19 znegcl 10974 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  ZZ
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  -u 2  e.  ZZ )
2216, 17, 21reexpclzd 12442 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
2312, 22remulcld 9673 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  e.  RR )
24 elfznn 11830 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
2524adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  NN )
2625nnred 10626 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  RR )
2725nnne0d 10656 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  =/=  0
)
2826, 27, 21reexpclzd 12442 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  RR )
2916recnd 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
30 2nn0 10888 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
31 expneg 12281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
3229, 30, 31sylancl 667 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
3410recnd 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi  /  N )  e.  CC )
3534sqcld 12415 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  e.  CC )
3635adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  e.  CC )
37 rpexpcl 12292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3815, 18, 37sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3938rpred 11343 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR )
4039recnd 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
4138rpne0d 11348 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
4236, 40, 41divrecd 10388 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
4333, 42eqtr4d 2467 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
4425nnrpd 11341 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  RR+ )
45 rpexpcl 12292 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  RR+ )
4644, 20, 45sylancl 667 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  RR+ )
47 2cn 10682 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4847negnegi 9946 . . . . . . . . . . 11  |-  -u -u 2  =  2
4948oveq2i 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( k ^ -u -u 2
)  =  ( k ^ 2 )
5025nncnd 10627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  CC )
5150, 27, 21expnegd 12424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u -u 2 )  =  ( 1  /  (
k ^ -u 2
) ) )
5249, 51syl5reqr 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( k ^ 2 ) )
5352oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( 1  /  ( k ^ -u 2 ) )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
54 nncn 10619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
55 nnne0 10644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
5620a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  -u 2  e.  ZZ )
5754, 55, 56expclzd 12422 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  CC )
5825, 57syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  CC )
5950, 27, 21expne0d 12423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  =/=  0
)
6036, 58, 59divrec2d 10389 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( ( 1  /  (
k ^ -u 2
) )  x.  (
( pi  /  N
) ^ 2 ) ) )
612recni 9657 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  pi  e.  CC )
638nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  CC )
648nnne0d 10656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
6563, 64jca 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
6665adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
67 divass 10290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  =  ( k  x.  ( pi  /  N ) ) )
6850, 62, 66, 67syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  =  ( k  x.  ( pi 
/  N ) ) )
6968oveq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  =  ( ( k  x.  (
pi  /  N )
) ^ 2 ) )
7034adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( pi  /  N )  e.  CC )
7150, 70sqmuld 12429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  ( pi  /  N ) ) ^
2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
7269, 71eqtrd 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
7353, 60, 723eqtr4d 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( ( ( k  x.  pi )  /  N
) ^ 2 ) )
74 elioore 11668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( (
k  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
7513, 74syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
7675resqcld 12443 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  e.  RR )
77 tangtx 23452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( (
k  x.  pi )  /  N )  < 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
7813, 77syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  <  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
79 eliooord 11696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( ( k  x.  pi )  /  N )  /\  (
( k  x.  pi )  /  N )  < 
( pi  /  2
) ) )
8013, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  /\  ( (
k  x.  pi )  /  N )  < 
( pi  /  2
) ) )
8180simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  (
( k  x.  pi )  /  N ) )
8275, 81elrpd 11340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
8382rpge0d 11347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  (
( k  x.  pi )  /  N ) )
8415rpge0d 11347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
8575, 16, 83, 84lt2sqd 12451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  < 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^ 2 )  <  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
8678, 85mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  <  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8776, 39, 86ltled 9785 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  <_  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8873, 87eqbrtrd 4442 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  <_  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8912, 46, 38, 88lediv23d 11406 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( k ^ -u 2 ) )
9043, 89eqbrtrd 4442 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  <_  ( k ^ -u 2 ) )
911, 23, 28, 90fsumle 13852 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 ) )
92 oveq2 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
9392oveq1d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
9493, 3syl6eqr 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N )
9594oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  /  N ) )
9695oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )
9796oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  N ) ) ) )
9895oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) )
9998oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )
10097, 99oveq12d 6321 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  (
-u 2  x.  (
1  /  N ) ) ) ) )
101 basel.j . . . . . 6  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
102 nnex 10617 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
103102a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  NN  e.  _V )
104 ovex 6331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
105104a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V )
106 ovex 6331 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
107106a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V )
108 basel.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
1092resqcli 12361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi
^ 2 )  e.  RR
110 6re 10692 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR
111 6nn 10773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
112111nnne0i 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
113109, 110, 112redivcli 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR )
115 ovex 6331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e. 
_V
116115a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
117 fconstmpt 4895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi ^
2 )  /  6
) ) )
119 1zzd 10970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
120 ovex 6331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e. 
_V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  _V )
122 fconstmpt 4895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 ) )
124 basel.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
125124a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  G  =  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
126103, 119, 121, 123, 125offval2 6560 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
127103, 114, 116, 118, 126offval2 6560 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
128108, 127syl5eq 2476 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  H  =  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
129 ovex 6331 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
130129a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
13147negcli 9944 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 2  e.  CC
132131a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
133 fconstmpt 4895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
X.  { -u 2 } )  =  ( n  e.  NN  |->  -u
2 )
134133a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } )  =  ( n  e.  NN  |->  -u 2 ) )
135103, 132, 121, 134, 125offval2 6560 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
136103, 119, 130, 123, 135offval2 6560 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
137103, 105, 107, 128, 136offval2 6560 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) ) )
138137trud 1447 . . . . . 6  |-  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
139101, 138eqtri 2452 . . . . 5  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
140 ovex 6331 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  e.  _V
141100, 139, 140fvmpt 5962 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  (
-u 2  x.  (
1  /  N ) ) ) ) )
142113recni 9657 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC
143142a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC )
1446nncnd 10627 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
145144, 63, 64divcld 10385 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  /  N )  e.  CC )
146 ax-1cn 9599 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
147 subcl 9876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  CC )
148144, 146, 147sylancl 667 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  CC )
149148, 63, 64divcld 10385 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N )  e.  CC )
150143, 145, 149mulassd 9668 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( 2  x.  M
)  /  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) ) )
151 1cnd 9661 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  CC )
15263, 151, 63, 64divsubdird 10424 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  -  ( 1  /  N
) ) )
1533oveq1i 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )
154 pncan 9883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
155144, 146, 154sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
156153, 155syl5eq 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
157156oveq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  =  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )
15863, 64dividd 10383 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
159158oveq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  -  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )
160152, 157, 1593eqtr3rd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  N ) )  =  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )
161160oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N
) ) )
162131a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  -u 2  e.  CC )
16363, 162, 63, 64divdird 10423 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  -u
2 )  /  N
)  =  ( ( N  /  N )  +  ( -u 2  /  N ) ) )
164 negsub 9924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( N  +  -u
2 )  =  ( N  -  2 ) )
16563, 47, 164sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  -u 2 )  =  ( N  - 
2 ) )
166 df-2 10670 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1673, 166oveq12i 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  -  2 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  (
1  +  1 ) )
168144, 151, 151pnpcan2d 10026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
169167, 168syl5eq 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  2 )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
170165, 169eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  -u 2 )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
171170oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  -u
2 )  /  N
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )
172162, 63, 64divrecd 10388 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 2  /  N )  =  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) )
173158, 172oveq12d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( -u
2  /  N ) )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )
174163, 171, 1733eqtr3rd 2473 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )
175161, 174oveq12d 6321 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  /  N
) ) )
1768nnsqcld 12437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
177176nncnd 10627 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
178 6cn 10693 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
179 mulcom 9627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  6  e.  CC )  ->  ( ( N ^
2 )  x.  6 )  =  ( 6  x.  ( N ^
2 ) ) )
180177, 178, 179sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  x.  6 )  =  ( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) )
181180oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  x.  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  /  ( ( N ^ 2 )  x.  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
182109recni 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi
^ 2 )  e.  CC
183182a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi ^ 2 )  e.  CC )
184144, 148mulcld 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
185176nnne0d 10656 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =/=  0 )
186177, 185jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) )
187178, 112pm3.2i 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )
188187a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) )
189 divmuldiv 10309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 )  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
190183, 184, 186, 188, 189syl22anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
191 divmuldiv 10309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
192183, 184, 188, 186, 191syl22anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
193181, 190, 1923eqtr4d 2474 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
19461a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
195194, 63, 64sqdivd 12430 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  =  ( ( pi
^ 2 )  / 
( N ^ 2 ) ) )
196195oveq1d 6318 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  ( N ^
2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
) ) )
197144, 63, 148, 63, 64, 64divmuldivd 10426 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
19863sqvald 12414 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
199198oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
200197, 199eqtr4d 2467 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
201200oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
202193, 196, 2013eqtr4d 2474 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) ) )
203150, 175, 2023eqtr4d 2474 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
) ) )
204 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( x ^
j ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( x ^ j
) ) )
205 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
2063, 204, 205basellem5 24003 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
207206oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) ) )
208203, 207eqtr4d 2467 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
20922recnd 9671 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
2101, 35, 209fsummulc2 13838 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
211141, 208, 2103eqtrd 2468 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  x.  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
212 oveq1 6310 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n ^ -u 2
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
213 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )
214 ovex 6331 . . . . . . 7  |-  ( k ^ -u 2 )  e.  _V
215212, 213, 214fvmpt 5962 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
21625, 215syl 17 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) `  k )  =  ( k ^ -u 2 ) )
217 id 23 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN )
218 nnuz 11196 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
219217, 218syl6eleq 2521 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
220216, 219, 58fsumser 13789 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) `
 M ) )
221 basel.f . . . . 5  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
222221fveq1i 5880 . . . 4  |-  ( F `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) `  M
)
223220, 222syl6reqr 2483 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( F `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2
) )
22491, 211, 2233brtr4d 4452 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  <_  ( F `  M
) )
22575resincld 14190 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
226 sincosq1sgn 23445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
22713, 226syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
228227simpld 461 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
229228gt0ne0d 10180 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
230225, 229, 21reexpclzd 12442 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
23112, 230remulcld 9673 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  e.  RR )
232 sinltx 14236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR+  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
23382, 232syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
234225, 75, 233ltled 9785 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <_  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
235 0re 9645 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
236 ltle 9724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  -> 
0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ) )
237235, 225, 236sylancr 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
238228, 237mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
239225, 75, 238, 83le2sqd 12452 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <_  (
( k  x.  pi )  /  N )  <->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^
2 )  <_  (
( ( k  x.  pi )  /  N
) ^ 2 ) ) )
240234, 239mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 ) )
241240, 73breqtrrd 4448 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( k ^ -u 2 ) ) )
242225resqcld 12443 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR )
243242, 12, 46lemuldiv2d 11390 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k ^ -u 2
)  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  <->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^
2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  /  ( k ^ -u 2 ) ) ) )
244225, 228elrpd 11340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
245 rpexpcl 12292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
246244, 18, 245sylancl 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
24728, 12, 246lemuldivd 11389 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k ^ -u 2
)  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  <->  ( k ^ -u 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
248243, 247bitr3d 259 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
k ^ -u 2
) )  <->  ( k ^ -u 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
249241, 248mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
250225recnd 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
251 expneg 12281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
252250, 30, 251sylancl 667 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
253252oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
254242recnd 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
255246rpne0d 11348 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
25636, 254, 255divrecd 10388 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
257253, 256eqtr4d 2467 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
258249, 257breqtrrd 4448 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
2591, 28, 231, 258fsumle 13852 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
26095oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
26197, 260oveq12d 6321 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
262 basel.k . . . . . 6  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
263 ovex 6331 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e. 
_V
264263a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
265103, 119, 121, 123, 125offval2 6560 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
266103, 105, 264, 128, 265offval2 6560 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
267266trud 1447 . . . . . 6  |-  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
268262, 267eqtri 2452 . . . . 5  |-  K  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
269 ovex 6331 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )  e. 
_V
270261, 268, 269fvmpt 5962 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( K `  M )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
271 peano2cn 9807 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
27263, 271syl 17 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
273272, 63, 64divcld 10385 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
274143, 145, 273mulassd 9668 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( 2  x.  M
)  /  N ) )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
27563, 151, 63, 64divdird 10423 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
276158oveq1d 6318 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
277275, 276eqtr2d 2465 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
278161, 277oveq12d 6321 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
279180oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  x.  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ 2 )  x.  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
280144, 272mulcld 9665 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
281 divmuldiv 10309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 )  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
282183, 280, 186, 188, 281syl22anc 1266 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
283 divmuldiv 10309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
284183, 280, 188, 186, 283syl22anc 1266 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
285279, 282, 2843eqtr4d 2474 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
28675recoscld 14191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
287286recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
288287sqcld 12415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
289254, 288, 254, 255divdird 10423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
29075recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  CC )
291 sincossq 14223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  CC  ->  ( (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
292290, 291syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
293292oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
294254, 255dividd 10383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
295227simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
296295gt0ne0d 10180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
297 tanval 14175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  /  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
298290, 296, 297syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  /  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
299298oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) ^ 2 ) )
300250, 287, 296sqdivd 12430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  /  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
301299, 300eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
302301oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
303 sqne0 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  ->  (
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 ) )
304287, 303syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 ) )
305296, 304mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
306254, 288, 255, 305recdivd 10402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
30732, 302, 3063eqtrrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
308294, 307oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) ) )
309289, 293, 3083eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
310 addcom 9821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
311146, 209, 310sylancr 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
312252, 309, 3113eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
313312sumeq2dv 13762 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
314 1cnd 9661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  1  e.  CC )
3151, 209, 314fsumadd 13798 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1 ) )
316 fsumconst 13844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  1 ) )
3171, 146, 316sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) 1  =  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  1 ) )
318 nnnn0 10878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
319 hashfz1 12530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
320318, 319syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
321320oveq1d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  x.  1 )  =  ( M  x.  1 ) )
322 nncn 10619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
323322mulid1d 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
324317, 321, 3233eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) 1  =  M )
325206, 324oveq12d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
)  +  M ) )
326313, 315, 3253eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
327 3cn 10686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  3  e.  CC )
329144, 148, 328adddid 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  +  3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( ( 2  x.  M )  x.  3 ) ) )
330 df-3 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =  ( 2  +  1 )
331330oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  -  1 )  =  ( ( 2  +  1 )  -  1 )
33247, 146pncan3oi 9893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2
333331, 332, 1663eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
334333oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  M )  +  ( 3  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) )
335144, 151, 328subadd23d 10010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 3  -  1 ) ) )
336144, 151, 151addassd 9667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) ) )
337334, 335, 3363eqtr4a 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 ) )
3383oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )
339337, 338syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( N  + 
1 ) )
340339oveq2d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  +  3 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )
341 2cnd 10684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  2  e.  CC )
342341, 322, 328mul32d 9845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  3 )  =  ( ( 2  x.  3 )  x.  M ) )
343 3t2e6 10763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
344327, 47mulcomi 9651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  2 )  =  ( 2  x.  3 )
345343, 344eqtr3i 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  =  ( 2  x.  3 )
346345oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 6  x.  M )  =  ( ( 2  x.  3 )  x.  M
)
347342, 346syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  3 )  =  ( 6  x.  M ) )
348347oveq2d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  ( ( 2  x.  M )  x.  3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( 6  x.  M
) ) )
349329, 340, 3483eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( 6  x.  M
) ) )
350349oveq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  +  ( 6  x.  M ) )  / 
6 ) )
351 mulcl 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 6  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 6  x.  M
)  e.  CC )
352178, 322, 351sylancr 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  x.  M )  e.  CC )
353178a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  6  e.  CC )
354112a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  6  =/=  0 )
355184, 352, 353, 354divdird 10423 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  +  ( 6  x.  M ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  ( ( 6  x.  M )  /  6
) ) )
356322, 353, 354divcan3d 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 6  x.  M
)  /  6 )  =  M )
357356oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
)  +  ( ( 6  x.  M )  /  6 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
358350, 355, 3573eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
359326, 358eqtr4d 2467 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 ) )
360195, 359oveq12d 6321 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) ) )
361144, 63, 272, 63, 64, 64divmuldivd 10426 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
362198oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
363361, 362eqtr4d 2467 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
364363oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
365285, 360, 3643eqtr4d 2474 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
366274, 278, 3653eqtr4d 2474 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
367230recnd 9671 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
3681, 35, 367fsummulc2 13838 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
369270, 366, 3683eqtrd 2468 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( K `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  x.  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
370259, 223, 3693brtr4d 4452 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) )
371224, 370jca 535 1  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( J `  M
)  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438   T. wtru 1439    e. wcel 1869    =/= wne 2619   _Vcvv 3082   {csn 3997   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480    X. cxp 4849   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    oFcof 6541   Fincfn 7575   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862   -ucneg 9863    / cdiv 10271   NNcn 10611   2c2 10661   3c3 10662   6c6 10665   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   RR+crp 11304   (,)cioo 11637   ...cfz 11786    seqcseq 12214   ^cexp 12273    _C cbc 12488   #chash 12516   sum_csu 13745   sincsin 14109   cosccos 14110   tanctan 14111   picpi 14112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-0p 22620  df-limc 22813  df-dv 22814  df-ply 23134  df-idp 23135  df-coe 23136  df-dgr 23137  df-quot 23236
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