MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem8 Structured version   Unicode version

Theorem basellem8 22541
Description: Lemma for basel 22543. The function  F of partial sums of the inverse squares is bounded below by  J and above by  K, obtained by summing the inequality 
cot ^ 2 x  <_ 
1  /  x ^
2  <_  csc ^ 2 x  =  cot ^
2 x  +  1 over the  M roots of the polynomial  P, and applying the identity basellem5 22538. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basel.f  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
basel.j  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
basel.k  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
basellem8.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
basellem8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( J `  M
)  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) ) )
Distinct variable groups:    n, F    n, M    n, J    n, N
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    K( n)

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables  k  x  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11896 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
2 pire 22037 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
3 basellem8.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
4 2nn 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
5 nnmulcl 10446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
64, 5mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
76peano2nnd 10440 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
83, 7syl5eqel 2543 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
9 nndivre 10458 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( pi  /  N
)  e.  RR )
102, 8, 9sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi  /  N )  e.  RR )
1110resqcld 12135 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  e.  RR )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  e.  RR )
133basellem1 22534 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
14 tanrpcl 22082 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
1615rpred 11128 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
1715rpne0d 11133 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
18 2z 10779 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
19 znegcl 10781 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  ZZ
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  -u 2  e.  ZZ )
2216, 17, 21reexpclzd 12134 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
2312, 22remulcld 9515 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  e.  RR )
24 elfznn 11579 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
2524adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  NN )
2625nnred 10438 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  RR )
2725nnne0d 10467 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  =/=  0
)
2826, 27, 21reexpclzd 12134 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  RR )
2916recnd 9513 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
30 2nn0 10697 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
31 expneg 11974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 6206 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
3410recnd 9513 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi  /  N )  e.  CC )
3534sqcld 12107 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  e.  CC )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  e.  CC )
37 rpexpcl 11985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3815, 18, 37sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3938rpred 11128 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR )
4039recnd 9513 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
4138rpne0d 11133 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
4236, 40, 41divrecd 10211 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
4333, 42eqtr4d 2495 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
4425nnrpd 11127 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  RR+ )
45 rpexpcl 11985 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  RR+ )
4644, 20, 45sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  RR+ )
47 2cn 10493 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4847negnegi 9779 . . . . . . . . . . 11  |-  -u -u 2  =  2
4948oveq2i 6201 . . . . . . . . . 10  |-  ( k ^ -u -u 2
)  =  ( k ^ 2 )
5025nncnd 10439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  CC )
5150, 27, 21expnegd 12116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u -u 2 )  =  ( 1  /  (
k ^ -u 2
) ) )
5249, 51syl5reqr 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( k ^ 2 ) )
5352oveq1d 6205 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( 1  /  ( k ^ -u 2 ) )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
54 nncn 10431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
55 nnne0 10455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
5620a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  -u 2  e.  ZZ )
5754, 55, 56expclzd 12114 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  CC )
5825, 57syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  CC )
5950, 27, 21expne0d 12115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  =/=  0
)
6036, 58, 59divrec2d 10212 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( ( 1  /  (
k ^ -u 2
) )  x.  (
( pi  /  N
) ^ 2 ) ) )
612recni 9499 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  pi  e.  CC )
638nncnd 10439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  CC )
648nnne0d 10467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
6563, 64jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
67 divass 10113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  =  ( k  x.  ( pi  /  N ) ) )
6850, 62, 66, 67syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  =  ( k  x.  ( pi 
/  N ) ) )
6968oveq1d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  =  ( ( k  x.  (
pi  /  N )
) ^ 2 ) )
7034adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( pi  /  N )  e.  CC )
7150, 70sqmuld 12121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  ( pi  /  N ) ) ^
2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
7269, 71eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
7353, 60, 723eqtr4d 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( ( ( k  x.  pi )  /  N
) ^ 2 ) )
74 elioore 11431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( (
k  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
7513, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
7675resqcld 12135 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  e.  RR )
77 tangtx 22083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( (
k  x.  pi )  /  N )  < 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
7813, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  <  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
79 eliooord 11456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( ( k  x.  pi )  /  N )  /\  (
( k  x.  pi )  /  N )  < 
( pi  /  2
) ) )
8013, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  /\  ( (
k  x.  pi )  /  N )  < 
( pi  /  2
) ) )
8180simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  (
( k  x.  pi )  /  N ) )
8275, 81elrpd 11126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
8382rpge0d 11132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  (
( k  x.  pi )  /  N ) )
8415rpge0d 11132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
8575, 16, 83, 84lt2sqd 12143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  < 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^ 2 )  <  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
8678, 85mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  <  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8776, 39, 86ltled 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  <_  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8873, 87eqbrtrd 4410 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  <_  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8912, 46, 38, 88lediv23d 11185 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( k ^ -u 2 ) )
9043, 89eqbrtrd 4410 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  <_  ( k ^ -u 2 ) )
911, 23, 28, 90fsumle 13364 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 ) )
92 oveq2 6198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
9392oveq1d 6205 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
9493, 3syl6eqr 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N )
9594oveq2d 6206 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  /  N ) )
9695oveq2d 6206 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )
9796oveq2d 6206 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  N ) ) ) )
9895oveq2d 6206 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) )
9998oveq2d 6206 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )
10097, 99oveq12d 6208 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  (
-u 2  x.  (
1  /  N ) ) ) ) )
101 basel.j . . . . . 6  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
102 nnex 10429 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
103102a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  NN  e.  _V )
104 ovex 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
105104a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V )
106 ovex 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
107106a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V )
108 basel.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
1092resqcli 12052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi
^ 2 )  e.  RR
110 6re 10503 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR
111 6nn 10584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
112111nnne0i 10457 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
113109, 110, 112redivcli 10199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR )
115 ovex 6215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e. 
_V
116115a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
117 fconstmpt 4980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi ^
2 )  /  6
) ) )
119 1zzd 10778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
120 ovex 6215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e. 
_V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  _V )
122 fconstmpt 4980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 ) )
124 basel.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
125124a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  G  =  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
126103, 119, 121, 123, 125offval2 6436 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
127103, 114, 116, 118, 126offval2 6436 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
128108, 127syl5eq 2504 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  H  =  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
129 ovex 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
130129a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
13147negcli 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 2  e.  CC
132131a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
133 fconstmpt 4980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
X.  { -u 2 } )  =  ( n  e.  NN  |->  -u
2 )
134133a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } )  =  ( n  e.  NN  |->  -u 2 ) )
135103, 132, 121, 134, 125offval2 6436 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
136103, 119, 130, 123, 135offval2 6436 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
137103, 105, 107, 128, 136offval2 6436 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) ) )
138137trud 1379 . . . . . 6  |-  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
139101, 138eqtri 2480 . . . . 5  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
140 ovex 6215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  e.  _V
141100, 139, 140fvmpt 5873 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  (
-u 2  x.  (
1  /  N ) ) ) ) )
142113recni 9499 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC
143142a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC )
1446nncnd 10439 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
145144, 63, 64divcld 10208 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  /  N )  e.  CC )
146 ax-1cn 9441 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
147 subcl 9710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  CC )
148144, 146, 147sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  CC )
149148, 63, 64divcld 10208 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N )  e.  CC )
150143, 145, 149mulassd 9510 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( 2  x.  M
)  /  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) ) )
151 1cnd 9503 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  CC )
15263, 151, 63, 64divsubdird 10247 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  -  ( 1  /  N
) ) )
1533oveq1i 6200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )
154 pncan 9717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
155144, 146, 154sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
156153, 155syl5eq 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
157156oveq1d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  =  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )
15863, 64dividd 10206 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
159158oveq1d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  -  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )
160152, 157, 1593eqtr3rd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  N ) )  =  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )
161160oveq2d 6206 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N
) ) )
162131a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  -u 2  e.  CC )
16363, 162, 63, 64divdird 10246 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  -u
2 )  /  N
)  =  ( ( N  /  N )  +  ( -u 2  /  N ) ) )
164 negsub 9758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( N  +  -u
2 )  =  ( N  -  2 ) )
16563, 47, 164sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  -u 2 )  =  ( N  - 
2 ) )
166 df-2 10481 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1673, 166oveq12i 6202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  -  2 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  (
1  +  1 ) )
168144, 151, 151pnpcan2d 9858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
169167, 168syl5eq 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  2 )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
170165, 169eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  -u 2 )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
171170oveq1d 6205 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  -u
2 )  /  N
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )
172162, 63, 64divrecd 10211 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 2  /  N )  =  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) )
173158, 172oveq12d 6208 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( -u
2  /  N ) )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )
174163, 171, 1733eqtr3rd 2501 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )
175161, 174oveq12d 6208 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  /  N
) ) )
1768nnsqcld 12129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
177176nncnd 10439 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
178 6cn 10504 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
179 mulcom 9469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  6  e.  CC )  ->  ( ( N ^
2 )  x.  6 )  =  ( 6  x.  ( N ^
2 ) ) )
180177, 178, 179sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  x.  6 )  =  ( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) )
181180oveq2d 6206 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  x.  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  /  ( ( N ^ 2 )  x.  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
182109recni 9499 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi
^ 2 )  e.  CC
183182a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi ^ 2 )  e.  CC )
184144, 148mulcld 9507 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
185176nnne0d 10467 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =/=  0 )
186177, 185jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) )
187178, 112pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )
188187a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) )
189 divmuldiv 10132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 )  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
190183, 184, 186, 188, 189syl22anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
191 divmuldiv 10132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
192183, 184, 188, 186, 191syl22anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
193181, 190, 1923eqtr4d 2502 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
19461a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
195194, 63, 64sqdivd 12122 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  =  ( ( pi
^ 2 )  / 
( N ^ 2 ) ) )
196195oveq1d 6205 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  ( N ^
2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
) ) )
197144, 63, 148, 63, 64, 64divmuldivd 10249 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
19863sqvald 12106 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
199198oveq2d 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
200197, 199eqtr4d 2495 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
201200oveq2d 6206 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
202193, 196, 2013eqtr4d 2502 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) ) )
203150, 175, 2023eqtr4d 2502 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
) ) )
204 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( x ^
j ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( x ^ j
) ) )
205 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
2063, 204, 205basellem5 22538 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
207206oveq2d 6206 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) ) )
208203, 207eqtr4d 2495 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
20922recnd 9513 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
2101, 35, 209fsummulc2 13353 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
211141, 208, 2103eqtrd 2496 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  x.  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
212 oveq1 6197 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n ^ -u 2
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
213 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )
214 ovex 6215 . . . . . . 7  |-  ( k ^ -u 2 )  e.  _V
215212, 213, 214fvmpt 5873 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
21625, 215syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) `  k )  =  ( k ^ -u 2 ) )
217 id 22 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN )
218 nnuz 10997 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
219217, 218syl6eleq 2549 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
220216, 219, 58fsumser 13309 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) `
 M ) )
221 basel.f . . . . 5  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
222221fveq1i 5790 . . . 4  |-  ( F `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) `  M
)
223220, 222syl6reqr 2511 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( F `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2
) )
22491, 211, 2233brtr4d 4420 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  <_  ( F `  M
) )
22575resincld 13529 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
226 sincosq1sgn 22076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
22713, 226syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
228227simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
229228gt0ne0d 10005 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
230225, 229, 21reexpclzd 12134 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
23112, 230remulcld 9515 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  e.  RR )
232 sinltx 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR+  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
23382, 232syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
234225, 75, 233ltled 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <_  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
235 0re 9487 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
236 ltle 9564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  -> 
0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ) )
237235, 225, 236sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
238228, 237mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
239225, 75, 238, 83le2sqd 12144 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <_  (
( k  x.  pi )  /  N )  <->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^
2 )  <_  (
( ( k  x.  pi )  /  N
) ^ 2 ) ) )
240234, 239mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 ) )
241240, 73breqtrrd 4416 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( k ^ -u 2 ) ) )
242225resqcld 12135 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR )
243242, 12, 46lemuldiv2d 11174 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k ^ -u 2
)  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  <->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^
2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  /  ( k ^ -u 2 ) ) ) )
244225, 228elrpd 11126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
245 rpexpcl 11985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
246244, 18, 245sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
24728, 12, 246lemuldivd 11173 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k ^ -u 2
)  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  <->  ( k ^ -u 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
248243, 247bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
k ^ -u 2
) )  <->  ( k ^ -u 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
249241, 248mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
250225recnd 9513 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
251 expneg 11974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
252250, 30, 251sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
253252oveq2d 6206 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
254242recnd 9513 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
255246rpne0d 11133 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
25636, 254, 255divrecd 10211 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
257253, 256eqtr4d 2495 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
258249, 257breqtrrd 4416 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
2591, 28, 231, 258fsumle 13364 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
26095oveq2d 6206 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
26197, 260oveq12d 6208 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
262 basel.k . . . . . 6  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
263 ovex 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e. 
_V
264263a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
265103, 119, 121, 123, 125offval2 6436 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
266103, 105, 264, 128, 265offval2 6436 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
267266trud 1379 . . . . . 6  |-  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
268262, 267eqtri 2480 . . . . 5  |-  K  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
269 ovex 6215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )  e. 
_V
270261, 268, 269fvmpt 5873 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( K `  M )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
271 peano2cn 9642 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
27263, 271syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
273272, 63, 64divcld 10208 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
274143, 145, 273mulassd 9510 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( 2  x.  M
)  /  N ) )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
27563, 151, 63, 64divdird 10246 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
276158oveq1d 6205 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
277275, 276eqtr2d 2493 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
278161, 277oveq12d 6208 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
279180oveq2d 6206 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  x.  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ 2 )  x.  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
280144, 272mulcld 9507 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
281 divmuldiv 10132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 )  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
282183, 280, 186, 188, 281syl22anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
283 divmuldiv 10132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
284183, 280, 188, 186, 283syl22anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
285279, 282, 2843eqtr4d 2502 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
28675recoscld 13530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
287286recnd 9513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
288287sqcld 12107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
289254, 288, 254, 255divdird 10246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
29075recnd 9513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  CC )
291 sincossq 13562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  CC  ->  ( (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
292290, 291syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
293292oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
294254, 255dividd 10206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
295227simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
296295gt0ne0d 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
297 tanval 13514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  /  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
298290, 296, 297syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  /  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
299298oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) ^ 2 ) )
300250, 287, 296sqdivd 12122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  /  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
301299, 300eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
302301oveq2d 6206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
303 sqne0 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  ->  (
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 ) )
304287, 303syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 ) )
305296, 304mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
306254, 288, 255, 305recdivd 10225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
30732, 302, 3063eqtrrd 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
308294, 307oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) ) )
309289, 293, 3083eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
310 addcom 9656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
311146, 209, 310sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
312252, 309, 3113eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
313312sumeq2dv 13282 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
314 1cnd 9503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  1  e.  CC )
3151, 209, 314fsumadd 13317 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1 ) )
316 fsumconst 13359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  1 ) )
3171, 146, 316sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) 1  =  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  1 ) )
318 nnnn0 10687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
319 hashfz1 12218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
320318, 319syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
321320oveq1d 6205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  x.  1 )  =  ( M  x.  1 ) )
322 nncn 10431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
323322mulid1d 9504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
324317, 321, 3233eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) 1  =  M )
325206, 324oveq12d 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
)  +  M ) )
326313, 315, 3253eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
327 3cn 10497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  3  e.  CC )
329144, 148, 328adddid 9511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  +  3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( ( 2  x.  M )  x.  3 ) ) )
330 df-3 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =  ( 2  +  1 )
331330oveq1i 6200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  -  1 )  =  ( ( 2  +  1 )  -  1 )
332 pncan 9717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2 )
33347, 146, 332mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2
334331, 333, 1663eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
335334oveq2i 6201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  M )  +  ( 3  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) )
336144, 151, 328subadd23d 9842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 3  -  1 ) ) )
337144, 151, 151addassd 9509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) ) )
338335, 336, 3373eqtr4a 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 ) )
3393oveq1i 6200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )
340338, 339syl6eqr 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( N  + 
1 ) )
341340oveq2d 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  +  3 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )
34247a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  2  e.  CC )
343342, 322, 328mul32d 9680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  3 )  =  ( ( 2  x.  3 )  x.  M ) )
344 3t2e6 10574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
345327, 47mulcomi 9493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  2 )  =  ( 2  x.  3 )
346344, 345eqtr3i 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  =  ( 2  x.  3 )
347346oveq1i 6200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 6  x.  M )  =  ( ( 2  x.  3 )  x.  M
)
348343, 347syl6eqr 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  3 )  =  ( 6  x.  M ) )
349348oveq2d 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  ( ( 2  x.  M )  x.  3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( 6  x.  M
) ) )
350329, 341, 3493eqtr3d 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( 6  x.  M
) ) )
351350oveq1d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  +  ( 6  x.  M ) )  / 
6 ) )
352 mulcl 9467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 6  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 6  x.  M
)  e.  CC )
353178, 322, 352sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  x.  M )  e.  CC )
354178a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  6  e.  CC )
355112a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  6  =/=  0 )
356184, 353, 354, 355divdird 10246 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  +  ( 6  x.  M ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  ( ( 6  x.  M )  /  6
) ) )
357322, 354, 355divcan3d 10213 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 6  x.  M
)  /  6 )  =  M )
358357oveq2d 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
)  +  ( ( 6  x.  M )  /  6 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
359351, 356, 3583eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
360326, 359eqtr4d 2495 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 ) )
361195, 360oveq12d 6208 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) ) )
362144, 63, 272, 63, 64, 64divmuldivd 10249 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
363198oveq2d 6206 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
364362, 363eqtr4d 2495 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
365364oveq2d 6206 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
366285, 361, 3653eqtr4d 2502 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
367274, 278, 3663eqtr4d 2502 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
368230recnd 9513 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
3691, 35, 368fsummulc2 13353 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
370270, 367, 3693eqtrd 2496 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( K `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  x.  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
371259, 223, 3703brtr4d 4420 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) )
372224, 371jca 532 1  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( J `  M
)  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2644   _Vcvv 3068   {csn 3975   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448    X. cxp 4936   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    oFcof 6418   Fincfn 7410   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    x. cmul 9388    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696   -ucneg 9697    / cdiv 10094   NNcn 10423   2c2 10472   3c3 10473   6c6 10476   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   ZZ>=cuz 10962   RR+crp 11092   (,)cioo 11401   ...cfz 11538    seqcseq 11907   ^cexp 11966    _C cbc 12179   #chash 12204   sum_csu 13265   sincsin 13451   cosccos 13452   tanctan 13453   picpi 13454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-sin 13457  df-cos 13458  df-tan 13459  df-pi 13460  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-0p 21264  df-limc 21457  df-dv 21458  df-ply 21772  df-idp 21773  df-coe 21774  df-dgr 21775  df-quot 21873
This theorem is referenced by:  basellem9  22542
  Copyright terms: Public domain W3C validator