Theorem basellem8 23634

Description: Lemma for basel 23636. The function F of partial sums of the inverse squares is bounded below by J and above by K, obtained by summing the inequality cot ^ 2 x <_ 1 / x ^ 2 <_ csc ^ 2 x = cot ^ 2 x + 1 over the M roots of the polynomial P, and applying the identity basellem5 23631. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	|- G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
basel.f	|- F = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h	|- H = ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) )
basel.j	|- J = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) )
basel.k	|- K = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) )
basellem8.n	|- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
basellem8	|- ( M e. NN -> ( ( J ` M ) <_ ( F ` M ) /\ ( F ` M ) <_ ( K ` M ) ) )

Distinct variable groups:   n, F   n, M   n, J   n, N

Allowed substitution hints:   G( n)   H( n)   K( n)

Proof of Theorem basellem8

Dummy variables k x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12037	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) e. Fin )
2		pire 23035	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
3		basellem8.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
4		2nn 10654	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
5		nnmulcl 10519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
6	4, 5	mpan 668	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN )
7	6	peano2nnd 10513	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. NN )
8	3, 7	syl5eqel 2494	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> N e. NN )
9		nndivre 10532	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. RR /\ N e. NN ) -> ( pi / N ) e. RR )
10	2, 8, 9	sylancr 661	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( pi / N ) e. RR )
11	10	resqcld 12290	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. RR )
12	11	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. RR )
13	3	basellem1 23627	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
14		tanrpcl 23081	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
16	15	rpred 11222	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
17	15	rpne0d 11227	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
18		2z 10857	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
19		znegcl 10860	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -u 2 e. ZZ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> -u 2 e. ZZ )
22	16, 17, 21	reexpclzd 12289	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
23	12, 22	remulcld 9574	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) e. RR )
24		elfznn 11685	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
25	24	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. NN )
26	25	nnred 10511	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. RR )
27	25	nnne0d 10541	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k =/= 0 )
28	26, 27, 21	reexpclzd 12289	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR )
29	16	recnd 9572	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
30		2nn0 10773	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
31		expneg 12128	. . . . . . . 8 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
32	29, 30, 31	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
33	32	oveq2d 6250	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
34	10	recnd 9572	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( pi / N ) e. CC )
35	34	sqcld 12262	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. CC )
36	35	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. CC )
37		rpexpcl 12139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
38	15, 18, 37	sylancl 660	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
39	38	rpred 11222	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR )
40	39	recnd 9572	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
41	38	rpne0d 11227	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
42	36, 40, 41	divrecd 10284	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
43	33, 42	eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
44	25	nnrpd 11220	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. RR+ )
45		rpexpcl 12139	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR+ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR+ )
46	44, 20, 45	sylancl 660	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR+ )
47		2cn 10567	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
48	47	negnegi 9845	. . . . . . . . . . 11 |- -u -u 2 = 2
49	48	oveq2i 6245	. . . . . . . . . 10 |- ( k ^ -u -u 2 ) = ( k ^ 2 )
50	25	nncnd 10512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. CC )
51	50, 27, 21	expnegd 12271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u -u 2 ) = ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) )
52	49, 51	syl5reqr 2458	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) = ( k ^ 2 ) )
53	52	oveq1d 6249	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
54		nncn 10504	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. CC )
55		nnne0 10529	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
56	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> -u 2 e. ZZ )
57	54, 55, 56	expclzd 12269	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( k ^ -u 2 ) e. CC )
58	25, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. CC )
59	50, 27, 21	expne0d 12270	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) =/= 0 )
60	36, 58, 59	divrec2d 10285	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) = ( ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
61	2	recni 9558	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. CC
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> pi e. CC )
63	8	nncnd 10512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> N e. CC )
64	8	nnne0d 10541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> N =/= 0 )
65	63, 64	jca 530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
66	65	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
67		divass 10186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ pi e. CC /\ ( N e. CC /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) = ( k x. ( pi / N ) ) )
68	50, 62, 66, 67	syl3anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) = ( k x. ( pi / N ) ) )
69	68	oveq1d 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) = ( ( k x. ( pi / N ) ) ^ 2 ) )
70	34	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( pi / N ) e. CC )
71	50, 70	sqmuld 12276	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. ( pi / N ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
72	69, 71	eqtrd 2443	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
73	53, 60, 72	3eqtr4d 2453	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) = ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) )
74		elioore 11530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR )
75	13, 74	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR )
76	75	resqcld 12290	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) e. RR )
77		tangtx 23082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
78	13, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
79		eliooord 11555	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( ( k x. pi ) / N ) /\ ( ( k x. pi ) / N ) < ( pi / 2 ) ) )
80	13, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( ( k x. pi ) / N ) /\ ( ( k x. pi ) / N ) < ( pi / 2 ) ) )
81	80	simpld 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( ( k x. pi ) / N ) )
82	75, 81	elrpd 11219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR+ )
83	82	rpge0d 11226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( ( k x. pi ) / N ) )
84	15	rpge0d 11226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
85	75, 16, 83, 84	lt2sqd 12298	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <-> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
86	78, 85	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
87	76, 39, 86	ltled 9685	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) <_ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
88	73, 87	eqbrtrd 4414	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) <_ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
89	12, 46, 38, 88	lediv23d 11284	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( k ^ -u 2 ) )
90	43, 89	eqbrtrd 4414	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) <_ ( k ^ -u 2 ) )
91	1, 23, 28, 90	fsumle 13671	. . 3 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) )
92		oveq2 6242	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = M -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. M ) )
93	92	oveq1d 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. M ) + 1 ) )
94	93, 3	syl6eqr 2461	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N )
95	94	oveq2d 6250	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( 1 / N ) )
96	95	oveq2d 6250	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / N ) ) )
97	96	oveq2d 6250	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) )
98	95	oveq2d 6250	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) )
99	98	oveq2d 6250	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) )
100	97, 99	oveq12d 6252	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) )
101		basel.j	. . . . . 6 |- J = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) )
102		nnex 10502	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( T. -> NN e. _V )
104		ovex 6262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
105	104	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V )
106		ovex 6262	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V )
108		basel.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) )
109	2	resqcli 12208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi ^ 2 ) e. RR
110		6re 10577	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. RR
111		6nn 10658	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. NN
112	111	nnne0i 10531	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 =/= 0
113	109, 110, 112	redivcli 10272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. RR
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
115		ovex 6262	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
117		fconstmpt 4986	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) = ( n e. NN |-> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) )
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) = ( n e. NN |-> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) ) )
119		1zzd 10856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 1 e. ZZ )
120		ovex 6262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. _V
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. _V )
122		fconstmpt 4986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN X. { 1 } ) = ( n e. NN |-> 1 )
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( NN X. { 1 } ) = ( n e. NN |-> 1 ) )
124		basel.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
126	103, 119, 121, 123, 125	offval2 6494	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) = ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
127	103, 114, 116, 118, 126	offval2 6494	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
128	108, 127	syl5eq 2455	. . . . . . . 8 |- ( T. -> H = ( n e. NN |-> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
129		ovex 6262	. . . . . . . . . 10 |- ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V
130	129	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
131	47	negcli 9843	. . . . . . . . . . 11 |- -u 2 e. CC
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> -u 2 e. CC )
133		fconstmpt 4986	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN X. { -u 2 } ) = ( n e. NN |-> -u 2 )
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( NN X. { -u 2 } ) = ( n e. NN |-> -u 2 ) )
135	103, 132, 121, 134, 125	offval2 6494	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) = ( n e. NN |-> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
136	103, 119, 130, 123, 135	offval2 6494	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
137	103, 105, 107, 128, 136	offval2 6494	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) ) )
138	137	trud 1414	. . . . . 6 |- ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
139	101, 138	eqtri 2431	. . . . 5 |- J = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
140		ovex 6262	. . . . 5 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) e. _V
141	100, 139, 140	fvmpt 5888	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) )
142	113	recni 9558	. . . . . . . 8 |- ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. CC
143	142	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. CC )
144	6	nncnd 10512	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. CC )
145	144, 63, 64	divcld 10281	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) / N ) e. CC )
146		ax-1cn 9500	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
147		subcl 9775	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 x. M ) - 1 ) e. CC )
148	144, 146, 147	sylancl 660	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) - 1 ) e. CC )
149	148, 63, 64	divcld 10281	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) e. CC )
150	143, 145, 149	mulassd 9569	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) )
151		1cnd 9562	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 1 e. CC )
152	63, 151, 63, 64	divsubdird 10320	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) = ( ( N / N ) - ( 1 / N ) ) )
153	3	oveq1i 6244	. . . . . . . . . . 11 |- ( N - 1 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 )
154		pncan 9782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. M ) )
155	144, 146, 154	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. M ) )
156	153, 155	syl5eq 2455	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N - 1 ) = ( 2 x. M ) )
157	156	oveq1d 6249	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) = ( ( 2 x. M ) / N ) )
158	63, 64	dividd 10279	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N / N ) = 1 )
159	158	oveq1d 6249	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) - ( 1 / N ) ) = ( 1 - ( 1 / N ) ) )
160	152, 157, 159	3eqtr3rd 2452	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( 1 - ( 1 / N ) ) = ( ( 2 x. M ) / N ) )
161	160	oveq2d 6250	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) )
162	131	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> -u 2 e. CC )
163	63, 162, 63, 64	divdird 10319	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N + -u 2 ) / N ) = ( ( N / N ) + ( -u 2 / N ) ) )
164		negsub 9823	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( N + -u 2 ) = ( N - 2 ) )
165	63, 47, 164	sylancl 660	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N + -u 2 ) = ( N - 2 ) )
166		df-2 10555	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
167	3, 166	oveq12i 6246	. . . . . . . . . . 11 |- ( N - 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) )
168	144, 151, 151	pnpcan2d 9925	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
169	167, 168	syl5eq 2455	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N - 2 ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
170	165, 169	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( N + -u 2 ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
171	170	oveq1d 6249	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N + -u 2 ) / N ) = ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) )
172	162, 63, 64	divrecd 10284	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( -u 2 / N ) = ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) )
173	158, 172	oveq12d 6252	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) + ( -u 2 / N ) ) = ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) )
174	163, 171, 173	3eqtr3rd 2452	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) )
175	161, 174	oveq12d 6252	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) )
176	8	nnsqcld 12284	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
177	176	nncnd 10512	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) e. CC )
178		6cn 10578	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. CC
179		mulcom 9528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ 6 e. CC ) -> ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) = ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) )
180	177, 178, 179	sylancl 660	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) = ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) )
181	180	oveq2d 6250	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
182	109	recni 9558	. . . . . . . . . 10 |- ( pi ^ 2 ) e. CC
183	182	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( pi ^ 2 ) e. CC )
184	144, 148	mulcld 9566	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC )
185	176	nnne0d 10541	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) =/= 0 )
186	177, 185	jca 530	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) )
187	178, 112	pm3.2i 453	. . . . . . . . . 10 |- ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 )
188	187	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) )
189		divmuldiv 10205	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) /\ ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
190	183, 184, 186, 188, 189	syl22anc 1231	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
191		divmuldiv 10205	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) /\ ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
192	183, 184, 188, 186, 191	syl22anc 1231	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
193	181, 190, 192	3eqtr4d 2453	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
194	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> pi e. CC )
195	194, 63, 64	sqdivd 12277	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) = ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) )
196	195	oveq1d 6249	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
197	144, 63, 148, 63, 64, 64	divmuldivd 10322	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
198	63	sqvald 12261	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
199	198	oveq2d 6250	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
200	197, 199	eqtr4d 2446	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) )
201	200	oveq2d 6250	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
202	193, 196, 201	3eqtr4d 2453	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) )
203	150, 175, 202	3eqtr4d 2453	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
204		eqid 2402	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( x ^ j ) ) ) = ( x e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( x ^ j ) ) )
205		eqid 2402	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
206	3, 204, 205	basellem5 23631	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) )
207	206	oveq2d 6250	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
208	203, 207	eqtr4d 2446	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
209	22	recnd 9572	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
210	1, 35, 209	fsummulc2 13657	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
211	141, 208, 210	3eqtrd 2447	. . 3 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
212		oveq1 6241	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( n ^ -u 2 ) = ( k ^ -u 2 ) )
213		eqid 2402	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) = ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) )
214		ovex 6262	. . . . . . 7 |- ( k ^ -u 2 ) e. _V
215	212, 213, 214	fvmpt 5888	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ` k ) = ( k ^ -u 2 ) )
216	25, 215	syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ` k ) = ( k ^ -u 2 ) )
217		id 22	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. NN )
218		nnuz 11080	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
219	217, 218	syl6eleq 2500	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
220	216, 219, 58	fsumser 13608	. . . 4 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ) ` M ) )
221		basel.f	. . . . 5 |- F = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) )
222	221	fveq1i 5806	. . . 4 |- ( F ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ) ` M )
223	220, 222	syl6reqr 2462	. . 3 |- ( M e. NN -> ( F ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) )
224	91, 211, 223	3brtr4d 4424	. 2 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) <_ ( F ` M ) )
225	75	resincld 13979	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
226		sincosq1sgn 23075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
227	13, 226	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
228	227	simpld 457	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
229	228	gt0ne0d 10077	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
230	225, 229, 21	reexpclzd 12289	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
231	12, 230	remulcld 9574	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) e. RR )
232		sinltx 14025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. RR+ -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( ( k x. pi ) / N ) )
233	82, 232	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( ( k x. pi ) / N ) )
234	225, 75, 233	ltled 9685	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <_ ( ( k x. pi ) / N ) )
235		0re 9546	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
236		ltle 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
237	235, 225, 236	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
238	228, 237	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
239	225, 75, 238, 83	le2sqd 12299	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <_ ( ( k x. pi ) / N ) <-> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) ) )
240	234, 239	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) )
241	240, 73	breqtrrd 4420	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) )
242	225	resqcld 12290	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR )
243	242, 12, 46	lemuldiv2d 11268	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k ^ -u 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( pi / N ) ^ 2 ) <-> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) ) )
244	225, 228	elrpd 11219	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
245		rpexpcl 12139	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
246	244, 18, 245	sylancl 660	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
247	28, 12, 246	lemuldivd 11267	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k ^ -u 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( pi / N ) ^ 2 ) <-> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
248	243, 247	bitr3d 255	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) <-> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
249	241, 248	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
250	225	recnd 9572	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
251		expneg 12128	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
252	250, 30, 251	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
253	252	oveq2d 6250	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
254	242	recnd 9572	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
255	246	rpne0d 11227	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
256	36, 254, 255	divrecd 10284	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
257	253, 256	eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
258	249, 257	breqtrrd 4420	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
259	1, 28, 231, 258	fsumle 13671	. . 3 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) <_ sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
260	95	oveq2d 6250	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( 1 + ( 1 / N ) ) )
261	97, 260	oveq12d 6252	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) )
262		basel.k	. . . . . 6 |- K = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) )
263		ovex 6262	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V
264	263	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
265	103, 119, 121, 123, 125	offval2 6494	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) = ( n e. NN |-> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
266	103, 105, 264, 128, 265	offval2 6494	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
267	266	trud 1414	. . . . . 6 |- ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
268	262, 267	eqtri 2431	. . . . 5 |- K = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
269		ovex 6262	. . . . 5 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) e. _V
270	261, 268, 269	fvmpt 5888	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( K ` M ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) )
271		peano2cn 9706	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
272	63, 271	syl 17	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
273	272, 63, 64	divcld 10281	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) e. CC )
274	143, 145, 273	mulassd 9569	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) )
275	63, 151, 63, 64	divdird 10319	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) = ( ( N / N ) + ( 1 / N ) ) )
276	158	oveq1d 6249	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) + ( 1 / N ) ) = ( 1 + ( 1 / N ) ) )
277	275, 276	eqtr2d 2444	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( 1 + ( 1 / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
278	161, 277	oveq12d 6252	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
279	180	oveq2d 6250	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
280	144, 272	mulcld 9566	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC )
281		divmuldiv 10205	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) /\ ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
282	183, 280, 186, 188, 281	syl22anc 1231	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
283		divmuldiv 10205	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) /\ ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
284	183, 280, 188, 186, 283	syl22anc 1231	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
285	279, 282, 284	3eqtr4d 2453	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
286	75	recoscld 13980	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
287	286	recnd 9572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
288	287	sqcld 12262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
289	254, 288, 254, 255	divdird 10319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
290	75	recnd 9572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. CC )
291		sincossq 14012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
292	290, 291	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
293	292	oveq1d 6249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
294	254, 255	dividd 10279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
295	227	simprd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
296	295	gt0ne0d 10077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
297		tanval 13964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( k x. pi ) / N ) e. CC /\ ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) = ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
298	290, 296, 297	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) = ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
299	298	oveq1d 6249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) ^ 2 ) )
300	250, 287, 296	sqdivd 12277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
301	299, 300	eqtrd 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
302	301	oveq2d 6250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 / ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
303		sqne0 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) )
304	287, 303	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) )
305	296, 304	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
306	254, 288, 255, 305	recdivd 10298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
307	32, 302, 306	3eqtrrd 2448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
308	294, 307	oveq12d 6252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
309	289, 293, 308	3eqtr3d 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
310		addcom 9720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
311	146, 209, 310	sylancr 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
312	252, 309, 311	3eqtrd 2447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
313	312	sumeq2dv 13581	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
314		1cnd 9562	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 1 e. CC )
315	1, 209, 314	fsumadd 13617	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) = ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 ) )
316		fsumconst 13663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... M ) e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) )
317	1, 146, 316	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) )
318		nnnn0 10763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
319		hashfz1 12373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
320	318, 319	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
321	320	oveq1d 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) = ( M x. 1 ) )
322		nncn 10504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> M e. CC )
323	322	mulid1d 9563	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( M x. 1 ) = M )
324	317, 321, 323	3eqtrd 2447	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = M )
325	206, 324	oveq12d 6252	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
326	313, 315, 325	3eqtrd 2447	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
327		3cn 10571	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. CC
328	327	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> 3 e. CC )
329	144, 148, 328	adddid 9570	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( ( 2 x. M ) x. 3 ) ) )
330		df-3 10556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 = ( 2 + 1 )
331	330	oveq1i 6244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 - 1 ) = ( ( 2 + 1 ) - 1 )
332	47, 146	pncan3oi 9792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 + 1 ) - 1 ) = 2
333	331, 332, 166	3eqtri 2435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 - 1 ) = ( 1 + 1 )
334	333	oveq2i 6245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. M ) + ( 3 - 1 ) ) = ( ( 2 x. M ) + ( 1 + 1 ) )
335	144, 151, 328	subadd23d 9909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( ( 2 x. M ) + ( 3 - 1 ) ) )
336	144, 151, 151	addassd 9568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. M ) + ( 1 + 1 ) ) )
337	334, 335, 336	3eqtr4a 2469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 ) )
338	3	oveq1i 6244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N + 1 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 )
339	337, 338	syl6eqr 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( N + 1 ) )
340	339	oveq2d 6250	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) ) = ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) )
341		2cnd 10569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> 2 e. CC )
342	341, 322, 328	mul32d 9744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. 3 ) = ( ( 2 x. 3 ) x. M ) )
343		3t2e6 10648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 x. 2 ) = 6
344	327, 47	mulcomi 9552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 x. 2 ) = ( 2 x. 3 )
345	343, 344	eqtr3i 2433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 = ( 2 x. 3 )
346	345	oveq1i 6244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 6 x. M ) = ( ( 2 x. 3 ) x. M )
347	342, 346	syl6eqr 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. 3 ) = ( 6 x. M ) )
348	347	oveq2d 6250	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( ( 2 x. M ) x. 3 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) )
349	329, 340, 348	3eqtr3d 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) )
350	349	oveq1d 6249	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) / 6 ) )
351		mulcl 9526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 6 e. CC /\ M e. CC ) -> ( 6 x. M ) e. CC )
352	178, 322, 351	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( 6 x. M ) e. CC )
353	178	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 6 e. CC )
354	112	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 6 =/= 0 )
355	184, 352, 353, 354	divdird 10319	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + ( ( 6 x. M ) / 6 ) ) )
356	322, 353, 354	divcan3d 10286	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( ( 6 x. M ) / 6 ) = M )
357	356	oveq2d 6250	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + ( ( 6 x. M ) / 6 ) ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
358	350, 355, 357	3eqtrd 2447	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
359	326, 358	eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) )
360	195, 359	oveq12d 6252	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) )
361	144, 63, 272, 63, 64, 64	divmuldivd 10322	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
362	198	oveq2d 6250	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
363	361, 362	eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) )
364	363	oveq2d 6250	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
365	285, 360, 364	3eqtr4d 2453	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) )
366	274, 278, 365	3eqtr4d 2453	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
367	230	recnd 9572	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
368	1, 35, 367	fsummulc2 13657	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
369	270, 366, 368	3eqtrd 2447	. . 3 |- ( M e. NN -> ( K ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
370	259, 223, 369	3brtr4d 4424	. 2 |- ( M e. NN -> ( F ` M ) <_ ( K ` M ) )
371	224, 370	jca 530	1 |- ( M e. NN -> ( ( J ` M ) <_ ( F ` M ) /\ ( F ` M ) <_ ( K ` M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   T. wtru 1406   e. wcel 1842   =/= wne 2598   _Vcvv 3058   {csn 3971   class class class wbr 4394   |-> cmpt 4452   X. cxp 4940   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   oFcof 6475   Fincfn 7474   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443   + caddc 9445   x. cmul 9447   < clt 9578   <_ cle 9579   - cmin 9761   -ucneg 9762   / cdiv 10167   NNcn 10496   2c2 10546   3c3 10547   6c6 10550   NN0cn0 10756   ZZcz 10825   ZZ>=cuz 11045   RR+crp 11183   (,)cioo 11500   ...cfz 11643   seqcseq 12061   ^cexp 12120   _C cbc 12334   #chash 12359   sum_csu 13564   sincsin 13900   cosccos 13901   tanctan 13902   picpi 13903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-shft 12956  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-limsup 13350  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-ef 13904  df-sin 13906  df-cos 13907  df-tan 13908  df-pi 13909  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-0p 22261  df-limc 22454  df-dv 22455  df-ply 22769  df-idp 22770  df-coe 22771  df-dgr 22772  df-quot 22871

This theorem is referenced by:  basellem9  23635