Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem8 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem basellem8 24093
 Description: Lemma for basel 24095. The function of partial sums of the inverse squares is bounded below by and above by , obtained by summing the inequality over the roots of the polynomial , and applying the identity basellem5 24090. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g
basel.f
basel.h
basel.j
basel.k
basellem8.n
Assertion
Ref Expression
basellem8
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12224 . . . 4
2 pire 23492 . . . . . . . 8
3 basellem8.n . . . . . . . . 9
4 2nn 10790 . . . . . . . . . . 11
5 nnmulcl 10654 . . . . . . . . . . 11
64, 5mpan 684 . . . . . . . . . 10
76peano2nnd 10648 . . . . . . . . 9
83, 7syl5eqel 2553 . . . . . . . 8
9 nndivre 10667 . . . . . . . 8
102, 8, 9sylancr 676 . . . . . . 7
1110resqcld 12480 . . . . . 6
1211adantr 472 . . . . 5
133basellem1 24086 . . . . . . . 8
14 tanrpcl 23538 . . . . . . . 8
1513, 14syl 17 . . . . . . 7
1615rpred 11364 . . . . . 6
1715rpne0d 11369 . . . . . 6
18 2z 10993 . . . . . . . 8
19 znegcl 10996 . . . . . . . 8
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7
2120a1i 11 . . . . . 6
2216, 17, 21reexpclzd 12479 . . . . 5
2312, 22remulcld 9689 . . . 4
24 elfznn 11854 . . . . . . 7
2524adantl 473 . . . . . 6
2625nnred 10646 . . . . 5
2725nnne0d 10676 . . . . 5
2826, 27, 21reexpclzd 12479 . . . 4
2916recnd 9687 . . . . . . . 8
30 2nn0 10910 . . . . . . . 8
31 expneg 12318 . . . . . . . 8
3229, 30, 31sylancl 675 . . . . . . 7
3332oveq2d 6324 . . . . . 6
3410recnd 9687 . . . . . . . . 9
3534sqcld 12452 . . . . . . . 8
3635adantr 472 . . . . . . 7
37 rpexpcl 12329 . . . . . . . . . 10
3815, 18, 37sylancl 675 . . . . . . . . 9
3938rpred 11364 . . . . . . . 8
4039recnd 9687 . . . . . . 7
4138rpne0d 11369 . . . . . . 7
4236, 40, 41divrecd 10408 . . . . . 6
4333, 42eqtr4d 2508 . . . . 5
4425nnrpd 11362 . . . . . . 7
45 rpexpcl 12329 . . . . . . 7
4644, 20, 45sylancl 675 . . . . . 6
47 2cn 10702 . . . . . . . . . . . 12
4847negnegi 9964 . . . . . . . . . . 11
4948oveq2i 6319 . . . . . . . . . 10
5025nncnd 10647 . . . . . . . . . . 11
5150, 27, 21expnegd 12461 . . . . . . . . . 10
5249, 51syl5reqr 2520 . . . . . . . . 9
5352oveq1d 6323 . . . . . . . 8
54 nncn 10639 . . . . . . . . . . 11
55 nnne0 10664 . . . . . . . . . . 11
5620a1i 11 . . . . . . . . . . 11
5754, 55, 56expclzd 12459 . . . . . . . . . 10
5825, 57syl 17 . . . . . . . . 9
5950, 27, 21expne0d 12460 . . . . . . . . 9
6036, 58, 59divrec2d 10409 . . . . . . . 8
612recni 9673 . . . . . . . . . . . 12
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11
638nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13
648nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13
6563, 64jca 541 . . . . . . . . . . . 12
6665adantr 472 . . . . . . . . . . 11
67 divass 10310 . . . . . . . . . . 11
6850, 62, 66, 67syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
6968oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
7034adantr 472 . . . . . . . . . 10
7150, 70sqmuld 12466 . . . . . . . . 9
7269, 71eqtrd 2505 . . . . . . . 8
7353, 60, 723eqtr4d 2515 . . . . . . 7
74 elioore 11691 . . . . . . . . . 10
7513, 74syl 17 . . . . . . . . 9
7675resqcld 12480 . . . . . . . 8
77 tangtx 23539 . . . . . . . . . 10
7813, 77syl 17 . . . . . . . . 9
79 eliooord 11719 . . . . . . . . . . . . . 14
8013, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
8180simpld 466 . . . . . . . . . . . 12
8275, 81elrpd 11361 . . . . . . . . . . 11
8382rpge0d 11368 . . . . . . . . . 10
8415rpge0d 11368 . . . . . . . . . 10
8575, 16, 83, 84lt2sqd 12488 . . . . . . . . 9
8678, 85mpbid 215 . . . . . . . 8
8776, 39, 86ltled 9800 . . . . . . 7
8873, 87eqbrtrd 4416 . . . . . 6
8912, 46, 38, 88lediv23d 11427 . . . . 5
9043, 89eqbrtrd 4416 . . . 4
911, 23, 28, 90fsumle 13936 . . 3
92 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
9392oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
9493, 3syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9
9594oveq2d 6324 . . . . . . . 8
9695oveq2d 6324 . . . . . . 7
9796oveq2d 6324 . . . . . 6
9895oveq2d 6324 . . . . . . 7
9998oveq2d 6324 . . . . . 6
10097, 99oveq12d 6326 . . . . 5
101 basel.j . . . . . 6
102 nnex 10637 . . . . . . . . 9
103102a1i 11 . . . . . . . 8
104 ovex 6336 . . . . . . . . 9
105104a1i 11 . . . . . . . 8
106 ovex 6336 . . . . . . . . 9
107106a1i 11 . . . . . . . 8
108 basel.h . . . . . . . . 9
1092resqcli 12398 . . . . . . . . . . . 12
110 6re 10712 . . . . . . . . . . . 12
111 6nn 10794 . . . . . . . . . . . . 13
112111nnne0i 10666 . . . . . . . . . . . 12
113109, 110, 112redivcli 10396 . . . . . . . . . . 11
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10
115 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11
116115a1i 11 . . . . . . . . . 10
117 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . 11
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10
119 1zzd 10992 . . . . . . . . . . 11
120 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11
122 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . . 12
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11
124 basel.g . . . . . . . . . . . 12
125124a1i 11 . . . . . . . . . . 11
126103, 119, 121, 123, 125offval2 6567 . . . . . . . . . 10
127103, 114, 116, 118, 126offval2 6567 . . . . . . . . 9
128108, 127syl5eq 2517 . . . . . . . 8
129 ovex 6336 . . . . . . . . . 10
130129a1i 11 . . . . . . . . 9
13147negcli 9962 . . . . . . . . . . 11
132131a1i 11 . . . . . . . . . 10
133 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . 11
134133a1i 11 . . . . . . . . . 10
135103, 132, 121, 134, 125offval2 6567 . . . . . . . . 9
136103, 119, 130, 123, 135offval2 6567 . . . . . . . 8
137103, 105, 107, 128, 136offval2 6567 . . . . . . 7
138137trud 1461 . . . . . 6
139101, 138eqtri 2493 . . . . 5
140 ovex 6336 . . . . 5
141100, 139, 140fvmpt 5963 . . . 4
142113recni 9673 . . . . . . . 8
143142a1i 11 . . . . . . 7
1446nncnd 10647 . . . . . . . 8
145144, 63, 64divcld 10405 . . . . . . 7
146 ax-1cn 9615 . . . . . . . . 9
147 subcl 9894 . . . . . . . . 9
148144, 146, 147sylancl 675 . . . . . . . 8
149148, 63, 64divcld 10405 . . . . . . 7
150143, 145, 149mulassd 9684 . . . . . 6
151 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10
15263, 151, 63, 64divsubdird 10444 . . . . . . . . 9
1533oveq1i 6318 . . . . . . . . . . 11
154 pncan 9901 . . . . . . . . . . . 12
155144, 146, 154sylancl 675 . . . . . . . . . . 11
156153, 155syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
157156oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
15863, 64dividd 10403 . . . . . . . . . 10
159158oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
160152, 157, 1593eqtr3rd 2514 . . . . . . . 8
161160oveq2d 6324 . . . . . . 7
162131a1i 11 . . . . . . . . 9
16363, 162, 63, 64divdird 10443 . . . . . . . 8
164 negsub 9942 . . . . . . . . . . 11
16563, 47, 164sylancl 675 . . . . . . . . . 10
166 df-2 10690 . . . . . . . . . . . 12
1673, 166oveq12i 6320 . . . . . . . . . . 11
168144, 151, 151pnpcan2d 10043 . . . . . . . . . . 11
169167, 168syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
170165, 169eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
171170oveq1d 6323 . . . . . . . 8
172162, 63, 64divrecd 10408 . . . . . . . . 9
173158, 172oveq12d 6326 . . . . . . . 8
174163, 171, 1733eqtr3rd 2514 . . . . . . 7
175161, 174oveq12d 6326 . . . . . 6
1768nnsqcld 12474 . . . . . . . . . . 11
177176nncnd 10647 . . . . . . . . . 10
178 6cn 10713 . . . . . . . . . 10
179 mulcom 9643 . . . . . . . . . 10
180177, 178, 179sylancl 675 . . . . . . . . 9
181180oveq2d 6324 . . . . . . . 8
182109recni 9673 . . . . . . . . . 10
183182a1i 11 . . . . . . . . 9
184144, 148mulcld 9681 . . . . . . . . 9
185176nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10
186177, 185jca 541 . . . . . . . . 9
187178, 112pm3.2i 462 . . . . . . . . . 10
188187a1i 11 . . . . . . . . 9
189 divmuldiv 10329 . . . . . . . . 9
190183, 184, 186, 188, 189syl22anc 1293 . . . . . . . 8
191 divmuldiv 10329 . . . . . . . . 9
192183, 184, 188, 186, 191syl22anc 1293 . . . . . . . 8
193181, 190, 1923eqtr4d 2515 . . . . . . 7
19461a1i 11 . . . . . . . . 9
195194, 63, 64sqdivd 12467 . . . . . . . 8
196195oveq1d 6323 . . . . . . 7
197144, 63, 148, 63, 64, 64divmuldivd 10446 . . . . . . . . 9
19863sqvald 12451 . . . . . . . . . 10
199198oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
200197, 199eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
201200oveq2d 6324 . . . . . . 7
202193, 196, 2013eqtr4d 2515 . . . . . 6
203150, 175, 2023eqtr4d 2515 . . . . 5
204 eqid 2471 . . . . . . 7
205 eqid 2471 . . . . . . 7
2063, 204, 205basellem5 24090 . . . . . 6
207206oveq2d 6324 . . . . 5
208203, 207eqtr4d 2508 . . . 4
20922recnd 9687 . . . . 5
2101, 35, 209fsummulc2 13922 . . . 4
211141, 208, 2103eqtrd 2509 . . 3
212 oveq1 6315 . . . . . . 7
213 eqid 2471 . . . . . . 7
214 ovex 6336 . . . . . . 7
215212, 213, 214fvmpt 5963 . . . . . 6
21625, 215syl 17 . . . . 5
217 id 22 . . . . . 6
218 nnuz 11218 . . . . . 6
219217, 218syl6eleq 2559 . . . . 5
220216, 219, 58fsumser 13873 . . . 4
221 basel.f . . . . 5
222221fveq1i 5880 . . . 4
223220, 222syl6reqr 2524 . . 3
22491, 211, 2233brtr4d 4426 . 2
22575resincld 14274 . . . . . 6
226 sincosq1sgn 23532 . . . . . . . . 9
22713, 226syl 17 . . . . . . . 8
228227simpld 466 . . . . . . 7
229228gt0ne0d 10199 . . . . . 6
230225, 229, 21reexpclzd 12479 . . . . 5
23112, 230remulcld 9689 . . . 4
232 sinltx 14320 . . . . . . . . . 10
23382, 232syl 17 . . . . . . . . 9
234225, 75, 233ltled 9800 . . . . . . . 8
235 0re 9661 . . . . . . . . . . 11
236 ltle 9740 . . . . . . . . . . 11
237235, 225, 236sylancr 676 . . . . . . . . . 10
238228, 237mpd 15 . . . . . . . . 9
239225, 75, 238, 83le2sqd 12489 . . . . . . . 8
240234, 239mpbid 215 . . . . . . 7
241240, 73breqtrrd 4422 . . . . . 6
242225resqcld 12480 . . . . . . . 8
243242, 12, 46lemuldiv2d 11411 . . . . . . 7
244225, 228elrpd 11361 . . . . . . . . 9
245 rpexpcl 12329 . . . . . . . . 9
246244, 18, 245sylancl 675 . . . . . . . 8
24728, 12, 246lemuldivd 11410 . . . . . . 7
248243, 247bitr3d 263 . . . . . 6
249241, 248mpbid 215 . . . . 5
250225recnd 9687 . . . . . . . 8
251 expneg 12318 . . . . . . . 8
252250, 30, 251sylancl 675 . . . . . . 7
253252oveq2d 6324 . . . . . 6
254242recnd 9687 . . . . . . 7
255246rpne0d 11369 . . . . . . 7
25636, 254, 255divrecd 10408 . . . . . 6
257253, 256eqtr4d 2508 . . . . 5
258249, 257breqtrrd 4422 . . . 4
2591, 28, 231, 258fsumle 13936 . . 3
26095oveq2d 6324 . . . . . 6
26197, 260oveq12d 6326 . . . . 5
262 basel.k . . . . . 6
263 ovex 6336 . . . . . . . . 9
264263a1i 11 . . . . . . . 8
265103, 119, 121, 123, 125offval2 6567 . . . . . . . 8
266103, 105, 264, 128, 265offval2 6567 . . . . . . 7
267266trud 1461 . . . . . 6
268262, 267eqtri 2493 . . . . 5
269 ovex 6336 . . . . 5
270261, 268, 269fvmpt 5963 . . . 4
271 peano2cn 9823 . . . . . . . 8
27263, 271syl 17 . . . . . . 7
273272, 63, 64divcld 10405 . . . . . 6
274143, 145, 273mulassd 9684 . . . . 5
27563, 151, 63, 64divdird 10443 . . . . . . 7
276158oveq1d 6323 . . . . . . 7
277275, 276eqtr2d 2506 . . . . . 6
278161, 277oveq12d 6326 . . . . 5
279180oveq2d 6324 . . . . . . 7
280144, 272mulcld 9681 . . . . . . . 8
281 divmuldiv 10329 . . . . . . . 8
282183, 280, 186, 188, 281syl22anc 1293 . . . . . . 7
283 divmuldiv 10329 . . . . . . . 8
284183, 280, 188, 186, 283syl22anc 1293 . . . . . . 7
285279, 282, 2843eqtr4d 2515 . . . . . 6
28675recoscld 14275 . . . . . . . . . . . . . . 15
287286recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14
288287sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . 13
289254, 288, 254, 255divdird 10443 . . . . . . . . . . . 12
29075recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14
291 sincossq 14307 . . . . . . . . . . . . . 14
292290, 291syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
293292oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
294254, 255dividd 10403 . . . . . . . . . . . . 13
295227simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
296295gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
297 tanval 14259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
298290, 296, 297syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
299298oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16
300250, 287, 296sqdivd 12467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
301299, 300eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15
302301oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
303 sqne0 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
304287, 303syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
305296, 304mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15
306254, 288, 255, 305recdivd 10422 . . . . . . . . . . . . . 14
30732, 302, 3063eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13
308294, 307oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
309289, 293, 3083eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11
310 addcom 9837 . . . . . . . . . . . 12
311146, 209, 310sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
312252, 309, 3113eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10
313312sumeq2dv 13846 . . . . . . . . 9
314 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10
3151, 209, 314fsumadd 13882 . . . . . . . . 9
316 fsumconst 13928 . . . . . . . . . . . 12
3171, 146, 316sylancl 675 . . . . . . . . . . 11
318 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . 13
319 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . . 13
320318, 319syl 17 . . . . . . . . . . . 12
321320oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
322 nncn 10639 . . . . . . . . . . . 12
323322mulid1d 9678 . . . . . . . . . . 11
324317, 321, 3233eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10
325206, 324oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
326313, 315, 3253eqtrd 2509 . . . . . . . 8
327 3cn 10706 . . . . . . . . . . . . 13
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
329144, 148, 328adddid 9685 . . . . . . . . . . 11
330 df-3 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
331330oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33247, 146pncan3oi 9911 . . . . . . . . . . . . . . . 16
333331, 332, 1663eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15
334333oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . 14
335144, 151, 328subadd23d 10027 . . . . . . . . . . . . . 14
336144, 151, 151addassd 9683 . . . . . . . . . . . . . 14
337334, 335, 3363eqtr4a 2531 . . . . . . . . . . . . 13
3383oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . 13
339337, 338syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . 12
340339oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
341 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . 14
342341, 322, 328mul32d 9861 . . . . . . . . . . . . 13
343 3t2e6 10784 . . . . . . . . . . . . . . 15
344327, 47mulcomi 9667 . . . . . . . . . . . . . . 15
345343, 344eqtr3i 2495 . . . . . . . . . . . . . 14
346345oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . 13
347342, 346syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . 12
348347oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
349329, 340, 3483eqtr3d 2513 . . . . . . . . . 10
350349oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
351 mulcl 9641 . . . . . . . . . . 11
352178, 322, 351sylancr 676 . . . . . . . . . 10
353178a1i 11 . . . . . . . . . 10
354112a1i 11 . . . . . . . . . 10
355184, 352, 353, 354divdird 10443 . . . . . . . . 9
356322, 353, 354divcan3d 10410 . . . . . . . . . 10
357356oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
358350, 355, 3573eqtrd 2509 . . . . . . . 8
359326, 358eqtr4d 2508 . . . . . . 7
360195, 359oveq12d 6326 . . . . . 6
361144, 63, 272, 63, 64, 64divmuldivd 10446 . . . . . . . 8
362198oveq2d 6324 . . . . . . . 8
363361, 362eqtr4d 2508 . . . . . . 7
364363oveq2d 6324 . . . . . 6
365285, 360, 3643eqtr4d 2515 . . . . 5
366274, 278, 3653eqtr4d 2515 . . . 4
367230recnd 9687 . . . . 5
3681, 35, 367fsummulc2 13922 . . . 4
369270, 366, 3683eqtrd 2509 . . 3
370259, 223, 3693brtr4d 4426 . 2
371224, 370jca 541 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wtru 1453   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  c3 10682  c6 10685  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cioo 11660  cfz 11810   cseq 12251  cexp 12310   cbc 12525  chash 12553  csu 13829  csin 14193  ccos 14194  ctan 14195  cpi 14196 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ply 23221  df-idp 23222  df-coe 23223  df-dgr 23224  df-quot 23323 This theorem is referenced by:  basellem9  24094
 Copyright terms: Public domain W3C validator