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Theorem basellem8 23226
Description: Lemma for basel 23228. The function  F of partial sums of the inverse squares is bounded below by  J and above by  K, obtained by summing the inequality 
cot ^ 2 x  <_ 
1  /  x ^
2  <_  csc ^ 2 x  =  cot ^
2 x  +  1 over the  M roots of the polynomial  P, and applying the identity basellem5 23223. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basel.f  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
basel.j  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
basel.k  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
basellem8.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
basellem8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( J `  M
)  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) ) )
Distinct variable groups:    n, F    n, M    n, J    n, N
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    K( n)

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables  k  x  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12057 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
2 pire 22716 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
3 basellem8.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
4 2nn 10694 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
5 nnmulcl 10560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
64, 5mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
76peano2nnd 10554 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
83, 7syl5eqel 2533 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
9 nndivre 10572 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( pi  /  N
)  e.  RR )
102, 8, 9sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi  /  N )  e.  RR )
1110resqcld 12310 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  e.  RR )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  e.  RR )
133basellem1 23219 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
14 tanrpcl 22762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
1615rpred 11260 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
1715rpne0d 11265 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
18 2z 10897 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
19 znegcl 10900 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  ZZ
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  -u 2  e.  ZZ )
2216, 17, 21reexpclzd 12309 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
2312, 22remulcld 9622 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  e.  RR )
24 elfznn 11718 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
2524adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  NN )
2625nnred 10552 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  RR )
2725nnne0d 10581 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  =/=  0
)
2826, 27, 21reexpclzd 12309 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  RR )
2916recnd 9620 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
30 2nn0 10813 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
31 expneg 12148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
3410recnd 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi  /  N )  e.  CC )
3534sqcld 12282 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  e.  CC )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  e.  CC )
37 rpexpcl 12159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3815, 18, 37sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3938rpred 11260 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR )
4039recnd 9620 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
4138rpne0d 11265 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
4236, 40, 41divrecd 10324 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
4333, 42eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
4425nnrpd 11259 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  RR+ )
45 rpexpcl 12159 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  RR+ )
4644, 20, 45sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  RR+ )
47 2cn 10607 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4847negnegi 9889 . . . . . . . . . . 11  |-  -u -u 2  =  2
4948oveq2i 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( k ^ -u -u 2
)  =  ( k ^ 2 )
5025nncnd 10553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  CC )
5150, 27, 21expnegd 12291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u -u 2 )  =  ( 1  /  (
k ^ -u 2
) ) )
5249, 51syl5reqr 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( k ^ 2 ) )
5352oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( 1  /  ( k ^ -u 2 ) )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
54 nncn 10545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
55 nnne0 10569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
5620a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  -u 2  e.  ZZ )
5754, 55, 56expclzd 12289 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  CC )
5825, 57syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  CC )
5950, 27, 21expne0d 12290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  =/=  0
)
6036, 58, 59divrec2d 10325 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( ( 1  /  (
k ^ -u 2
) )  x.  (
( pi  /  N
) ^ 2 ) ) )
612recni 9606 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  pi  e.  CC )
638nncnd 10553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  CC )
648nnne0d 10581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
6563, 64jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
67 divass 10226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  =  ( k  x.  ( pi  /  N ) ) )
6850, 62, 66, 67syl3anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  =  ( k  x.  ( pi 
/  N ) ) )
6968oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  =  ( ( k  x.  (
pi  /  N )
) ^ 2 ) )
7034adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( pi  /  N )  e.  CC )
7150, 70sqmuld 12296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  ( pi  /  N ) ) ^
2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
7269, 71eqtrd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
7353, 60, 723eqtr4d 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( ( ( k  x.  pi )  /  N
) ^ 2 ) )
74 elioore 11563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( (
k  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
7513, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
7675resqcld 12310 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  e.  RR )
77 tangtx 22763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( (
k  x.  pi )  /  N )  < 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
7813, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  <  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
79 eliooord 11588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( ( k  x.  pi )  /  N )  /\  (
( k  x.  pi )  /  N )  < 
( pi  /  2
) ) )
8013, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  /\  ( (
k  x.  pi )  /  N )  < 
( pi  /  2
) ) )
8180simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  (
( k  x.  pi )  /  N ) )
8275, 81elrpd 11258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
8382rpge0d 11264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  (
( k  x.  pi )  /  N ) )
8415rpge0d 11264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
8575, 16, 83, 84lt2sqd 12318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  < 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^ 2 )  <  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
8678, 85mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  <  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8776, 39, 86ltled 9731 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  <_  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8873, 87eqbrtrd 4453 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  <_  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8912, 46, 38, 88lediv23d 11317 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( k ^ -u 2 ) )
9043, 89eqbrtrd 4453 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  <_  ( k ^ -u 2 ) )
911, 23, 28, 90fsumle 13587 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 ) )
92 oveq2 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
9392oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
9493, 3syl6eqr 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N )
9594oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  /  N ) )
9695oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )
9796oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  N ) ) ) )
9895oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) )
9998oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )
10097, 99oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  (
-u 2  x.  (
1  /  N ) ) ) ) )
101 basel.j . . . . . 6  |-  J  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )
102 nnex 10543 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
103102a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  NN  e.  _V )
104 ovex 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
105104a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V )
106 ovex 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
107106a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V )
108 basel.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )
1092resqcli 12227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi
^ 2 )  e.  RR
110 6re 10617 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR
111 6nn 10698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
112111nnne0i 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
113109, 110, 112redivcli 10312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR )
115 ovex 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e. 
_V
116115a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
117 fconstmpt 5029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi ^
2 )  /  6
) ) )
119 1zzd 10896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
120 ovex 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e. 
_V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  _V )
122 fconstmpt 5029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 ) )
124 basel.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
125124a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  G  =  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
126103, 119, 121, 123, 125offval2 6537 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  -  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
127103, 114, 116, 118, 126offval2 6537 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  -  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
128108, 127syl5eq 2494 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  H  =  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
129 ovex 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
130129a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
13147negcli 9887 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 2  e.  CC
132131a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
133 fconstmpt 5029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
X.  { -u 2 } )  =  ( n  e.  NN  |->  -u
2 )
134133a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } )  =  ( n  e.  NN  |->  -u 2 ) )
135103, 132, 121, 134, 125offval2 6537 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
136103, 119, 130, 123, 135offval2 6537 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
137103, 105, 107, 128, 136offval2 6537 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  oF  x.  G
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) ) )
138137trud 1390 . . . . . 6  |-  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
139101, 138eqtri 2470 . . . . 5  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
140 ovex 6305 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  e.  _V
141100, 139, 140fvmpt 5937 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  (
-u 2  x.  (
1  /  N ) ) ) ) )
142113recni 9606 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC
143142a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC )
1446nncnd 10553 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
145144, 63, 64divcld 10321 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  /  N )  e.  CC )
146 ax-1cn 9548 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
147 subcl 9819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  CC )
148144, 146, 147sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  CC )
149148, 63, 64divcld 10321 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N )  e.  CC )
150143, 145, 149mulassd 9617 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( 2  x.  M
)  /  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) ) )
151 1cnd 9610 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  CC )
15263, 151, 63, 64divsubdird 10360 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  -  ( 1  /  N
) ) )
1533oveq1i 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )
154 pncan 9826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
155144, 146, 154sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
156153, 155syl5eq 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
157156oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  =  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )
15863, 64dividd 10319 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
159158oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  -  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )
160152, 157, 1593eqtr3rd 2491 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  N ) )  =  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )
161160oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N
) ) )
162131a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  -u 2  e.  CC )
16363, 162, 63, 64divdird 10359 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  -u
2 )  /  N
)  =  ( ( N  /  N )  +  ( -u 2  /  N ) ) )
164 negsub 9867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( N  +  -u
2 )  =  ( N  -  2 ) )
16563, 47, 164sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  -u 2 )  =  ( N  - 
2 ) )
166 df-2 10595 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1673, 166oveq12i 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  -  2 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  (
1  +  1 ) )
168144, 151, 151pnpcan2d 9969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
169167, 168syl5eq 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  2 )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
170165, 169eqtrd 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  -u 2 )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
171170oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  -u
2 )  /  N
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )
172162, 63, 64divrecd 10324 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 2  /  N )  =  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) )
173158, 172oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( -u
2  /  N ) )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )
174163, 171, 1733eqtr3rd 2491 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )
175161, 174oveq12d 6295 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  /  N
) ) )
1768nnsqcld 12304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
177176nncnd 10553 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
178 6cn 10618 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
179 mulcom 9576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  6  e.  CC )  ->  ( ( N ^
2 )  x.  6 )  =  ( 6  x.  ( N ^
2 ) ) )
180177, 178, 179sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  x.  6 )  =  ( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) )
181180oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  x.  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  /  ( ( N ^ 2 )  x.  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
182109recni 9606 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi
^ 2 )  e.  CC
183182a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi ^ 2 )  e.  CC )
184144, 148mulcld 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
185176nnne0d 10581 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =/=  0 )
186177, 185jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) )
187178, 112pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )
188187a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) )
189 divmuldiv 10245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 )  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
190183, 184, 186, 188, 189syl22anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
191 divmuldiv 10245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
192183, 184, 188, 186, 191syl22anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
193181, 190, 1923eqtr4d 2492 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
19461a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
195194, 63, 64sqdivd 12297 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  =  ( ( pi
^ 2 )  / 
( N ^ 2 ) ) )
196195oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  ( N ^
2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
) ) )
197144, 63, 148, 63, 64, 64divmuldivd 10362 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
19863sqvald 12281 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
199198oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
200197, 199eqtr4d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
201200oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
202193, 196, 2013eqtr4d 2492 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) ) )
203150, 175, 2023eqtr4d 2492 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
) ) )
204 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( x ^
j ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( x ^ j
) ) )
205 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
2063, 204, 205basellem5 23223 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
207206oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) ) )
208203, 207eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
20922recnd 9620 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
2101, 35, 209fsummulc2 13573 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
211141, 208, 2103eqtrd 2486 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  x.  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
212 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n ^ -u 2
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
213 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )
214 ovex 6305 . . . . . . 7  |-  ( k ^ -u 2 )  e.  _V
215212, 213, 214fvmpt 5937 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
21625, 215syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) `  k )  =  ( k ^ -u 2 ) )
217 id 22 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN )
218 nnuz 11120 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
219217, 218syl6eleq 2539 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
220216, 219, 58fsumser 13526 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) `
 M ) )
221 basel.f . . . . 5  |-  F  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
222221fveq1i 5853 . . . 4  |-  ( F `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) `  M
)
223220, 222syl6reqr 2501 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( F `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2
) )
22491, 211, 2233brtr4d 4463 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  <_  ( F `  M
) )
22575resincld 13750 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
226 sincosq1sgn 22756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
22713, 226syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
228227simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
229228gt0ne0d 10118 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
230225, 229, 21reexpclzd 12309 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
23112, 230remulcld 9622 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  e.  RR )
232 sinltx 13796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR+  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
23382, 232syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
234225, 75, 233ltled 9731 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <_  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
235 0re 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
236 ltle 9671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  -> 
0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ) )
237235, 225, 236sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
238228, 237mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
239225, 75, 238, 83le2sqd 12319 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <_  (
( k  x.  pi )  /  N )  <->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^
2 )  <_  (
( ( k  x.  pi )  /  N
) ^ 2 ) ) )
240234, 239mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 ) )
241240, 73breqtrrd 4459 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( k ^ -u 2 ) ) )
242225resqcld 12310 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR )
243242, 12, 46lemuldiv2d 11306 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k ^ -u 2
)  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  <->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^
2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  /  ( k ^ -u 2 ) ) ) )
244225, 228elrpd 11258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
245 rpexpcl 12159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
246244, 18, 245sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
24728, 12, 246lemuldivd 11305 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k ^ -u 2
)  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  <->  ( k ^ -u 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
248243, 247bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
k ^ -u 2
) )  <->  ( k ^ -u 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
249241, 248mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
250225recnd 9620 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
251 expneg 12148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
252250, 30, 251sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
253252oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
254242recnd 9620 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
255246rpne0d 11265 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
25636, 254, 255divrecd 10324 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
257253, 256eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
258249, 257breqtrrd 4459 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
2591, 28, 231, 258fsumle 13587 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
26095oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
26197, 260oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
262 basel.k . . . . . 6  |-  K  =  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )
263 ovex 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e. 
_V
264263a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
265103, 119, 121, 123, 125offval2 6537 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
266103, 105, 264, 128, 265offval2 6537 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( H  oF  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  oF  +  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
267266trud 1390 . . . . . 6  |-  ( H  oF  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  oF  +  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
268262, 267eqtri 2470 . . . . 5  |-  K  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
269 ovex 6305 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )  e. 
_V
270261, 268, 269fvmpt 5937 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( K `  M )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
271 peano2cn 9750 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
27263, 271syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
273272, 63, 64divcld 10321 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
274143, 145, 273mulassd 9617 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( 2  x.  M
)  /  N ) )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
27563, 151, 63, 64divdird 10359 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
276158oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
277275, 276eqtr2d 2483 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
278161, 277oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
279180oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  x.  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ 2 )  x.  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
280144, 272mulcld 9614 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
281 divmuldiv 10245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 )  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
282183, 280, 186, 188, 281syl22anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
283 divmuldiv 10245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
284183, 280, 188, 186, 283syl22anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
285279, 282, 2843eqtr4d 2492 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
28675recoscld 13751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
287286recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
288287sqcld 12282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
289254, 288, 254, 255divdird 10359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
29075recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  CC )
291 sincossq 13783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  CC  ->  ( (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
292290, 291syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
293292oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
294254, 255dividd 10319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
295227simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
296295gt0ne0d 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
297 tanval 13735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  /  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
298290, 296, 297syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  /  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
299298oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) ^ 2 ) )
300250, 287, 296sqdivd 12297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  /  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
301299, 300eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
302301oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
303 sqne0 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  ->  (
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 ) )
304287, 303syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 ) )
305296, 304mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
306254, 288, 255, 305recdivd 10338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
30732, 302, 3063eqtrrd 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
308294, 307oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) ) )
309289, 293, 3083eqtr3d 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
310 addcom 9764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
311146, 209, 310sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
312252, 309, 3113eqtrd 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
313312sumeq2dv 13499 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
314 1cnd 9610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  1  e.  CC )
3151, 209, 314fsumadd 13535 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1 ) )
316 fsumconst 13579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  1 ) )
3171, 146, 316sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) 1  =  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  1 ) )
318 nnnn0 10803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
319 hashfz1 12393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
320318, 319syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
321320oveq1d 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  x.  1 )  =  ( M  x.  1 ) )
322 nncn 10545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
323322mulid1d 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
324317, 321, 3233eqtrd 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) 1  =  M )
325206, 324oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
)  +  M ) )
326313, 315, 3253eqtrd 2486 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
327 3cn 10611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  3  e.  CC )
329144, 148, 328adddid 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  +  3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( ( 2  x.  M )  x.  3 ) ) )
330 df-3 10596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =  ( 2  +  1 )
331330oveq1i 6287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  -  1 )  =  ( ( 2  +  1 )  -  1 )
33247, 146pncan3oi 9836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2
333331, 332, 1663eqtri 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
334333oveq2i 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  M )  +  ( 3  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) )
335144, 151, 328subadd23d 9953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 3  -  1 ) ) )
336144, 151, 151addassd 9616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) ) )
337334, 335, 3363eqtr4a 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 ) )
3383oveq1i 6287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )
339337, 338syl6eqr 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( N  + 
1 ) )
340339oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  +  3 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )
341 2cnd 10609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  2  e.  CC )
342341, 322, 328mul32d 9788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  3 )  =  ( ( 2  x.  3 )  x.  M ) )
343 3t2e6 10688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
344327, 47mulcomi 9600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  2 )  =  ( 2  x.  3 )
345343, 344eqtr3i 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  =  ( 2  x.  3 )
346345oveq1i 6287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 6  x.  M )  =  ( ( 2  x.  3 )  x.  M
)
347342, 346syl6eqr 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  3 )  =  ( 6  x.  M ) )
348347oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  ( ( 2  x.  M )  x.  3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( 6  x.  M
) ) )
349329, 340, 3483eqtr3d 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( 6  x.  M
) ) )
350349oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  +  ( 6  x.  M ) )  / 
6 ) )
351 mulcl 9574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 6  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 6  x.  M
)  e.  CC )
352178, 322, 351sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  x.  M )  e.  CC )
353178a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  6  e.  CC )
354112a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  6  =/=  0 )
355184, 352, 353, 354divdird 10359 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  +  ( 6  x.  M ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  ( ( 6  x.  M )  /  6
) ) )
356322, 353, 354divcan3d 10326 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 6  x.  M
)  /  6 )  =  M )
357356oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
)  +  ( ( 6  x.  M )  /  6 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
358350, 355, 3573eqtrd 2486 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
359326, 358eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 ) )
360195, 359oveq12d 6295 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) ) )
361144, 63, 272, 63, 64, 64divmuldivd 10362 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
362198oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
363361, 362eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
364363oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
365285, 360, 3643eqtr4d 2492 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
366274, 278, 3653eqtr4d 2492 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
367230recnd 9620 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
3681, 35, 367fsummulc2 13573 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
369270, 366, 3683eqtrd 2486 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( K `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  x.  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
370259, 223, 3693brtr4d 4463 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) )
371224, 370jca 532 1  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( J `  M
)  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381   T. wtru 1382    e. wcel 1802    =/= wne 2636   _Vcvv 3093   {csn 4010   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491    X. cxp 4983   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    oFcof 6519   Fincfn 7514   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   3c3 10587   6c6 10590   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   RR+crp 11224   (,)cioo 11533   ...cfz 11676    seqcseq 12081   ^cexp 12140    _C cbc 12354   #chash 12379   sum_csu 13482   sincsin 13672   cosccos 13673   tanctan 13674   picpi 13675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-tan 13680  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-0p 21943  df-limc 22136  df-dv 22137  df-ply 22451  df-idp 22452  df-coe 22453  df-dgr 22454  df-quot 22552
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