MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Structured version   Unicode version

Theorem basellem6 23630
Description: Lemma for basel 23634. The function  G goes to zero because it is bounded by  1  /  n. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
basellem6  |-  G  ~~>  0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11078 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10854 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 ax-1cn 9498 . . . 4  |-  1  e.  CC
4 divcnv 13721 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
53, 4mp1i 13 . . 3  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
6 basel.g . . . . 5  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
7 nnex 10500 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
87mptex 6078 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
96, 8eqeltri 2484 . . . 4  |-  G  e. 
_V
109a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
11 oveq2 6240 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
12 eqid 2400 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
13 ovex 6260 . . . . . 6  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5886 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
1514adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
16 nnrecre 10531 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1716adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1815, 17eqeltrd 2488 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  e.  RR )
19 oveq2 6240 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
2019oveq1d 6247 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2120oveq2d 6248 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
22 ovex 6260 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e. 
_V
2321, 6, 22fvmpt 5886 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
2423adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
25 2nn 10652 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  2  e.  NN )
27 nnmulcl 10517 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  NN )
2826, 27sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  NN )
2928peano2nnd 10511 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN )
3029nnrecred 10540 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
3124, 30eqeltrd 2488 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
32 nnre 10501 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3332adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
3428nnred 10509 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
3529nnred 10509 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
36 nnnn0 10761 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
3736adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
38 nn0addge1 10801 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  <_  ( k  +  k ) )
3933, 37, 38syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( k  +  k ) )
4033recnd 9570 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
41402timesd 10740 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
4239, 41breqtrrd 4418 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( 2  x.  k
) )
4334lep1d 10435 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
4433, 34, 35, 42, 43letrd 9691 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
45 nngt0 10523 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
4645adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  k )
4729nngt0d 10538 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
48 lerec 10385 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
4933, 46, 35, 47, 48syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  <_  ( (
2  x.  k )  +  1 )  <->  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
5044, 49mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
5150, 24, 153brtr4d 4422 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k ) )
5229nnrpd 11218 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
5352rpreccld 11230 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
5453rpge0d 11224 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
5554, 24breqtrrd 4418 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
561, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55climsqz2 13518 . 2  |-  ( T. 
->  G  ~~>  0 )
5756trud 1412 1  |-  G  ~~>  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403   T. wtru 1404    e. wcel 1840   _Vcvv 3056   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   RRcr 9439   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443    x. cmul 9445    < clt 9576    <_ cle 9577    / cdiv 10165   NNcn 10494   2c2 10544   NN0cn0 10754    ~~> cli 13361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366
This theorem is referenced by:  basellem7  23631  basellem9  23633
  Copyright terms: Public domain W3C validator