MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Structured version   Unicode version

Theorem basellem6 22398
Description: Lemma for basel 22402. The function  G goes to zero because it is bounded by  1  /  n. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
basellem6  |-  G  ~~>  0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10888 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10669 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 ax-1cn 9332 . . . 4  |-  1  e.  CC
4 divcnv 13308 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
53, 4mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
6 basel.g . . . . 5  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
7 nnex 10320 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
87mptex 5943 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
96, 8eqeltri 2508 . . . 4  |-  G  e. 
_V
109a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
11 oveq2 6094 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
12 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
13 ovex 6111 . . . . . 6  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5769 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
16 nnrecre 10350 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1716adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1815, 17eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  e.  RR )
19 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
2019oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2120oveq2d 6102 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
22 ovex 6111 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e. 
_V
2321, 6, 22fvmpt 5769 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
2423adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
25 2nn 10471 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  2  e.  NN )
27 nnmulcl 10337 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  NN )
2826, 27sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  NN )
2928peano2nnd 10331 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN )
3029nnrecred 10359 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
3124, 30eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
32 nnre 10321 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
3428nnred 10329 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
3529nnred 10329 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
36 nnnn0 10578 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
3736adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
38 nn0addge1 10618 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  <_  ( k  +  k ) )
3933, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( k  +  k ) )
4033recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
41402timesd 10559 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
4239, 41breqtrrd 4313 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( 2  x.  k
) )
4334lep1d 10256 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
4433, 34, 35, 42, 43letrd 9520 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
45 nngt0 10343 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
4645adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  k )
4729nngt0d 10357 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
48 lerec 10206 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
4933, 46, 35, 47, 48syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  <_  ( (
2  x.  k )  +  1 )  <->  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
5044, 49mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
5150, 24, 153brtr4d 4317 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k ) )
5229nnrpd 11018 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
5352rpreccld 11029 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
5453rpge0d 11023 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
5554, 24breqtrrd 4313 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
561, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55climsqz2 13111 . 2  |-  ( T. 
->  G  ~~>  0 )
5756trud 1378 1  |-  G  ~~>  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571    ~~> cli 12954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959
This theorem is referenced by:  basellem7  22399  basellem9  22401
  Copyright terms: Public domain W3C validator