MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Structured version   Unicode version

Theorem basellem6 22559
Description: Lemma for basel 22563. The function  G goes to zero because it is bounded by  1  /  n. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
basellem6  |-  G  ~~>  0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11010 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10791 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 ax-1cn 9454 . . . 4  |-  1  e.  CC
4 divcnv 13437 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
53, 4mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
6 basel.g . . . . 5  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
7 nnex 10442 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
87mptex 6060 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
96, 8eqeltri 2538 . . . 4  |-  G  e. 
_V
109a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
11 oveq2 6211 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
12 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
13 ovex 6228 . . . . . 6  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5886 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
16 nnrecre 10472 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1716adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1815, 17eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  e.  RR )
19 oveq2 6211 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
2019oveq1d 6218 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2120oveq2d 6219 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
22 ovex 6228 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e. 
_V
2321, 6, 22fvmpt 5886 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
2423adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
25 2nn 10593 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  2  e.  NN )
27 nnmulcl 10459 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  NN )
2826, 27sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  NN )
2928peano2nnd 10453 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN )
3029nnrecred 10481 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
3124, 30eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
32 nnre 10443 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
3428nnred 10451 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
3529nnred 10451 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
36 nnnn0 10700 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
3736adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
38 nn0addge1 10740 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  <_  ( k  +  k ) )
3933, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( k  +  k ) )
4033recnd 9526 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
41402timesd 10681 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
4239, 41breqtrrd 4429 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( 2  x.  k
) )
4334lep1d 10378 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
4433, 34, 35, 42, 43letrd 9642 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
45 nngt0 10465 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
4645adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  k )
4729nngt0d 10479 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
48 lerec 10328 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
4933, 46, 35, 47, 48syl22anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  <_  ( (
2  x.  k )  +  1 )  <->  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
5044, 49mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
5150, 24, 153brtr4d 4433 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k ) )
5229nnrpd 11140 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
5352rpreccld 11151 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
5453rpge0d 11145 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
5554, 24breqtrrd 4429 . . 3  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
561, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55climsqz2 13240 . 2  |-  ( T. 
->  G  ~~>  0 )
5756trud 1379 1  |-  G  ~~>  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    x. cmul 9401    < clt 9532    <_ cle 9533    / cdiv 10107   NNcn 10436   2c2 10485   NN0cn0 10693    ~~> cli 13083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088
This theorem is referenced by:  basellem7  22560  basellem9  22562
  Copyright terms: Public domain W3C validator