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Theorem basellem5 23086
Description: Lemma for basel 23091. Using vieta1 22442, we can calculate the sum of the roots of  P as the quotient of the top two coefficients, and since the function  T enumerates the roots, we are left with an equation that sums the  cot ^ 2 function at the  M different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
basel.t  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
Assertion
Ref Expression
basellem5  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
Distinct variable groups:    j, k,
t, n, M    j, N, k, n, t    P, k, n    T, k
Allowed substitution hints:    P( t, j)    T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  (coeff `  P )  =  (coeff `  P )
2 eqid 2467 . . 3  |-  (deg `  P )  =  (deg
`  P )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( `' P " { 0 } )  =  ( `' P " { 0 } )
4 basel.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
5 basel.p . . . . 5  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
64, 5basellem2 23083 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
76simp1d 1008 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
86simp2d 1009 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
9 nnnn0 10798 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
10 hashfz1 12383 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
12 basel.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
134, 5, 12basellem4 23085 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
14 ovex 6307 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
1514f1oen 7533 . . . . . 6  |-  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } )  ->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
1613, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
17 fzfid 12047 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
18 nnne0 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
198, 18eqnetrd 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =/=  0
)
20 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  0p  -> 
(deg `  P )  =  (deg `  0p
) )
21 dgr0 22393 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0p )  =  0
2220, 21syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  0p  -> 
(deg `  P )  =  0 )
2322necon3i 2707 . . . . . . . . 9  |-  ( (deg
`  P )  =/=  0  ->  P  =/=  0p )
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =/=  0p )
253fta1 22438 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  P  =/=  0p )  -> 
( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
267, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
2726simpld 459 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )
28 hashen 12384 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( 1 ... M
) )  =  (
# `  ( `' P " { 0 } ) )  <->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) ) )
2917, 27, 28syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  =  ( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) ) )
3016, 29mpbird 232 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  ( # `  ( `' P " { 0 } ) ) )
318, 11, 303eqtr2rd 2515 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  =  (deg `  P ) )
32 id 22 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN )
338, 32eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  e.  NN )
341, 2, 3, 7, 31, 33vieta1 22442 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ x  e.  ( `' P " { 0 } ) x  =  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) ) )
35 id 22 . . 3  |-  ( x  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  ->  x  =  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
36 oveq1 6289 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  pi )  =  ( k  x.  pi ) )
3736oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )
3837fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
3938oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
40 ovex 6307 . . . . 5  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
4139, 12, 40fvmpt 5948 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
4241adantl 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
43 cnvimass 5355 . . . . 5  |-  ( `' P " { 0 } )  C_  dom  P
44 plyf 22330 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (Poly `  CC )  ->  P : CC --> CC )
45 fdm 5733 . . . . . 6  |-  ( P : CC --> CC  ->  dom 
P  =  CC )
467, 44, 453syl 20 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  dom  P  =  CC )
4743, 46syl5sseq 3552 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  C_  CC )
4847sselda 3504 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  x  e.  ( `' P " { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
4935, 17, 13, 42, 48fsumf1o 13504 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ x  e.  ( `' P " { 0 } ) x  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
506simp3d 1010 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) )
518oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(deg `  P )  -  1 )  =  ( M  -  1 ) )
5250, 51fveq12d 5870 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) ) )
53 nnm1nn0 10833 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
54 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )
5554oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
56 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  ( M  -  1
) ) )
5756oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) )
5855, 57oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
59 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )
60 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) )  e.  _V
6158, 59, 60fvmpt 5948 . . . . . . 7  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1 ) ) ) ) )
6253, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
63 nncn 10540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
64 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
65 nncan 9844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
6663, 64, 65sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
6766oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) )  =  ( -u 1 ^ 1 ) )
68 neg1cn 10635 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
69 exp1 12136 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
7167, 70syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) )  =  -u 1 )
7271oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  -u 1 ) )
73 2nn 10689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
74 nnmulcl 10555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
7573, 74mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
7675peano2nnd 10549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
774, 76syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
7877nnnn0d 10848 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
79 2z 10892 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
80 nnz 10882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
81 peano2zm 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
83 zmulcl 10907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )
8479, 82, 83sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )
85 bccl 12364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
8678, 84, 85syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
8786nn0cnd 10850 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC )
88 mulcom 9574 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
8987, 68, 88sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
9087mulm1d 10004 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9172, 89, 903eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9252, 62, 913eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9387negcld 9913 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC )
9492, 93eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  e.  CC )
9550, 8fveq12d 5870 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M ) )
96 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
9796oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  M ) ) )
98 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  M ) )
9998oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )
10097, 99oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
101 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )  e.  _V
102100, 59, 101fvmpt 5948 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M
) ) ) )
1039, 102syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
10463subidd 9914 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  M )  =  0 )
105104oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
106 exp0 12134 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
10768, 106ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
108105, 107syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  1 )
109108oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  1 ) )
110 1nn0 10807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN0
111 nn0uz 11112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
112110, 111eleqtri 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
113 fzss1 11718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
114112, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
11575nnred 10547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  RR )
116115lep1d 10473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
117116, 4syl6breqr 4487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  N )
118 nnuz 11113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11975, 118syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
12077nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
121 elfz5 11676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
122119, 120, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
123117, 122mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 1 ... N ) )
124114, 123sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 0 ... N ) )
125 bccl2 12365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
126124, 125syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
127126nncnd 10548 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
128127mulid1d 9609 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  1 )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M
) ) )
129109, 128eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
13095, 103, 1293eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
131130, 127eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  e.  CC )
132126nnne0d 10576 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =/=  0 )
133130, 132eqnetrd 2760 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =/=  0 )
13494, 131, 133divnegd 10329 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  (
-u ( (coeff `  P ) `  (
(deg `  P )  -  1 ) )  /  ( (coeff `  P ) `  (deg `  P ) ) ) )
13592negeqd 9810 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  -u -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
13687negnegd 9917 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
137135, 136eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
138137, 130oveq12d 6300 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u ( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  ( ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) ) )
139 bcm1k 12357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
140123, 139syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
14175nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
142 1cnd 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  CC )
143141, 142, 142pnncand 9965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
1444oveq1i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )
145 df-2 10590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =  ( 1  +  1 )
146143, 144, 1453eqtr4g 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
2  x.  M )  -  1 ) )  =  2 )
147 2nn0 10808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
148146, 147syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN0 )
149 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN0 )
15075, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN0 )
151 nn0sub 10842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  <_  N  <->  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN0 ) )
152150, 78, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  <_  N  <->  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  e. 
NN0 ) )
153148, 152mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  <_  N )
154632timesd 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  =  ( M  +  M ) )
155154oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =  ( ( M  +  M )  - 
1 ) )
15663, 63, 142addsubd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  +  M
)  -  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  M ) )
157155, 156eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  M ) )
158 nn0nnaddcl 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  M
)  e.  NN )
15953, 158mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  +  M )  e.  NN )
160157, 159eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN )
161160, 118syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
162 elfz5 11676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
2  x.  M )  -  1 )  <_  N ) )
163161, 120, 162syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
2  x.  M )  -  1 )  <_  N ) )
164153, 163mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
165 bcm1k 12357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
166164, 165syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
167642timesi 10652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
168167eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 )
169168oveq2i 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  M )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  -  (
2  x.  1 ) )
170141, 142, 142subsub4d 9957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  -  ( 1  +  1 ) ) )
171 2cnd 10604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  2  e.  CC )
172171, 63, 142subdid 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
173169, 170, 1723eqtr4a 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )
174173oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
17577nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  CC )
176160nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  CC )
177175, 176, 142subsubd 9954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  1 ) )
178146oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
179 df-3 10591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =  ( 2  +  1 )
180178, 179syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  1 )  =  3 )
181177, 180eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  =  3 )
182181oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )
183174, 182oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
184166, 183eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
185146oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) )  =  ( 2  / 
( 2  x.  M
) ) )
186184, 185oveq12d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  x.  ( 2  /  (
2  x.  M ) ) ) )
187 3re 10605 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  RR
188 nndivre 10567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  RR )
189187, 160, 188sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  RR )
190189recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
191 2re 10601 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
192 nndivre 10567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  M
)  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 2  x.  M
) )  e.  RR )
193191, 75, 192sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
194193recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  /  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
19587, 190, 194mulassd 9615 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
2  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
196140, 186, 1953eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
197 3cn 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
198197a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  3  e.  CC )
199160nnne0d 10576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =/=  0 )
20075nnne0d 10576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  =/=  0 )
201198, 176, 171, 141, 199, 200divmuldivd 10357 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 3  x.  2 )  / 
( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  x.  (
2  x.  M ) ) ) )
202 3t2e6 10683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
203202a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  x.  2 )  =  6 )
204176, 141mulcomd 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )
205203, 204oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  x.  2 )  /  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  x.  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
206201, 205eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
207206oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( ( 3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  ( 2  / 
( 2  x.  M
) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) ) )
208196, 207eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) ) )
209208oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )  / 
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
210 6re 10612 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  RR
21175, 160nnmulcld 10579 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN )
212 nndivre 10567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 6  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  NN )  ->  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  e.  RR )
213210, 211, 212sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
214213recnd 9618 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  e.  CC )
215 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
216160, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
217173, 216eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  NN0 )
218217nn0red 10849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  RR )
219160nnred 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  RR )
22077nnred 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  RR )
221219ltm1d 10474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  <  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
222173, 221eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
223218, 219, 222ltled 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
224218, 219, 220, 223, 153letrd 9734 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <_  N )
225217, 111syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
226 elfz5 11676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) )  <_  N ) )
227225, 120, 226syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) )  <_  N ) )
228224, 227mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N ) )
229 bccl2 12365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN )
230228, 229syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN )
231230nnne0d 10576 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  =/=  0 )
232214, 87, 231divcan3d 10321 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
233209, 232eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
234233oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) ) )
235127, 87, 132, 231recdivd 10333 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  / 
( N  _C  (
2  x.  M ) ) ) )
236211nncnd 10548 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
237211nnne0d 10576 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =/=  0 )
238 6cn 10613 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
239 6nn 10693 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
240239nnne0i 10566 . . . . . 6  |-  6  =/=  0
241 recdiv 10246 . . . . . 6  |-  ( ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
242238, 240, 241mpanl12 682 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 ) )
243236, 237, 242syl2anc 661 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( 6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )
244234, 235, 2433eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )
245134, 138, 2443eqtrd 2512 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 ) )
24634, 49, 2453eqtr3d 2516 1  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ~~ cen 7510   Fincfn 7513   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   3c3 10582   6c6 10585   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   ^cexp 12130    _C cbc 12344   #chash 12369   sum_csu 13467   tanctan 13659   picpi 13660   0pc0p 21811  Polycply 22316  coeffccoe 22318  degcdgr 22319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-tan 13665  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-0p 21812  df-limc 22005  df-dv 22006  df-ply 22320  df-idp 22321  df-coe 22322  df-dgr 22323  df-quot 22421
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