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Theorem basellem5 23483
Description: Lemma for basel 23488. Using vieta1 22833, we can calculate the sum of the roots of  P as the quotient of the top two coefficients, and since the function  T enumerates the roots, we are left with an equation that sums the  cot ^ 2 function at the  M different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
basel.t  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
Assertion
Ref Expression
basellem5  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
Distinct variable groups:    j, k,
t, n, M    j, N, k, n, t    P, k, n    T, k
Allowed substitution hints:    P( t, j)    T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . 3  |-  (coeff `  P )  =  (coeff `  P )
2 eqid 2457 . . 3  |-  (deg `  P )  =  (deg
`  P )
3 eqid 2457 . . 3  |-  ( `' P " { 0 } )  =  ( `' P " { 0 } )
4 basel.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
5 basel.p . . . . 5  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
64, 5basellem2 23480 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
76simp1d 1008 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
86simp2d 1009 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
9 nnnn0 10823 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
10 hashfz1 12421 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
12 basel.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
134, 5, 12basellem4 23482 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
14 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
1514f1oen 7555 . . . . . 6  |-  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } )  ->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
1613, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
17 fzfid 12085 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
18 nnne0 10589 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
198, 18eqnetrd 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =/=  0
)
20 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  0p  -> 
(deg `  P )  =  (deg `  0p
) )
21 dgr0 22784 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0p )  =  0
2220, 21syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  0p  -> 
(deg `  P )  =  0 )
2322necon3i 2697 . . . . . . . . 9  |-  ( (deg
`  P )  =/=  0  ->  P  =/=  0p )
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =/=  0p )
253fta1 22829 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  P  =/=  0p )  -> 
( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
267, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
2726simpld 459 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )
28 hashen 12422 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( 1 ... M
) )  =  (
# `  ( `' P " { 0 } ) )  <->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) ) )
2917, 27, 28syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  =  ( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) ) )
3016, 29mpbird 232 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  ( # `  ( `' P " { 0 } ) ) )
318, 11, 303eqtr2rd 2505 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  =  (deg `  P ) )
32 id 22 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN )
338, 32eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  e.  NN )
341, 2, 3, 7, 31, 33vieta1 22833 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ x  e.  ( `' P " { 0 } ) x  =  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) ) )
35 id 22 . . 3  |-  ( x  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  ->  x  =  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
36 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  pi )  =  ( k  x.  pi ) )
3736oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )
3837fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
3938oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
40 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
4139, 12, 40fvmpt 5956 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
4241adantl 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
43 cnvimass 5367 . . . . 5  |-  ( `' P " { 0 } )  C_  dom  P
44 plyf 22720 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (Poly `  CC )  ->  P : CC --> CC )
45 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( P : CC --> CC  ->  dom 
P  =  CC )
467, 44, 453syl 20 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  dom  P  =  CC )
4743, 46syl5sseq 3547 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  C_  CC )
4847sselda 3499 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  x  e.  ( `' P " { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
4935, 17, 13, 42, 48fsumf1o 13556 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ x  e.  ( `' P " { 0 } ) x  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
506simp3d 1010 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) )
518oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(deg `  P )  -  1 )  =  ( M  -  1 ) )
5250, 51fveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) ) )
53 nnm1nn0 10858 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
54 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )
5554oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
56 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  ( M  -  1
) ) )
5756oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) )
5855, 57oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
59 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )
60 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) )  e.  _V
6158, 59, 60fvmpt 5956 . . . . . . 7  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1 ) ) ) ) )
6253, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
63 nncn 10564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
64 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
65 nncan 9867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
6663, 64, 65sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
6766oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) )  =  ( -u 1 ^ 1 ) )
68 neg1cn 10660 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
69 exp1 12174 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
7167, 70syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) )  =  -u 1 )
7271oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  -u 1 ) )
73 2nn 10714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
74 nnmulcl 10579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
7573, 74mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
7675peano2nnd 10573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
774, 76syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
7877nnnn0d 10873 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
79 2z 10917 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
80 nnz 10907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
81 peano2zm 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
83 zmulcl 10933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )
8479, 82, 83sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )
85 bccl 12402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
8678, 84, 85syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
8786nn0cnd 10875 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC )
88 mulcom 9595 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
8987, 68, 88sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
9087mulm1d 10029 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9172, 89, 903eqtrd 2502 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9252, 62, 913eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9387negcld 9937 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC )
9492, 93eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  e.  CC )
9550, 8fveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M ) )
96 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
9796oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  M ) ) )
98 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  M ) )
9998oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )
10097, 99oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
101 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )  e.  _V
102100, 59, 101fvmpt 5956 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M
) ) ) )
1039, 102syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
10463subidd 9938 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  M )  =  0 )
105104oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
106 exp0 12172 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
10768, 106ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
108105, 107syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  1 )
109108oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  1 ) )
110 1eluzge0 11149 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
111 fzss1 11747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
11375nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  RR )
114113lep1d 10497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
115114, 4syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  N )
116 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11775, 116syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
11877nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
119 elfz5 11705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
120117, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
121115, 120mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 1 ... N ) )
122112, 121sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 0 ... N ) )
123 bccl2 12403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
125124nncnd 10572 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
126125mulid1d 9630 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  1 )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M
) ) )
127109, 126eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
12895, 103, 1273eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
129128, 125eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  e.  CC )
130124nnne0d 10601 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =/=  0 )
131128, 130eqnetrd 2750 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =/=  0 )
13294, 129, 131divnegd 10354 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  (
-u ( (coeff `  P ) `  (
(deg `  P )  -  1 ) )  /  ( (coeff `  P ) `  (deg `  P ) ) ) )
13392negeqd 9833 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  -u -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
13487negnegd 9941 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
135133, 134eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
136135, 128oveq12d 6314 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u ( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  ( ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) ) )
137 bcm1k 12395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
138121, 137syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
13975nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
140 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  CC )
141139, 140, 140pnncand 9989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
1424oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )
143 df-2 10615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =  ( 1  +  1 )
144141, 142, 1433eqtr4g 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
2  x.  M )  -  1 ) )  =  2 )
145 2nn0 10833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
146144, 145syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN0 )
147 nnm1nn0 10858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN0 )
14875, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN0 )
149 nn0sub 10867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  <_  N  <->  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN0 ) )
150148, 78, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  <_  N  <->  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  e. 
NN0 ) )
151146, 150mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  <_  N )
152632timesd 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  =  ( M  +  M ) )
153152oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =  ( ( M  +  M )  - 
1 ) )
15463, 63, 140addsubd 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  +  M
)  -  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  M ) )
155153, 154eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  M ) )
156 nn0nnaddcl 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  M
)  e.  NN )
15753, 156mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  +  M )  e.  NN )
158155, 157eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN )
159158, 116syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
160 elfz5 11705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
2  x.  M )  -  1 )  <_  N ) )
161159, 118, 160syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
2  x.  M )  -  1 )  <_  N ) )
162151, 161mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
163 bcm1k 12395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
164162, 163syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
165642timesi 10677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
166165eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 )
167166oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  M )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  -  (
2  x.  1 ) )
168139, 140, 140subsub4d 9981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  -  ( 1  +  1 ) ) )
169 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  2  e.  CC )
170169, 63, 140subdid 10033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
171167, 168, 1703eqtr4a 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )
172171oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
17377nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  CC )
174158nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  CC )
175173, 174, 140subsubd 9978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  1 ) )
176144oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
177 df-3 10616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =  ( 2  +  1 )
178176, 177syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  1 )  =  3 )
179175, 178eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  =  3 )
180179oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )
181172, 180oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
182164, 181eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
183144oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) )  =  ( 2  / 
( 2  x.  M
) ) )
184182, 183oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  x.  ( 2  /  (
2  x.  M ) ) ) )
185 3re 10630 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  RR
186 nndivre 10592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  RR )
187185, 158, 186sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  RR )
188187recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
189 2re 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
190 nndivre 10592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  M
)  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 2  x.  M
) )  e.  RR )
191189, 75, 190sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
192191recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  /  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
19387, 188, 192mulassd 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
2  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
194138, 184, 1933eqtrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
195 3cn 10631 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  3  e.  CC )
197158nnne0d 10601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =/=  0 )
19875nnne0d 10601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  =/=  0 )
199196, 174, 169, 139, 197, 198divmuldivd 10382 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 3  x.  2 )  / 
( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  x.  (
2  x.  M ) ) ) )
200 3t2e6 10708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
201200a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  x.  2 )  =  6 )
202174, 139mulcomd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )
203201, 202oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  x.  2 )  /  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  x.  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
204199, 203eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
205204oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( ( 3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  ( 2  / 
( 2  x.  M
) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) ) )
206194, 205eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) ) )
207206oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )  / 
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
208 6re 10637 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  RR
20975, 158nnmulcld 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN )
210 nndivre 10592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 6  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  NN )  ->  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  e.  RR )
211208, 209, 210sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
212211recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  e.  CC )
213 nnm1nn0 10858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
214158, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
215171, 214eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  NN0 )
216215nn0red 10874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  RR )
217158nnred 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  RR )
21877nnred 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  RR )
219217ltm1d 10498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  <  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
220171, 219eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
221216, 217, 220ltled 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
222216, 217, 218, 221, 151letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <_  N )
223 nn0uz 11140 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
224215, 223syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
225 elfz5 11705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) )  <_  N ) )
226224, 118, 225syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) )  <_  N ) )
227222, 226mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N ) )
228 bccl2 12403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN )
229227, 228syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN )
230229nnne0d 10601 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  =/=  0 )
231212, 87, 230divcan3d 10346 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
232207, 231eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
233232oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) ) )
234125, 87, 130, 230recdivd 10358 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  / 
( N  _C  (
2  x.  M ) ) ) )
235209nncnd 10572 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
236209nnne0d 10601 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =/=  0 )
237 6cn 10638 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
238 6nn 10718 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
239238nnne0i 10591 . . . . . 6  |-  6  =/=  0
240 recdiv 10271 . . . . . 6  |-  ( ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
241237, 239, 240mpanl12 682 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 ) )
242235, 236, 241syl2anc 661 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( 6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )
243233, 234, 2423eqtr3d 2506 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )
244132, 136, 2433eqtrd 2502 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 ) )
24534, 49, 2443eqtr3d 2506 1  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   "cima 5011   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ~~ cen 7532   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   6c6 10610   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   ^cexp 12168    _C cbc 12382   #chash 12407   sum_csu 13519   tanctan 13812   picpi 13813   0pc0p 22201  Polycply 22706  coeffccoe 22708  degcdgr 22709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-tan 13818  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-0p 22202  df-limc 22395  df-dv 22396  df-ply 22710  df-idp 22711  df-coe 22712  df-dgr 22713  df-quot 22812
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