Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem5 Structured version   Unicode version

Theorem basellem5 23874
 Description: Lemma for basel 23879. Using vieta1 23133, we can calculate the sum of the roots of as the quotient of the top two coefficients, and since the function enumerates the roots, we are left with an equation that sums the function at the different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n
basel.p
basel.t
Assertion
Ref Expression
basellem5
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3 coeff coeff
2 eqid 2429 . . 3 deg deg
3 eqid 2429 . . 3
4 basel.n . . . . 5
5 basel.p . . . . 5
64, 5basellem2 23871 . . . 4 Poly deg coeff
76simp1d 1017 . . 3 Poly
86simp2d 1018 . . . 4 deg
9 nnnn0 10876 . . . . 5
10 hashfz1 12526 . . . . 5
119, 10syl 17 . . . 4
12 basel.t . . . . . . 7
134, 5, 12basellem4 23873 . . . . . 6
14 ovex 6333 . . . . . . 7
1514f1oen 7597 . . . . . 6
1613, 15syl 17 . . . . 5
17 fzfid 12183 . . . . . 6
18 nnne0 10642 . . . . . . . . . 10
198, 18eqnetrd 2724 . . . . . . . . 9 deg
20 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11 deg deg
21 dgr0 23084 . . . . . . . . . . 11 deg
2220, 21syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10 deg
2322necon3i 2671 . . . . . . . . 9 deg
2419, 23syl 17 . . . . . . . 8
253fta1 23129 . . . . . . . 8 Poly deg
267, 24, 25syl2anc 665 . . . . . . 7 deg
2726simpld 460 . . . . . 6
28 hashen 12527 . . . . . 6
2917, 27, 28syl2anc 665 . . . . 5
3016, 29mpbird 235 . . . 4
318, 11, 303eqtr2rd 2477 . . 3 deg
32 id 23 . . . 4
338, 32eqeltrd 2517 . . 3 deg
341, 2, 3, 7, 31, 33vieta1 23133 . 2 coeffdeg coeffdeg
35 id 23 . . 3
36 oveq1 6312 . . . . . . . 8
3736oveq1d 6320 . . . . . . 7
3837fveq2d 5885 . . . . . 6
3938oveq1d 6320 . . . . 5
40 ovex 6333 . . . . 5
4139, 12, 40fvmpt 5964 . . . 4
43 cnvimass 5208 . . . . 5
44 plyf 23020 . . . . . 6 Poly
45 fdm 5750 . . . . . 6
467, 44, 453syl 18 . . . . 5
4743, 46syl5sseq 3518 . . . 4
4847sselda 3470 . . 3
4935, 17, 13, 42, 48fsumf1o 13767 . 2
506simp3d 1019 . . . . . . 7 coeff
518oveq1d 6320 . . . . . . 7 deg
5250, 51fveq12d 5887 . . . . . 6 coeffdeg
53 nnm1nn0 10911 . . . . . . 7
54 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10
5554oveq2d 6321 . . . . . . . . 9
56 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10
5756oveq2d 6321 . . . . . . . . 9
5855, 57oveq12d 6323 . . . . . . . 8
59 eqid 2429 . . . . . . . 8
60 ovex 6333 . . . . . . . 8
6158, 59, 60fvmpt 5964 . . . . . . 7
6253, 61syl 17 . . . . . 6
63 nncn 10617 . . . . . . . . . . 11
64 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . . 11
65 nncan 9902 . . . . . . . . . . 11
6663, 64, 65sylancl 666 . . . . . . . . . 10
6766oveq2d 6321 . . . . . . . . 9
68 neg1cn 10713 . . . . . . . . . 10
69 exp1 12275 . . . . . . . . . 10
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9
7167, 70syl6eq 2486 . . . . . . . 8
7271oveq2d 6321 . . . . . . 7
73 2nn 10767 . . . . . . . . . . . . . 14
74 nnmulcl 10632 . . . . . . . . . . . . . 14
7573, 74mpan 674 . . . . . . . . . . . . 13
7675peano2nnd 10626 . . . . . . . . . . . 12
774, 76syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . 11
7877nnnn0d 10925 . . . . . . . . . 10
79 2z 10969 . . . . . . . . . . 11
80 nnz 10959 . . . . . . . . . . . 12
81 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . . 12
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11
83 zmulcl 10985 . . . . . . . . . . 11
8479, 82, 83sylancr 667 . . . . . . . . . 10
85 bccl 12504 . . . . . . . . . 10
8678, 84, 85syl2anc 665 . . . . . . . . 9
8786nn0cnd 10927 . . . . . . . 8
88 mulcom 9624 . . . . . . . 8
8987, 68, 88sylancl 666 . . . . . . 7
9087mulm1d 10069 . . . . . . 7
9172, 89, 903eqtrd 2474 . . . . . 6
9252, 62, 913eqtrd 2474 . . . . 5 coeffdeg
9387negcld 9972 . . . . 5
9492, 93eqeltrd 2517 . . . 4 coeffdeg
9550, 8fveq12d 5887 . . . . . 6 coeffdeg
96 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10
9796oveq2d 6321 . . . . . . . . 9
98 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10
9998oveq2d 6321 . . . . . . . . 9
10097, 99oveq12d 6323 . . . . . . . 8
101 ovex 6333 . . . . . . . 8
102100, 59, 101fvmpt 5964 . . . . . . 7
1039, 102syl 17 . . . . . 6
10463subidd 9973 . . . . . . . . . 10
105104oveq2d 6321 . . . . . . . . 9
106 exp0 12273 . . . . . . . . . 10
10768, 106ax-mp 5 . . . . . . . . 9
108105, 107syl6eq 2486 . . . . . . . 8
109108oveq2d 6321 . . . . . . 7
110 1eluzge0 11202 . . . . . . . . . . . 12
111 fzss1 11835 . . . . . . . . . . . 12
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
11375nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . 14
114113lep1d 10538 . . . . . . . . . . . . 13
115114, 4syl6breqr 4466 . . . . . . . . . . . 12
116 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . . 14
11775, 116syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . 13
11877nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . 13
119 elfz5 11790 . . . . . . . . . . . . 13
120117, 118, 119syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12
121115, 120mpbird 235 . . . . . . . . . . 11
122112, 121sseldi 3468 . . . . . . . . . 10
123 bccl2 12505 . . . . . . . . . 10
124122, 123syl 17 . . . . . . . . 9
125124nncnd 10625 . . . . . . . 8
126125mulid1d 9659 . . . . . . 7
127109, 126eqtrd 2470 . . . . . 6
12895, 103, 1273eqtrd 2474 . . . . 5 coeffdeg
129128, 125eqeltrd 2517 . . . 4 coeffdeg
130124nnne0d 10654 . . . . 5
131128, 130eqnetrd 2724 . . . 4 coeffdeg
13294, 129, 131divnegd 10395 . . 3 coeffdeg coeffdeg coeffdeg coeffdeg
13392negeqd 9868 . . . . 5 coeffdeg
13487negnegd 9976 . . . . 5
135133, 134eqtrd 2470 . . . 4 coeffdeg
136135, 128oveq12d 6323 . . 3 coeffdeg coeffdeg
137 bcm1k 12497 . . . . . . . . . 10
138121, 137syl 17 . . . . . . . . 9
13975nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141139, 140, 140pnncand 10024 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1424oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143 df-2 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144141, 142, 1433eqtr4g 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15
145 2nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . . 15
146144, 145syl6eqel 2525 . . . . . . . . . . . . . 14
147 nnm1nn0 10911 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14875, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
149 nn0sub 10920 . . . . . . . . . . . . . . 15
150148, 78, 149syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14
151146, 150mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13
152632timesd 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153152oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15463, 63, 140addsubd 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
155153, 154eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16
156 nn0nnaddcl 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15753, 156mpancom 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158155, 157eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15
159158, 116syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . 14
160 elfz5 11790 . . . . . . . . . . . . . 14
161159, 118, 160syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13
162151, 161mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12
163 bcm1k 12497 . . . . . . . . . . . 12
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . 11
165642timesi 10730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166165eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15
167166oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . 14
168139, 140, 140subsub4d 10016 . . . . . . . . . . . . . 14
169 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . 15
170169, 63, 140subdid 10073 . . . . . . . . . . . . . 14
171167, 168, 1703eqtr4a 2496 . . . . . . . . . . . . 13
172171oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12
17377nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15
174158nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15
175173, 174, 140subsubd 10013 . . . . . . . . . . . . . 14
176144oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15
177 df-3 10669 . . . . . . . . . . . . . . 15
178176, 177syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . 14
179175, 178eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13
180179oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12
181172, 180oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11
182164, 181eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10
183144oveq1d 6320 . . . . . . . . . 10
184182, 183oveq12d 6323 . . . . . . . . 9
185 3re 10683 . . . . . . . . . . . 12
186 nndivre 10645 . . . . . . . . . . . 12
187185, 158, 186sylancr 667 . . . . . . . . . . 11
188187recnd 9668 . . . . . . . . . 10
189 2re 10679 . . . . . . . . . . . 12
190 nndivre 10645 . . . . . . . . . . . 12
191189, 75, 190sylancr 667 . . . . . . . . . . 11
192191recnd 9668 . . . . . . . . . 10
19387, 188, 192mulassd 9665 . . . . . . . . 9
194138, 184, 1933eqtrd 2474 . . . . . . . 8
195 3cn 10684 . . . . . . . . . . . 12
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11
197158nnne0d 10654 . . . . . . . . . . 11
19875nnne0d 10654 . . . . . . . . . . 11
199196, 174, 169, 139, 197, 198divmuldivd 10423 . . . . . . . . . 10
200 3t2e6 10761 . . . . . . . . . . . 12
201200a1i 11 . . . . . . . . . . 11
202174, 139mulcomd 9663 . . . . . . . . . . 11
203201, 202oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10
204199, 203eqtrd 2470 . . . . . . . . 9
205204oveq2d 6321 . . . . . . . 8
206194, 205eqtrd 2470 . . . . . . 7
207206oveq1d 6320 . . . . . 6
208 6re 10690 . . . . . . . . 9
20975, 158nnmulcld 10657 . . . . . . . . 9
210 nndivre 10645 . . . . . . . . 9
211208, 209, 210sylancr 667 . . . . . . . 8
212211recnd 9668 . . . . . . 7
213 nnm1nn0 10911 . . . . . . . . . . . . . 14
214158, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
215171, 214eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . 12
216215nn0red 10926 . . . . . . . . . . 11
217158nnred 10624 . . . . . . . . . . 11
21877nnred 10624 . . . . . . . . . . 11
219217ltm1d 10539 . . . . . . . . . . . . 13
220171, 219eqbrtrrd 4448 . . . . . . . . . . . 12
221216, 217, 220ltled 9782 . . . . . . . . . . 11
222216, 217, 218, 221, 151letrd 9791 . . . . . . . . . 10
223 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . 12
224215, 223syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . 11
225 elfz5 11790 . . . . . . . . . . 11
226224, 118, 225syl2anc 665 . . . . . . . . . 10
227222, 226mpbird 235 . . . . . . . . 9
228 bccl2 12505 . . . . . . . . 9
229227, 228syl 17 . . . . . . . 8
230229nnne0d 10654 . . . . . . 7
231212, 87, 230divcan3d 10387 . . . . . 6
232207, 231eqtrd 2470 . . . . 5
233232oveq2d 6321 . . . 4
234125, 87, 130, 230recdivd 10399 . . . 4
235209nncnd 10625 . . . . 5
236209nnne0d 10654 . . . . 5
237 6cn 10691 . . . . . 6
238 6nn 10771 . . . . . . 7
239238nnne0i 10644 . . . . . 6
240 recdiv 10312 . . . . . 6
241237, 239, 240mpanl12 686 . . . . 5
242235, 236, 241syl2anc 665 . . . 4
243233, 234, 2423eqtr3d 2478 . . 3
244132, 136, 2433eqtrd 2474 . 2 coeffdeg coeffdeg
24534, 49, 2443eqtr3d 2478 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625   wss 3442  csn 4002   class class class wbr 4426   cmpt 4484  ccnv 4853   cdm 4854  cima 4857  wf 5597  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305   cen 7574  cfn 7577  cc 9536  cr 9537  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541   cmul 9543   clt 9674   cle 9675   cmin 9859  cneg 9860   cdiv 10268  cn 10609  c2 10659  c3 10660  c6 10663  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  cfz 11782  cexp 12269   cbc 12484  chash 12512  csu 13730  ctan 14096  cpi 14097  c0p 22504  Polycply 23006  coeffccoe 23008  degcdgr 23009 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-tan 14103  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-0p 22505  df-limc 22698  df-dv 22699  df-ply 23010  df-idp 23011  df-coe 23012  df-dgr 23013  df-quot 23112 This theorem is referenced by:  basellem8  23877
 Copyright terms: Public domain W3C validator