Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem basellem4 24003
 Description: Lemma for basel 24009. By basellem3 24002, the expression goes to zero whenever for some , so this function enumerates distinct roots of a degree- polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 23254. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n
basel.p
basel.t
Assertion
Ref Expression
basellem4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem basellem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 basel.n . . . . . . . . 9
21basellem1 24000 . . . . . . . 8
3 tanrpcl 23452 . . . . . . . 8
42, 3syl 17 . . . . . . 7
5 2z 10966 . . . . . . . 8
6 znegcl 10969 . . . . . . . 8
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7
8 rpexpcl 12288 . . . . . . 7
94, 7, 8sylancl 667 . . . . . 6
109rpcnd 11340 . . . . 5
11 basel.p . . . . . . . 8
121, 11basellem3 24002 . . . . . . 7
132, 12syldan 473 . . . . . 6
14 elfzelz 11797 . . . . . . . . . . . . . 14
1514adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13
1615zred 11037 . . . . . . . . . . . 12
17 pire 23406 . . . . . . . . . . . 12
18 remulcl 9621 . . . . . . . . . . . 12
1916, 17, 18sylancl 667 . . . . . . . . . . 11
2019recnd 9666 . . . . . . . . . 10
21 2nn 10764 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 nnmulcl 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22mpan 675 . . . . . . . . . . . . . 14
2423peano2nnd 10623 . . . . . . . . . . . . 13
251, 24syl5eqel 2532 . . . . . . . . . . . 12
2625adantr 467 . . . . . . . . . . 11
2726nncnd 10622 . . . . . . . . . 10
2826nnne0d 10651 . . . . . . . . . 10
2920, 27, 28divcan2d 10382 . . . . . . . . 9
3029fveq2d 5867 . . . . . . . 8
31 sinkpi 23467 . . . . . . . . 9
3215, 31syl 17 . . . . . . . 8
3330, 32eqtrd 2484 . . . . . . 7
3433oveq1d 6303 . . . . . 6
3519, 26nndivred 10655 . . . . . . . . . 10
3635resincld 14190 . . . . . . . . 9
3736recnd 9666 . . . . . . . 8
3826nnnn0d 10922 . . . . . . . 8
3937, 38expcld 12413 . . . . . . 7
40 sincosq1sgn 23446 . . . . . . . . . . 11
412, 40syl 17 . . . . . . . . . 10
4241simpld 461 . . . . . . . . 9
4342gt0ne0d 10175 . . . . . . . 8
4426nnzd 11036 . . . . . . . 8
4537, 43, 44expne0d 12419 . . . . . . 7
4639, 45div0d 10379 . . . . . 6
4713, 34, 463eqtrd 2488 . . . . 5
481, 11basellem2 24001 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff
4948simp1d 1019 . . . . . . . 8 Poly
50 plyf 23145 . . . . . . . 8 Poly
51 ffn 5726 . . . . . . . 8
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7
5352adantr 467 . . . . . 6
54 fniniseg 6001 . . . . . 6
5553, 54syl 17 . . . . 5
5610, 47, 55mpbir2and 932 . . . 4
57 basel.t . . . 4
5856, 57fmptd 6044 . . 3
59 fveq2 5863 . . . . . 6
60 fveq2 5863 . . . . . 6
61 fveq2 5863 . . . . . 6
6214zred 11037 . . . . . . 7
6362ssriv 3435 . . . . . 6
649rpred 11338 . . . . . . . 8
6564, 57fmptd 6044 . . . . . . 7
6665ffvelrnda 6020 . . . . . 6
67 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . 14
6863sseli 3427 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
7063sseli 3427 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7170ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
7217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 pipos 23408 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 ltmul1 10452 . . . . . . . . . . . . . . 15
7669, 71, 72, 74, 75syl112anc 1271 . . . . . . . . . . . . . 14
7767, 76mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13
78 remulcl 9621 . . . . . . . . . . . . . . 15
7969, 17, 78sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14
80 remulcl 9621 . . . . . . . . . . . . . . 15
8171, 17, 80sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14
8225ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382nnred 10621 . . . . . . . . . . . . . 14
8482nngt0d 10650 . . . . . . . . . . . . . 14
85 ltdiv1 10466 . . . . . . . . . . . . . 14
8679, 81, 83, 84, 85syl112anc 1271 . . . . . . . . . . . . 13
8777, 86mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12
88 neghalfpirx 23414 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 pirp 23409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
90 rphalfcl 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
91 rpge0 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9289, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
93 halfpire 23412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
94 le0neg2 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9692, 95mpbi 212 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 iooss1 11668 . . . . . . . . . . . . . . 15
9888, 96, 97mp2an 677 . . . . . . . . . . . . . 14
991basellem1 24000 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099ad2ant2r 752 . . . . . . . . . . . . . 14
10198, 100sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . 13
1021basellem1 24000 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102ad2ant2rl 754 . . . . . . . . . . . . . 14
10498, 103sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . 13
105 tanord 23480 . . . . . . . . . . . . 13
106101, 104, 105syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12
10787, 106mpbid 214 . . . . . . . . . . 11
108 tanrpcl 23452 . . . . . . . . . . . . 13
109100, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12
110 tanrpcl 23452 . . . . . . . . . . . . 13
111103, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12
112 rprege0 11313 . . . . . . . . . . . . 13
113 rprege0 11313 . . . . . . . . . . . . 13
114 lt2sq 12345 . . . . . . . . . . . . 13
115112, 113, 114syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12
116109, 111, 115syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11
117107, 116mpbid 214 . . . . . . . . . 10
118 rpexpcl 12288 . . . . . . . . . . . 12
119109, 5, 118sylancl 667 . . . . . . . . . . 11
120 rpexpcl 12288 . . . . . . . . . . . 12
121111, 5, 120sylancl 667 . . . . . . . . . . 11
122119, 121ltrecd 11356 . . . . . . . . . 10
123117, 122mpbid 214 . . . . . . . . 9
124 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15
125124oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
126125fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . 13
127126oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12
128 ovex 6316 . . . . . . . . . . . 12
129127, 57, 128fvmpt 5946 . . . . . . . . . . 11
130129ad2antll 734 . . . . . . . . . 10
131111rpcnd 11340 . . . . . . . . . . 11
132 2nn0 10883 . . . . . . . . . . 11
133 expneg 12277 . . . . . . . . . . 11
134131, 132, 133sylancl 667 . . . . . . . . . 10
135130, 134eqtrd 2484 . . . . . . . . 9
136 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15
137136oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
138137fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . 13
139138oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12
140 ovex 6316 . . . . . . . . . . . 12
141139, 57, 140fvmpt 5946 . . . . . . . . . . 11
142141ad2antrl 733 . . . . . . . . . 10
143109rpcnd 11340 . . . . . . . . . . 11
144 expneg 12277 . . . . . . . . . . 11
145143, 132, 144sylancl 667 . . . . . . . . . 10
146142, 145eqtrd 2484 . . . . . . . . 9
147123, 135, 1463brtr4d 4432 . . . . . . . 8
148147an32s 812 . . . . . . 7
149148ex 436 . . . . . 6
15059, 60, 61, 63, 66, 149eqord2 10142 . . . . 5
151150biimprd 227 . . . 4
152151ralrimivva 2808 . . 3
153 dff13 6157 . . 3
15458, 152, 153sylanbrc 669 . 2
15548simp2d 1020 . . . . . . . . 9 deg
156 nnne0 10639 . . . . . . . . 9
157155, 156eqnetrd 2690 . . . . . . . 8 deg
158 fveq2 5863 . . . . . . . . . 10 deg deg
159 dgr0 23209 . . . . . . . . . 10 deg
160158, 159syl6eq 2500 . . . . . . . . 9 deg
161160necon3i 2655 . . . . . . . 8 deg
162157, 161syl 17 . . . . . . 7
163 eqid 2450 . . . . . . . 8
164163fta1 23254 . . . . . . 7 Poly deg
16549, 162, 164syl2anc 666 . . . . . 6 deg
166165simpld 461 . . . . 5
167 f1domg 7586 . . . . 5
168166, 154, 167sylc 62 . . . 4
169165simprd 465 . . . . . 6 deg
170 nnnn0 10873 . . . . . . . 8
171 hashfz1 12526 . . . . . . . 8
172170, 171syl 17 . . . . . . 7
173155, 172eqtr4d 2487 . . . . . 6 deg
174169, 173breqtrd 4426 . . . . 5
175 fzfid 12183 . . . . . 6
176 hashdom 12555 . . . . . 6
177166, 175, 176syl2anc 666 . . . . 5
178174, 177mpbid 214 . . . 4
179 sbth 7689 . . . 4
180168, 178, 179syl2anc 666 . . 3
181 f1finf1o 7795 . . 3
182180, 166, 181syl2anc 666 . 2
183154, 182mpbid 214 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  wral 2736   wss 3403  csn 3967   class class class wbr 4401   cmpt 4460  ccnv 4832  cima 4836   wfn 5576  wf 5577  wf1 5578  wf1o 5580  cfv 5581  (class class class)co 6288   cen 7563   cdom 7564  cfn 7566  cc 9534  cr 9535  cc0 9536  c1 9537   caddc 9539   cmul 9541  cxr 9671   clt 9672   cle 9673   cmin 9857  cneg 9858   cdiv 10266  cn 10606  c2 10656  cn0 10866  cz 10934  crp 11299  cioo 11632  cfz 11781  cexp 12269   cbc 12484  chash 12512  csu 13745  csin 14109  ccos 14110  ctan 14111  cpi 14112  c0p 22620  Polycply 23131  coeffccoe 23133  degcdgr 23134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-0p 22621  df-limc 22814  df-dv 22815  df-ply 23135  df-idp 23136  df-coe 23137  df-dgr 23138  df-quot 23237 This theorem is referenced by:  basellem5  24004
 Copyright terms: Public domain W3C validator