Theorem basellem4 23738

Description: Lemma for basel 23744. By basellem3 23737, the expression P ( ( cot x ) ^ 2 ) = sin ( N x ) / ( sin x ) ^ N goes to zero whenever x = n pi / N for some n e. ( 1 ... M ), so this function enumerates M distinct roots of a degree- M polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 22996. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.n	|- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
basel.p	|- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
basel.t	|- T = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
basellem4	|- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )

Distinct variable groups:   t, j, n, M   j, N, n, t   P, n

Allowed substitution hints:   P( t, j)   T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem4

Dummy variables k m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basel.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
2	1	basellem1 23735	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
3		tanrpcl 23189	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
5		2z 10937	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
6		znegcl 10940	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -u 2 e. ZZ
8		rpexpcl 12229	. . . . . . 7 |- ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR+ )
9	4, 7, 8	sylancl 660	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR+ )
10	9	rpcnd 11306	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
11		basel.p	. . . . . . . 8 |- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
12	1, 11	basellem3 23737	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
13	2, 12	syldan 468	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
14		elfzelz 11742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... M ) -> n e. ZZ )
15	14	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> n e. ZZ )
16	15	zred 11008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> n e. RR )
17		pire 23143	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR
18		remulcl 9607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. RR /\ pi e. RR ) -> ( n x. pi ) e. RR )
19	16, 17, 18	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( n x. pi ) e. RR )
20	19	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
21		2nn 10734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
22		nnmulcl 10599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
23	21, 22	mpan 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN )
24	23	peano2nnd 10593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. NN )
25	1, 24	syl5eqel 2494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> N e. NN )
26	25	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. NN )
27	26	nncnd 10592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. CC )
28	26	nnne0d 10621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N =/= 0 )
29	20, 27, 28	divcan2d 10363	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( n x. pi ) )
30	29	fveq2d 5853	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) = ( sin ` ( n x. pi ) ) )
31		sinkpi 23204	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( sin ` ( n x. pi ) ) = 0 )
32	15, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( n x. pi ) ) = 0 )
33	30, 32	eqtrd 2443	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) = 0 )
34	33	oveq1d 6293	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) = ( 0 / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
35	19, 26	nndivred 10625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n x. pi ) / N ) e. RR )
36	35	resincld 14087	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR )
37	36	recnd 9652	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. CC )
38	26	nnnn0d 10893	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. NN0 )
39	37, 38	expcld 12354	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) e. CC )
40		sincosq1sgn 23183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ) )
41	2, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ) )
42	41	simpld 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) )
43	42	gt0ne0d 10157	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
44	26	nnzd 11007	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. ZZ )
45	37, 43, 44	expne0d 12360	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) =/= 0 )
46	39, 45	div0d 10360	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) = 0 )
47	13, 34, 46	3eqtrd 2447	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 )
48	1, 11	basellem2 23736	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( P e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` P ) = M /\ (coeff ` P ) = ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ) )
49	48	simp1d 1009	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> P e. (Poly ` CC ) )
50		plyf 22887	. . . . . . . 8 |- ( P e. (Poly ` CC ) -> P : CC --> CC )
51		ffn 5714	. . . . . . . 8 |- ( P : CC --> CC -> P Fn CC )
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> P Fn CC )
53	52	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> P Fn CC )
54		fniniseg 5986	. . . . . 6 |- ( P Fn CC -> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) <-> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC /\ ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 ) ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) <-> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC /\ ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 ) ) )
56	10, 47, 55	mpbir2and 923	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) )
57		basel.t	. . . 4 |- T = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
58	56, 57	fmptd 6033	. . 3 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) )
59		fveq2 5849	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( T ` k ) = ( T ` m ) )
60		fveq2 5849	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( T ` k ) = ( T ` x ) )
61		fveq2 5849	. . . . . 6 |- ( k = y -> ( T ` k ) = ( T ` y ) )
62	14	zred 11008	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... M ) -> n e. RR )
63	62	ssriv 3446	. . . . . 6 |- ( 1 ... M ) C_ RR
64	9	rpred 11304	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
65	64, 57	fmptd 6033	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) --> RR )
66	65	ffvelrnda 6009	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( T ` k ) e. RR )
67		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> k < m )
68	63	sseli 3438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. RR )
69	68	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> k e. RR )
70	63	sseli 3438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> m e. RR )
71	70	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> m e. RR )
72	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> pi e. RR )
73		pipos 23145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < pi
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> 0 < pi )
75		ltmul1 10433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ m e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( k < m <-> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) ) )
76	69, 71, 72, 74, 75	syl112anc 1234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k < m <-> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) ) )
77	67, 76	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) )
78		remulcl 9607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ pi e. RR ) -> ( k x. pi ) e. RR )
79	69, 17, 78	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k x. pi ) e. RR )
80		remulcl 9607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ pi e. RR ) -> ( m x. pi ) e. RR )
81	71, 17, 80	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( m x. pi ) e. RR )
82	25	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> N e. NN )
83	82	nnred 10591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> N e. RR )
84	82	nngt0d 10620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> 0 < N )
85		ltdiv1 10447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) e. RR /\ ( m x. pi ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( k x. pi ) < ( m x. pi ) <-> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) ) )
86	79, 81, 83, 84, 85	syl112anc 1234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) < ( m x. pi ) <-> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) ) )
87	77, 86	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) )
88		neghalfpirx 23151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
89		pirp 23146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR+
90		rphalfcl 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
91		rpge0 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( pi / 2 ) )
92	89, 90, 91	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 <_ ( pi / 2 )
93		halfpire 23149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi / 2 ) e. RR
94		le0neg2 10102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( 0 <_ ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ 0 ) )
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 <_ ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ 0 )
96	92, 95	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( pi / 2 ) <_ 0
97		iooss1 11617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ -u ( pi / 2 ) <_ 0 ) -> ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
98	88, 96, 97	mp2an 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) )
99	1	basellem1 23735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
100	99	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
101	98, 100	sseldi 3440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
102	1	basellem1 23735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
103	102	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
104	98, 103	sseldi 3440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
105		tanord 23217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ ( ( m x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) <-> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
106	101, 104, 105	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) <-> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
107	87, 106	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) )
108		tanrpcl 23189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
109	100, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
110		tanrpcl 23189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
111	103, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
112		rprege0 11279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
113		rprege0 11279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
114		lt2sq 12286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) /\ ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
115	112, 113, 114	syl2an 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
116	109, 111, 115	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
117	107, 116	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
118		rpexpcl 12229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
119	109, 5, 118	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
120		rpexpcl 12229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
121	111, 5, 120	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
122	119, 121	ltrecd 11322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <-> ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) < ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
123	117, 122	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) < ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
124		oveq1 6285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( n x. pi ) = ( m x. pi ) )
125	124	oveq1d 6293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( ( n x. pi ) / N ) = ( ( m x. pi ) / N ) )
126	125	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) )
127	126	oveq1d 6293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
128		ovex 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. _V
129	127, 57, 128	fvmpt 5932	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> ( T ` m ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
130	129	ad2antll 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
131	111	rpcnd 11306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. CC )
132		2nn0 10853	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
133		expneg 12218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
134	131, 132, 133	sylancl 660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
135	130, 134	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
136		oveq1 6285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( n x. pi ) = ( k x. pi ) )
137	136	oveq1d 6293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( n x. pi ) / N ) = ( ( k x. pi ) / N ) )
138	137	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
139	138	oveq1d 6293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
140		ovex 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. _V
141	139, 57, 140	fvmpt 5932	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( T ` k ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
142	141	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` k ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
143	109	rpcnd 11306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
144		expneg 12218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
145	143, 132, 144	sylancl 660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
146	142, 145	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` k ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
147	123, 135, 146	3brtr4d 4425	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) < ( T ` k ) )
148	147	an32s 805	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) /\ k < m ) -> ( T ` m ) < ( T ` k ) )
149	148	ex 432	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k < m -> ( T ` m ) < ( T ` k ) ) )
150	59, 60, 61, 63, 66, 149	eqord2 10124	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( x = y <-> ( T ` x ) = ( T ` y ) ) )
151	150	biimprd 223	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
152	151	ralrimivva 2825	. . 3 |- ( M e. NN -> A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... M ) ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
153		dff13 6147	. . 3 |- ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> ( T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) /\ A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... M ) ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) ) )
154	58, 152, 153	sylanbrc 662	. 2 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) )
155	48	simp2d 1010	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) = M )
156		nnne0 10609	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
157	155, 156	eqnetrd 2696	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) =/= 0 )
158		fveq2 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( P = 0p -> (deg ` P ) = (deg ` 0p ) )
159		dgr0 22951	. . . . . . . . . 10 |- (deg ` 0p ) = 0
160	158, 159	syl6eq 2459	. . . . . . . . 9 |- ( P = 0p -> (deg ` P ) = 0 )
161	160	necon3i 2643	. . . . . . . 8 |- ( (deg ` P ) =/= 0 -> P =/= 0p )
162	157, 161	syl 17	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> P =/= 0p )
163		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( `' P " { 0 } ) = ( `' P " { 0 } )
164	163	fta1 22996	. . . . . . 7 |- ( ( P e. (Poly ` CC ) /\ P =/= 0p ) -> ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) ) )
165	49, 162, 164	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) ) )
166	165	simpld 457	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( `' P " { 0 } ) e. Fin )
167		f1domg 7573	. . . . 5 |- ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) -> ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) ) )
168	166, 154, 167	sylc 59	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) )
169	165	simprd 461	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) )
170		nnnn0 10843	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
171		hashfz1 12466	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
172	170, 171	syl 17	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
173	155, 172	eqtr4d 2446	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) = ( # ` ( 1 ... M ) ) )
174	169, 173	breqtrd 4419	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) )
175		fzfid 12124	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) e. Fin )
176		hashdom 12495	. . . . . 6 |- ( ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( 1 ... M ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) <-> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) )
177	166, 175, 176	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) <-> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) )
178	174, 177	mpbid 210	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) )
179		sbth 7675	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) /\ ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) -> ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) )
180	168, 178, 179	syl2anc 659	. . 3 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) )
181		f1finf1o 7781	. . 3 |- ( ( ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) /\ ( `' P " { 0 } ) e. Fin ) -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
182	180, 166, 181	syl2anc 659	. 2 |- ( M e. NN -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
183	154, 182	mpbid 210	1 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   C_ wss 3414   {csn 3972   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   "cima 4826   Fn wfn 5564   -->wf 5565   -1-1->wf1 5566   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   ~~ cen 7551   ~<_ cdom 7552   Fincfn 7554   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   x. cmul 9527   RR*cxr 9657   < clt 9658   <_ cle 9659   - cmin 9841   -ucneg 9842   / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   RR+crp 11265   (,)cioo 11582   ...cfz 11726   ^cexp 12210   _C cbc 12424   #chash 12452   sum_csu 13657   sincsin 14008   cosccos 14009   tanctan 14010   picpi 14011   0pc0p 22368  Polycply 22873  coeffccoe 22875  degcdgr 22876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-tan 14016  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-0p 22369  df-limc 22562  df-dv 22563  df-ply 22877  df-idp 22878  df-coe 22879  df-dgr 22880  df-quot 22979

This theorem is referenced by:  basellem5  23739