Theorem basellem4 20819

Description: Lemma for basel 20825. By basellem3 20818, the expression P ( ( cot x ) ^ 2 ) = sin ( N x ) / ( sin x ) ^ N goes to zero whenever x = n pi / N for some n e. ( 1 ... M ), so this function enumerates M distinct roots of a degree- M polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 20178. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.n	|- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
basel.p	|- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
basel.t	|- T = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
basellem4	|- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )

Distinct variable groups:   t, j, n, M   j, N, n, t   P, n

Allowed substitution hints:   P( t, j)   T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem4

Dummy variables k m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basel.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
2	1	basellem1 20816	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
3		tanrpcl 20365	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
4	2, 3	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
5		2z 10268	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
6		znegcl 10269	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
7	5, 6	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- -u 2 e. ZZ
8		rpexpcl 11355	. . . . . . 7 |- ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR+ )
9	4, 7, 8	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR+ )
10	9	rpcnd 10606	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
11		basel.p	. . . . . . . 8 |- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
12	1, 11	basellem3 20818	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
13	2, 12	syldan 457	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
14		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... M ) -> n e. ZZ )
15	14	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> n e. ZZ )
16	15	zred 10331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> n e. RR )
17		pire 20325	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR
18		remulcl 9031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. RR /\ pi e. RR ) -> ( n x. pi ) e. RR )
19	16, 17, 18	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( n x. pi ) e. RR )
20	19	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
21		2nn 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
22		nnmulcl 9979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
23	21, 22	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN )
24	23	peano2nnd 9973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. NN )
25	1, 24	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> N e. NN )
26	25	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. NN )
27	26	nncnd 9972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. CC )
28	26	nnne0d 10000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N =/= 0 )
29	20, 27, 28	divcan2d 9748	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( n x. pi ) )
30	29	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) = ( sin ` ( n x. pi ) ) )
31		sinkpi 20380	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( sin ` ( n x. pi ) ) = 0 )
32	15, 31	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( n x. pi ) ) = 0 )
33	30, 32	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) = 0 )
34	33	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) = ( 0 / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
35	19, 26	nndivred 10004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n x. pi ) / N ) e. RR )
36	35	resincld 12699	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR )
37	36	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. CC )
38	26	nnnn0d 10230	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. NN0 )
39	37, 38	expcld 11478	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) e. CC )
40		sincosq1sgn 20359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ) )
41	2, 40	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ) )
42	41	simpld 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) )
43	42	gt0ne0d 9547	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
44	26	nnzd 10330	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. ZZ )
45	37, 43, 44	expne0d 11484	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) =/= 0 )
46	39, 45	div0d 9745	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) = 0 )
47	13, 34, 46	3eqtrd 2440	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 )
48	1, 11	basellem2 20817	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( P e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` P ) = M /\ (coeff ` P ) = ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ) )
49	48	simp1d 969	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> P e. (Poly ` CC ) )
50		plyf 20070	. . . . . . . 8 |- ( P e. (Poly ` CC ) -> P : CC --> CC )
51		ffn 5550	. . . . . . . 8 |- ( P : CC --> CC -> P Fn CC )
52	49, 50, 51	3syl 19	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> P Fn CC )
53	52	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> P Fn CC )
54		fniniseg 5810	. . . . . 6 |- ( P Fn CC -> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) <-> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC /\ ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 ) ) )
55	53, 54	syl 16	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) <-> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC /\ ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 ) ) )
56	10, 47, 55	mpbir2and 889	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) )
57		basel.t	. . . 4 |- T = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
58	56, 57	fmptd 5852	. . 3 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) )
59		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( T ` k ) = ( T ` m ) )
60		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( T ` k ) = ( T ` x ) )
61		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( k = y -> ( T ` k ) = ( T ` y ) )
62	14	zred 10331	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... M ) -> n e. RR )
63	62	ssriv 3312	. . . . . 6 |- ( 1 ... M ) C_ RR
64	9	rpred 10604	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
65	64, 57	fmptd 5852	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) --> RR )
66	65	ffvelrnda 5829	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( T ` k ) e. RR )
67		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> k < m )
68	63	sseli 3304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. RR )
69	68	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> k e. RR )
70	63	sseli 3304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> m e. RR )
71	70	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> m e. RR )
72	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> pi e. RR )
73		pipos 20326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < pi
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> 0 < pi )
75		ltmul1 9816	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ m e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( k < m <-> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) ) )
76	69, 71, 72, 74, 75	syl112anc 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k < m <-> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) ) )
77	67, 76	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) )
78		remulcl 9031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ pi e. RR ) -> ( k x. pi ) e. RR )
79	69, 17, 78	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k x. pi ) e. RR )
80		remulcl 9031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ pi e. RR ) -> ( m x. pi ) e. RR )
81	71, 17, 80	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( m x. pi ) e. RR )
82	25	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> N e. NN )
83	82	nnred 9971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> N e. RR )
84	82	nngt0d 9999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> 0 < N )
85		ltdiv1 9830	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) e. RR /\ ( m x. pi ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( k x. pi ) < ( m x. pi ) <-> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) ) )
86	79, 81, 83, 84, 85	syl112anc 1188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) < ( m x. pi ) <-> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) ) )
87	77, 86	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) )
88		halfpire 20328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi / 2 ) e. RR
89	88	renegcli 9318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
90	89	rexri 9093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
91	17, 73	elrpii 10571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR+
92		rphalfcl 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
93		rpge0 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( pi / 2 ) )
94	91, 92, 93	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 <_ ( pi / 2 )
95		le0neg2 9493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( 0 <_ ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ 0 ) )
96	88, 95	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 <_ ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ 0 )
97	94, 96	mpbi 200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( pi / 2 ) <_ 0
98		iooss1 10907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ -u ( pi / 2 ) <_ 0 ) -> ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
99	90, 97, 98	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) )
100	1	basellem1 20816	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
101	100	ad2ant2r 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
102	99, 101	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
103	1	basellem1 20816	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
104	103	ad2ant2rl 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
105	99, 104	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
106		tanord 20393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ ( ( m x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) <-> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
107	102, 105, 106	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) <-> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
108	87, 107	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) )
109		tanrpcl 20365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
110	101, 109	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
111		tanrpcl 20365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
112	104, 111	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
113		rprege0 10582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
114		rprege0 10582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
115		lt2sq 11410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) /\ ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
116	113, 114, 115	syl2an 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
117	110, 112, 116	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
118	108, 117	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
119		rpexpcl 11355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
120	110, 5, 119	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
121		rpexpcl 11355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
122	112, 5, 121	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
123	120, 122	ltrecd 10622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <-> ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) < ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
124	118, 123	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) < ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
125		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( n x. pi ) = ( m x. pi ) )
126	125	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( ( n x. pi ) / N ) = ( ( m x. pi ) / N ) )
127	126	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) )
128	127	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
129		ovex 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. _V
130	128, 57, 129	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> ( T ` m ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
131	130	ad2antll 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
132	112	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. CC )
133		2nn0 10194	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
134		expneg 11344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
135	132, 133, 134	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
136	131, 135	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
137		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( n x. pi ) = ( k x. pi ) )
138	137	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( n x. pi ) / N ) = ( ( k x. pi ) / N ) )
139	138	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
140	139	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
141		ovex 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. _V
142	140, 57, 141	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( T ` k ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
143	142	ad2antrl 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` k ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
144	110	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
145		expneg 11344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
146	144, 133, 145	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
147	143, 146	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` k ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
148	124, 136, 147	3brtr4d 4202	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) < ( T ` k ) )
149	148	an32s 780	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) /\ k < m ) -> ( T ` m ) < ( T ` k ) )
150	149	ex 424	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k < m -> ( T ` m ) < ( T ` k ) ) )
151	59, 60, 61, 63, 66, 150	eqord2 9514	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( x = y <-> ( T ` x ) = ( T ` y ) ) )
152	151	biimprd 215	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
153	152	ralrimivva 2758	. . 3 |- ( M e. NN -> A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... M ) ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
154		dff13 5963	. . 3 |- ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> ( T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) /\ A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... M ) ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) ) )
155	58, 153, 154	sylanbrc 646	. 2 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) )
156	48	simp2d 970	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) = M )
157		nnne0 9988	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
158	156, 157	eqnetrd 2585	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) =/= 0 )
159		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( P = 0 p -> (deg ` P ) = (deg ` 0 p ) )
160		dgr0 20133	. . . . . . . . . 10 |- (deg ` 0 p ) = 0
161	159, 160	syl6eq 2452	. . . . . . . . 9 |- ( P = 0 p -> (deg ` P ) = 0 )
162	161	necon3i 2606	. . . . . . . 8 |- ( (deg ` P ) =/= 0 -> P =/= 0 p )
163	158, 162	syl 16	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> P =/= 0 p )
164		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( `' P " { 0 } ) = ( `' P " { 0 } )
165	164	fta1 20178	. . . . . . 7 |- ( ( P e. (Poly ` CC ) /\ P =/= 0 p ) -> ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) ) )
166	49, 163, 165	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) ) )
167	166	simpld 446	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( `' P " { 0 } ) e. Fin )
168		f1domg 7086	. . . . 5 |- ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) -> ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) ) )
169	167, 155, 168	sylc 58	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) )
170	166	simprd 450	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) )
171		nnnn0 10184	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
172		hashfz1 11585	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
173	171, 172	syl 16	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
174	156, 173	eqtr4d 2439	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) = ( # ` ( 1 ... M ) ) )
175	170, 174	breqtrd 4196	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) )
176		fzfid 11267	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) e. Fin )
177		hashdom 11608	. . . . . 6 |- ( ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( 1 ... M ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) <-> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) )
178	167, 176, 177	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) <-> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) )
179	175, 178	mpbid 202	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) )
180		sbth 7186	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) /\ ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) -> ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) )
181	169, 179, 180	syl2anc 643	. . 3 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) )
182		f1finf1o 7294	. . 3 |- ( ( ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) /\ ( `' P " { 0 } ) e. Fin ) -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
183	181, 167, 182	syl2anc 643	. 2 |- ( M e. NN -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
184	155, 183	mpbid 202	1 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ~~ cen 7065   ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   -ucneg 9248   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   ...cfz 10999   ^cexp 11337   _C cbc 11548   #chash 11573   sum_csu 12434   sincsin 12621   cosccos 12622   tanctan 12623   picpi 12624   0 pc0p 19514  Polycply 20056  coeffccoe 20058  degcdgr 20059

This theorem is referenced by:  basellem5  20820

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ply 20060  df-idp 20061  df-coe 20062  df-dgr 20063  df-quot 20161