MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem4 Structured version   Unicode version

Theorem basellem4 22401
Description: Lemma for basel 22407. By basellem3 22400, the expression  P ( ( cot x ) ^
2 )  =  sin ( N x )  / 
( sin x ) ^ N goes to zero whenever  x  =  n pi  /  N for some  n  e.  ( 1 ... M
), so this function enumerates  M distinct roots of a degree-  M polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 21754. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
basel.t  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
Assertion
Ref Expression
basellem4  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
Distinct variable groups:    t, j, n, M    j, N, n, t    P, n
Allowed substitution hints:    P( t, j)    T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem4
Dummy variables  k  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 basel.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
21basellem1 22398 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
3 tanrpcl 21946 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
5 2z 10670 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
6 znegcl 10672 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  ZZ
8 rpexpcl 11876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  RR+ )
94, 7, 8sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR+ )
109rpcnd 11021 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
11 basel.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
121, 11basellem3 22400 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( ( n  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
) ) )
132, 12syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
) ) )
14 elfzelz 11445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  ->  n  e.  ZZ )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  ZZ )
1615zred 10739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  RR )
17 pire 21901 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
18 remulcl 9359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( n  x.  pi )  e.  RR )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  x.  pi )  e.  RR )
2019recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  x.  pi )  e.  CC )
21 2nn 10471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
22 nnmulcl 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
2321, 22mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
2423peano2nnd 10331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
251, 24syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN )
2726nncnd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  CC )
2826nnne0d 10358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  =/=  0
)
2920, 27, 28divcan2d 10101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N
) )  =  ( n  x.  pi ) )
3029fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  ( (
n  x.  pi )  /  N ) ) )  =  ( sin `  ( n  x.  pi ) ) )
31 sinkpi 21961 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( sin `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
3215, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
3330, 32eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  ( (
n  x.  pi )  /  N ) ) )  =  0 )
3433oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( N  x.  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) )  =  ( 0  / 
( ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) ) )
3519, 26nndivred 10362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
3635resincld 13419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
3736recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
3826nnnn0d 10628 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN0 )
3937, 38expcld 12000 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
)  e.  CC )
40 sincosq1sgn 21940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ) )
412, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ) )
4241simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )
4342gt0ne0d 9896 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
4426nnzd 10738 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  ZZ )
4537, 43, 44expne0d 12006 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
)  =/=  0 )
4639, 45div0d 10098 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  / 
( ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) )  =  0 )
4713, 34, 463eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 )
481, 11basellem2 22399 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
4948simp1d 1000 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
50 plyf 21646 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  (Poly `  CC )  ->  P : CC --> CC )
51 ffn 5554 . . . . . . . 8  |-  ( P : CC --> CC  ->  P  Fn  CC )
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  P  Fn  CC )
5352adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  P  Fn  CC )
54 fniniseg 5819 . . . . . 6  |-  ( P  Fn  CC  ->  (
( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  ( `' P " { 0 } )  <-> 
( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( P `  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  ( `' P " { 0 } )  <-> 
( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( P `  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 ) ) )
5610, 47, 55mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  ( `' P " { 0 } ) )
57 basel.t . . . 4  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
5856, 57fmptd 5862 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) )
59 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( T `  k )  =  ( T `  m ) )
60 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  ( T `  k )  =  ( T `  x ) )
61 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( k  =  y  ->  ( T `  k )  =  ( T `  y ) )
6214zred 10739 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  ->  n  e.  RR )
6362ssriv 3355 . . . . . 6  |-  ( 1 ... M )  C_  RR
649rpred 11019 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
6564, 57fmptd 5862 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) --> RR )
6665ffvelrnda 5838 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( T `  k )  e.  RR )
67 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
k  <  m )
6863sseli 3347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  RR )
6968ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
k  e.  RR )
7063sseli 3347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... M )  ->  m  e.  RR )
7170ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  m  e.  RR )
7217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  pi  e.  RR )
73 pipos 21903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  pi
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
0  <  pi )
75 ltmul1 10171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( k  < 
m  <->  ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi ) ) )
7669, 71, 72, 74, 75syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  <  m  <->  ( k  x.  pi )  <  ( m  x.  pi ) ) )
7767, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  x.  pi )  <  ( m  x.  pi ) )
78 remulcl 9359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( k  x.  pi )  e.  RR )
7969, 17, 78sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  x.  pi )  e.  RR )
80 remulcl 9359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( m  x.  pi )  e.  RR )
8171, 17, 80sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( m  x.  pi )  e.  RR )
8225ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  N  e.  NN )
8382nnred 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  N  e.  RR )
8482nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
0  <  N )
85 ltdiv1 10185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  e.  RR  /\  (
m  x.  pi )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi )  <-> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) ) )
8679, 81, 83, 84, 85syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi )  <-> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) ) )
8777, 86mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) )
88 neghalfpirx 21908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
8917, 73elrpii 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR+
90 rphalfcl 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
91 rpge0 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  2
) )
9289, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  ( pi  /  2
)
93 halfpire 21906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
94 le0neg2 9840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
0 ) )
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
0 )
9692, 95mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
pi  /  2 )  <_  0
97 iooss1 11327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  -u ( pi  /  2
)  <_  0 )  ->  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  C_  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
9888, 96, 97mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )
991basellem1 22398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
10099ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
10198, 100sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
1021basellem1 22398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
103102ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( m  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
10498, 103sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( m  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
105 tanord 21974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N )  <->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
106101, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( ( k  x.  pi )  /  N )  <  (
( m  x.  pi )  /  N )  <->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
10787, 106mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) )
108 tanrpcl 21946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
109100, 108syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
110 tanrpcl 21946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
111103, 110syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
112 rprege0 10997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
113 rprege0 10997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  ->  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
114 lt2sq 11931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )  /\  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
115112, 113, 114syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
116109, 111, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
117107, 116mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
118 rpexpcl 11876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
119109, 5, 118sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
120 rpexpcl 11876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
121111, 5, 120sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
122119, 121ltrecd 11037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  <  (
1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
123117, 122mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( 1  /  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
124 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  pi )  =  ( m  x.  pi ) )
125124oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( m  x.  pi )  /  N
) )
126125fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) )
127126oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
128 ovex 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
129127, 57, 128fvmpt 5769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  m )  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
130129ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
131111rpcnd 11021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
132 2nn0 10588 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
133 expneg 11865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
134131, 132, 133sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
135130, 134eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
136 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  pi )  =  ( k  x.  pi ) )
137136oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )
138137fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
139138oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
140 ovex 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
141139, 57, 140fvmpt 5769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
142141ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  k
)  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
143109rpcnd 11021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
144 expneg 11865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
145143, 132, 144sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
146142, 145eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  k
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
147123, 135, 1463brtr4d 4317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  <  ( T `  k ) )
148147an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( k  e.  ( 1 ... M )  /\  m  e.  ( 1 ... M ) ) )  /\  k  <  m )  ->  ( T `  m )  <  ( T `  k
) )
149148ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( k  e.  ( 1 ... M )  /\  m  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  (
k  <  m  ->  ( T `  m )  <  ( T `  k ) ) )
15059, 60, 61, 63, 66, 149eqord2 9863 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( x  e.  (
1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( x  =  y  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
151150biimprd 223 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( x  e.  (
1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  ->  x  =  y ) )
152151ralrimivva 2803 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... M
) A. y  e.  ( 1 ... M
) ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) )
153 dff13 5966 . . 3  |-  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <->  ( T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } )  /\  A. x  e.  ( 1 ... M ) A. y  e.  ( 1 ... M ) ( ( T `  x
)  =  ( T `
 y )  ->  x  =  y )
) )
15458, 152, 153sylanbrc 664 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) )
15548simp2d 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
156 nnne0 10346 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
157155, 156eqnetrd 2621 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =/=  0
)
158 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  0p  -> 
(deg `  P )  =  (deg `  0p
) )
159 dgr0 21709 . . . . . . . . . 10  |-  (deg ` 
0p )  =  0
160158, 159syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  0p  -> 
(deg `  P )  =  0 )
161160necon3i 2645 . . . . . . . 8  |-  ( (deg
`  P )  =/=  0  ->  P  =/=  0p )
162157, 161syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =/=  0p )
163 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( `' P " { 0 } )  =  ( `' P " { 0 } )
164163fta1 21754 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  P  =/=  0p )  -> 
( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
16549, 162, 164syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
166165simpld 459 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )
167 f1domg 7321 . . . . 5  |-  ( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  ->  ( T : ( 1 ... M )
-1-1-> ( `' P " { 0 } )  ->  ( 1 ... M )  ~<_  ( `' P " { 0 } ) ) )
168166, 154, 167sylc 60 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~<_  ( `' P " { 0 } ) )
169165simprd 463 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) )
170 nnnn0 10578 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
171 hashfz1 12109 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
172170, 171syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
173155, 172eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  (
# `  ( 1 ... M ) ) )
174169, 173breqtrd 4311 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  ( # `  (
1 ... M ) ) )
175 fzfid 11787 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
176 hashdom 12134 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  (
1 ... M )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... M ) )  <-> 
( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) ) )
177166, 175, 176syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... M ) )  <-> 
( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) ) )
178174, 177mpbid 210 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M ) )
179 sbth 7423 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... M
)  ~<_  ( `' P " { 0 } )  /\  ( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) )  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
180168, 178, 179syl2anc 661 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
181 f1finf1o 7531 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... M
)  ~~  ( `' P " { 0 } )  /\  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )  ->  ( T :
( 1 ... M
) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <-> 
T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
182180, 166, 181syl2anc 661 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <->  T :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
183154, 182mpbid 210 1  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710    C_ wss 3323   {csn 3872   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    ~~ cen 7299    ~<_ cdom 7300   Fincfn 7302   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   ...cfz 11429   ^cexp 11857    _C cbc 12070   #chash 12095   sum_csu 13155   sincsin 13341   cosccos 13342   tanctan 13343   picpi 13344   0pc0p 21127  Polycply 21632  coeffccoe 21634  degcdgr 21635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-tan 13349  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-0p 21128  df-limc 21321  df-dv 21322  df-ply 21636  df-idp 21637  df-coe 21638  df-dgr 21639  df-quot 21737
This theorem is referenced by:  basellem5  22402
  Copyright terms: Public domain W3C validator