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Theorem basellem4 23482
Description: Lemma for basel 23488. By basellem3 23481, the expression  P ( ( cot x ) ^
2 )  =  sin ( N x )  / 
( sin x ) ^ N goes to zero whenever  x  =  n pi  /  N for some  n  e.  ( 1 ... M
), so this function enumerates  M distinct roots of a degree-  M polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 22829. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
basel.t  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
Assertion
Ref Expression
basellem4  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
Distinct variable groups:    t, j, n, M    j, N, n, t    P, n
Allowed substitution hints:    P( t, j)    T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem4
Dummy variables  k  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 basel.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
21basellem1 23479 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
3 tanrpcl 23022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
5 2z 10917 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
6 znegcl 10920 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  ZZ
8 rpexpcl 12187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  RR+ )
94, 7, 8sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR+ )
109rpcnd 11283 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
11 basel.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
121, 11basellem3 23481 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( ( n  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
) ) )
132, 12syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
) ) )
14 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  ->  n  e.  ZZ )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  ZZ )
1615zred 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  RR )
17 pire 22976 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
18 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( n  x.  pi )  e.  RR )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  x.  pi )  e.  RR )
2019recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  x.  pi )  e.  CC )
21 2nn 10714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
22 nnmulcl 10579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
2321, 22mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
2423peano2nnd 10573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
251, 24syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN )
2726nncnd 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  CC )
2826nnne0d 10601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  =/=  0
)
2920, 27, 28divcan2d 10343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N
) )  =  ( n  x.  pi ) )
3029fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  ( (
n  x.  pi )  /  N ) ) )  =  ( sin `  ( n  x.  pi ) ) )
31 sinkpi 23037 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( sin `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
3215, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
3330, 32eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  ( (
n  x.  pi )  /  N ) ) )  =  0 )
3433oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( N  x.  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) )  =  ( 0  / 
( ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) ) )
3519, 26nndivred 10605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
3635resincld 13889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
3736recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
3826nnnn0d 10873 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN0 )
3937, 38expcld 12312 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
)  e.  CC )
40 sincosq1sgn 23016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ) )
412, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ) )
4241simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )
4342gt0ne0d 10138 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
4426nnzd 10989 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  ZZ )
4537, 43, 44expne0d 12318 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
)  =/=  0 )
4639, 45div0d 10340 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  / 
( ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) )  =  0 )
4713, 34, 463eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 )
481, 11basellem2 23480 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
4948simp1d 1008 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
50 plyf 22720 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  (Poly `  CC )  ->  P : CC --> CC )
51 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( P : CC --> CC  ->  P  Fn  CC )
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  P  Fn  CC )
5352adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  P  Fn  CC )
54 fniniseg 6009 . . . . . 6  |-  ( P  Fn  CC  ->  (
( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  ( `' P " { 0 } )  <-> 
( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( P `  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  ( `' P " { 0 } )  <-> 
( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( P `  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 ) ) )
5610, 47, 55mpbir2and 922 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  ( `' P " { 0 } ) )
57 basel.t . . . 4  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
5856, 57fmptd 6056 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) )
59 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( T `  k )  =  ( T `  m ) )
60 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  ( T `  k )  =  ( T `  x ) )
61 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( k  =  y  ->  ( T `  k )  =  ( T `  y ) )
6214zred 10990 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  ->  n  e.  RR )
6362ssriv 3503 . . . . . 6  |-  ( 1 ... M )  C_  RR
649rpred 11281 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
6564, 57fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) --> RR )
6665ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( T `  k )  e.  RR )
67 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
k  <  m )
6863sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  RR )
6968ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
k  e.  RR )
7063sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... M )  ->  m  e.  RR )
7170ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  m  e.  RR )
7217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  pi  e.  RR )
73 pipos 22978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  pi
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
0  <  pi )
75 ltmul1 10413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( k  < 
m  <->  ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi ) ) )
7669, 71, 72, 74, 75syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  <  m  <->  ( k  x.  pi )  <  ( m  x.  pi ) ) )
7767, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  x.  pi )  <  ( m  x.  pi ) )
78 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( k  x.  pi )  e.  RR )
7969, 17, 78sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  x.  pi )  e.  RR )
80 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( m  x.  pi )  e.  RR )
8171, 17, 80sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( m  x.  pi )  e.  RR )
8225ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  N  e.  NN )
8382nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  N  e.  RR )
8482nngt0d 10600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
0  <  N )
85 ltdiv1 10427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  e.  RR  /\  (
m  x.  pi )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi )  <-> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) ) )
8679, 81, 83, 84, 85syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi )  <-> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) ) )
8777, 86mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) )
88 neghalfpirx 22984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
89 pirp 22979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR+
90 rphalfcl 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
91 rpge0 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  2
) )
9289, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  ( pi  /  2
)
93 halfpire 22982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
94 le0neg2 10082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
0 ) )
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
0 )
9692, 95mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
pi  /  2 )  <_  0
97 iooss1 11589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  -u ( pi  /  2
)  <_  0 )  ->  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  C_  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
9888, 96, 97mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )
991basellem1 23479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
10099ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
10198, 100sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
1021basellem1 23479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
103102ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( m  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
10498, 103sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( m  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
105 tanord 23050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N )  <->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
106101, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( ( k  x.  pi )  /  N )  <  (
( m  x.  pi )  /  N )  <->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
10787, 106mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) )
108 tanrpcl 23022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
109100, 108syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
110 tanrpcl 23022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
111103, 110syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
112 rprege0 11259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
113 rprege0 11259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  ->  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
114 lt2sq 12243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )  /\  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
115112, 113, 114syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
116109, 111, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
117107, 116mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
118 rpexpcl 12187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
119109, 5, 118sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
120 rpexpcl 12187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
121111, 5, 120sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
122119, 121ltrecd 11299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  <  (
1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
123117, 122mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( 1  /  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
124 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  pi )  =  ( m  x.  pi ) )
125124oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( m  x.  pi )  /  N
) )
126125fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) )
127126oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
128 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
129127, 57, 128fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  m )  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
130129ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
131111rpcnd 11283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
132 2nn0 10833 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
133 expneg 12176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
134131, 132, 133sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
135130, 134eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
136 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  pi )  =  ( k  x.  pi ) )
137136oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )
138137fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
139138oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
140 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
141139, 57, 140fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
142141ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  k
)  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
143109rpcnd 11283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
144 expneg 12176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
145143, 132, 144sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
146142, 145eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  k
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
147123, 135, 1463brtr4d 4486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  <  ( T `  k ) )
148147an32s 804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( k  e.  ( 1 ... M )  /\  m  e.  ( 1 ... M ) ) )  /\  k  <  m )  ->  ( T `  m )  <  ( T `  k
) )
149148ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( k  e.  ( 1 ... M )  /\  m  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  (
k  <  m  ->  ( T `  m )  <  ( T `  k ) ) )
15059, 60, 61, 63, 66, 149eqord2 10105 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( x  e.  (
1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( x  =  y  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
151150biimprd 223 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( x  e.  (
1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  ->  x  =  y ) )
152151ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... M
) A. y  e.  ( 1 ... M
) ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) )
153 dff13 6167 . . 3  |-  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <->  ( T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } )  /\  A. x  e.  ( 1 ... M ) A. y  e.  ( 1 ... M ) ( ( T `  x
)  =  ( T `
 y )  ->  x  =  y )
) )
15458, 152, 153sylanbrc 664 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) )
15548simp2d 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
156 nnne0 10589 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
157155, 156eqnetrd 2750 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =/=  0
)
158 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  0p  -> 
(deg `  P )  =  (deg `  0p
) )
159 dgr0 22784 . . . . . . . . . 10  |-  (deg ` 
0p )  =  0
160158, 159syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  0p  -> 
(deg `  P )  =  0 )
161160necon3i 2697 . . . . . . . 8  |-  ( (deg
`  P )  =/=  0  ->  P  =/=  0p )
162157, 161syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =/=  0p )
163 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( `' P " { 0 } )  =  ( `' P " { 0 } )
164163fta1 22829 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  P  =/=  0p )  -> 
( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
16549, 162, 164syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
166165simpld 459 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )
167 f1domg 7554 . . . . 5  |-  ( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  ->  ( T : ( 1 ... M )
-1-1-> ( `' P " { 0 } )  ->  ( 1 ... M )  ~<_  ( `' P " { 0 } ) ) )
168166, 154, 167sylc 60 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~<_  ( `' P " { 0 } ) )
169165simprd 463 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) )
170 nnnn0 10823 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
171 hashfz1 12421 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
172170, 171syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
173155, 172eqtr4d 2501 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  (
# `  ( 1 ... M ) ) )
174169, 173breqtrd 4480 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  ( # `  (
1 ... M ) ) )
175 fzfid 12085 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
176 hashdom 12449 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  (
1 ... M )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... M ) )  <-> 
( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) ) )
177166, 175, 176syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... M ) )  <-> 
( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) ) )
178174, 177mpbid 210 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M ) )
179 sbth 7656 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... M
)  ~<_  ( `' P " { 0 } )  /\  ( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) )  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
180168, 178, 179syl2anc 661 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
181 f1finf1o 7765 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... M
)  ~~  ( `' P " { 0 } )  /\  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )  ->  ( T :
( 1 ... M
) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <-> 
T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
182180, 166, 181syl2anc 661 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <->  T :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
183154, 182mpbid 210 1  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   "cima 5011    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ~~ cen 7532    ~<_ cdom 7533   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   ...cfz 11697   ^cexp 12168    _C cbc 12382   #chash 12407   sum_csu 13519   sincsin 13810   cosccos 13811   tanctan 13812   picpi 13813   0pc0p 22201  Polycply 22706  coeffccoe 22708  degcdgr 22709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-tan 13818  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-0p 22202  df-limc 22395  df-dv 22396  df-ply 22710  df-idp 22711  df-coe 22712  df-dgr 22713  df-quot 22812
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