Theorem basellem4 23482

Description: Lemma for basel 23488. By basellem3 23481, the expression P ( ( cot x ) ^ 2 ) = sin ( N x ) / ( sin x ) ^ N goes to zero whenever x = n pi / N for some n e. ( 1 ... M ), so this function enumerates M distinct roots of a degree- M polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 22829. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.n	|- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
basel.p	|- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
basel.t	|- T = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
basellem4	|- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )

Distinct variable groups:   t, j, n, M   j, N, n, t   P, n

Allowed substitution hints:   P( t, j)   T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem4

Dummy variables k m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basel.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
2	1	basellem1 23479	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
3		tanrpcl 23022	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
4	2, 3	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
5		2z 10917	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
6		znegcl 10920	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -u 2 e. ZZ
8		rpexpcl 12187	. . . . . . 7 |- ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR+ )
9	4, 7, 8	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR+ )
10	9	rpcnd 11283	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
11		basel.p	. . . . . . . 8 |- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
12	1, 11	basellem3 23481	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
13	2, 12	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
14		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... M ) -> n e. ZZ )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> n e. ZZ )
16	15	zred 10990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> n e. RR )
17		pire 22976	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR
18		remulcl 9594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. RR /\ pi e. RR ) -> ( n x. pi ) e. RR )
19	16, 17, 18	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( n x. pi ) e. RR )
20	19	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
21		2nn 10714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
22		nnmulcl 10579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
23	21, 22	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN )
24	23	peano2nnd 10573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. NN )
25	1, 24	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> N e. NN )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. NN )
27	26	nncnd 10572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. CC )
28	26	nnne0d 10601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N =/= 0 )
29	20, 27, 28	divcan2d 10343	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( n x. pi ) )
30	29	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) = ( sin ` ( n x. pi ) ) )
31		sinkpi 23037	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( sin ` ( n x. pi ) ) = 0 )
32	15, 31	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( n x. pi ) ) = 0 )
33	30, 32	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) = 0 )
34	33	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) = ( 0 / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
35	19, 26	nndivred 10605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n x. pi ) / N ) e. RR )
36	35	resincld 13889	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR )
37	36	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. CC )
38	26	nnnn0d 10873	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. NN0 )
39	37, 38	expcld 12312	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) e. CC )
40		sincosq1sgn 23016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ) )
41	2, 40	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ) )
42	41	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) )
43	42	gt0ne0d 10138	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
44	26	nnzd 10989	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. ZZ )
45	37, 43, 44	expne0d 12318	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) =/= 0 )
46	39, 45	div0d 10340	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) = 0 )
47	13, 34, 46	3eqtrd 2502	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 )
48	1, 11	basellem2 23480	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( P e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` P ) = M /\ (coeff ` P ) = ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ) )
49	48	simp1d 1008	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> P e. (Poly ` CC ) )
50		plyf 22720	. . . . . . . 8 |- ( P e. (Poly ` CC ) -> P : CC --> CC )
51		ffn 5737	. . . . . . . 8 |- ( P : CC --> CC -> P Fn CC )
52	49, 50, 51	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> P Fn CC )
53	52	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> P Fn CC )
54		fniniseg 6009	. . . . . 6 |- ( P Fn CC -> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) <-> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC /\ ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 ) ) )
55	53, 54	syl 16	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) <-> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC /\ ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 ) ) )
56	10, 47, 55	mpbir2and 922	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) )
57		basel.t	. . . 4 |- T = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
58	56, 57	fmptd 6056	. . 3 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) )
59		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( T ` k ) = ( T ` m ) )
60		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( T ` k ) = ( T ` x ) )
61		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( k = y -> ( T ` k ) = ( T ` y ) )
62	14	zred 10990	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... M ) -> n e. RR )
63	62	ssriv 3503	. . . . . 6 |- ( 1 ... M ) C_ RR
64	9	rpred 11281	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
65	64, 57	fmptd 6056	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) --> RR )
66	65	ffvelrnda 6032	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( T ` k ) e. RR )
67		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> k < m )
68	63	sseli 3495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. RR )
69	68	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> k e. RR )
70	63	sseli 3495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> m e. RR )
71	70	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> m e. RR )
72	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> pi e. RR )
73		pipos 22978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < pi
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> 0 < pi )
75		ltmul1 10413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ m e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( k < m <-> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) ) )
76	69, 71, 72, 74, 75	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k < m <-> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) ) )
77	67, 76	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) )
78		remulcl 9594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ pi e. RR ) -> ( k x. pi ) e. RR )
79	69, 17, 78	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k x. pi ) e. RR )
80		remulcl 9594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ pi e. RR ) -> ( m x. pi ) e. RR )
81	71, 17, 80	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( m x. pi ) e. RR )
82	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> N e. NN )
83	82	nnred 10571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> N e. RR )
84	82	nngt0d 10600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> 0 < N )
85		ltdiv1 10427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) e. RR /\ ( m x. pi ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( k x. pi ) < ( m x. pi ) <-> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) ) )
86	79, 81, 83, 84, 85	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) < ( m x. pi ) <-> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) ) )
87	77, 86	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) )
88		neghalfpirx 22984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
89		pirp 22979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR+
90		rphalfcl 11269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
91		rpge0 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( pi / 2 ) )
92	89, 90, 91	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 <_ ( pi / 2 )
93		halfpire 22982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi / 2 ) e. RR
94		le0neg2 10082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( 0 <_ ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ 0 ) )
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 <_ ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ 0 )
96	92, 95	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( pi / 2 ) <_ 0
97		iooss1 11589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ -u ( pi / 2 ) <_ 0 ) -> ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
98	88, 96, 97	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) )
99	1	basellem1 23479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
100	99	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
101	98, 100	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
102	1	basellem1 23479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
103	102	ad2ant2rl 748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
104	98, 103	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
105		tanord 23050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ ( ( m x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) <-> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
106	101, 104, 105	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) <-> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
107	87, 106	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) )
108		tanrpcl 23022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
109	100, 108	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
110		tanrpcl 23022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
111	103, 110	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
112		rprege0 11259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
113		rprege0 11259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
114		lt2sq 12243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) /\ ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
115	112, 113, 114	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
116	109, 111, 115	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
117	107, 116	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
118		rpexpcl 12187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
119	109, 5, 118	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
120		rpexpcl 12187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
121	111, 5, 120	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
122	119, 121	ltrecd 11299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <-> ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) < ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
123	117, 122	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) < ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
124		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( n x. pi ) = ( m x. pi ) )
125	124	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( ( n x. pi ) / N ) = ( ( m x. pi ) / N ) )
126	125	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) )
127	126	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
128		ovex 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. _V
129	127, 57, 128	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> ( T ` m ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
130	129	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
131	111	rpcnd 11283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. CC )
132		2nn0 10833	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
133		expneg 12176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
134	131, 132, 133	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
135	130, 134	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
136		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( n x. pi ) = ( k x. pi ) )
137	136	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( n x. pi ) / N ) = ( ( k x. pi ) / N ) )
138	137	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
139	138	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
140		ovex 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. _V
141	139, 57, 140	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( T ` k ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
142	141	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` k ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
143	109	rpcnd 11283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
144		expneg 12176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
145	143, 132, 144	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
146	142, 145	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` k ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
147	123, 135, 146	3brtr4d 4486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) < ( T ` k ) )
148	147	an32s 804	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) /\ k < m ) -> ( T ` m ) < ( T ` k ) )
149	148	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k < m -> ( T ` m ) < ( T ` k ) ) )
150	59, 60, 61, 63, 66, 149	eqord2 10105	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( x = y <-> ( T ` x ) = ( T ` y ) ) )
151	150	biimprd 223	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
152	151	ralrimivva 2878	. . 3 |- ( M e. NN -> A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... M ) ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
153		dff13 6167	. . 3 |- ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> ( T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) /\ A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... M ) ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) ) )
154	58, 152, 153	sylanbrc 664	. 2 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) )
155	48	simp2d 1009	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) = M )
156		nnne0 10589	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
157	155, 156	eqnetrd 2750	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) =/= 0 )
158		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( P = 0p -> (deg ` P ) = (deg ` 0p ) )
159		dgr0 22784	. . . . . . . . . 10 |- (deg ` 0p ) = 0
160	158, 159	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9 |- ( P = 0p -> (deg ` P ) = 0 )
161	160	necon3i 2697	. . . . . . . 8 |- ( (deg ` P ) =/= 0 -> P =/= 0p )
162	157, 161	syl 16	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> P =/= 0p )
163		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( `' P " { 0 } ) = ( `' P " { 0 } )
164	163	fta1 22829	. . . . . . 7 |- ( ( P e. (Poly ` CC ) /\ P =/= 0p ) -> ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) ) )
165	49, 162, 164	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) ) )
166	165	simpld 459	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( `' P " { 0 } ) e. Fin )
167		f1domg 7554	. . . . 5 |- ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) -> ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) ) )
168	166, 154, 167	sylc 60	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) )
169	165	simprd 463	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) )
170		nnnn0 10823	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
171		hashfz1 12421	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
172	170, 171	syl 16	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
173	155, 172	eqtr4d 2501	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) = ( # ` ( 1 ... M ) ) )
174	169, 173	breqtrd 4480	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) )
175		fzfid 12085	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) e. Fin )
176		hashdom 12449	. . . . . 6 |- ( ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( 1 ... M ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) <-> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) )
177	166, 175, 176	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) <-> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) )
178	174, 177	mpbid 210	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) )
179		sbth 7656	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) /\ ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) -> ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) )
180	168, 178, 179	syl2anc 661	. . 3 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) )
181		f1finf1o 7765	. . 3 |- ( ( ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) /\ ( `' P " { 0 } ) e. Fin ) -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
182	180, 166, 181	syl2anc 661	. 2 |- ( M e. NN -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
183	154, 182	mpbid 210	1 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   "cima 5011   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ~~ cen 7532   ~<_ cdom 7533   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   ...cfz 11697   ^cexp 12168   _C cbc 12382   #chash 12407   sum_csu 13519   sincsin 13810   cosccos 13811   tanctan 13812   picpi 13813   0pc0p 22201  Polycply 22706  coeffccoe 22708  degcdgr 22709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-tan 13818  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-0p 22202  df-limc 22395  df-dv 22396  df-ply 22710  df-idp 22711  df-coe 22712  df-dgr 22713  df-quot 22812

This theorem is referenced by:  basellem5  23483