Theorem basellem4 24003

Description: Lemma for basel 24009. By basellem3 24002, the expression P ( ( cot x ) ^ 2 ) = sin ( N x ) / ( sin x ) ^ N goes to zero whenever x = n pi / N for some n e. ( 1 ... M ), so this function enumerates M distinct roots of a degree- M polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 23254. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.n	|- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
basel.p	|- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
basel.t	|- T = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
basellem4	|- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )

Distinct variable groups:   t, j, n, M   j, N, n, t   P, n

Allowed substitution hints:   P( t, j)   T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem4

Dummy variables k m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basel.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
2	1	basellem1 24000	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
3		tanrpcl 23452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
5		2z 10966	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
6		znegcl 10969	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -u 2 e. ZZ
8		rpexpcl 12288	. . . . . . 7 |- ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR+ )
9	4, 7, 8	sylancl 667	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR+ )
10	9	rpcnd 11340	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
11		basel.p	. . . . . . . 8 |- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
12	1, 11	basellem3 24002	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
13	2, 12	syldan 473	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
14		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... M ) -> n e. ZZ )
15	14	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> n e. ZZ )
16	15	zred 11037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> n e. RR )
17		pire 23406	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR
18		remulcl 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. RR /\ pi e. RR ) -> ( n x. pi ) e. RR )
19	16, 17, 18	sylancl 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( n x. pi ) e. RR )
20	19	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
21		2nn 10764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
22		nnmulcl 10629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
23	21, 22	mpan 675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN )
24	23	peano2nnd 10623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. NN )
25	1, 24	syl5eqel 2532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> N e. NN )
26	25	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. NN )
27	26	nncnd 10622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. CC )
28	26	nnne0d 10651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N =/= 0 )
29	20, 27, 28	divcan2d 10382	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( n x. pi ) )
30	29	fveq2d 5867	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) = ( sin ` ( n x. pi ) ) )
31		sinkpi 23467	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( sin ` ( n x. pi ) ) = 0 )
32	15, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( n x. pi ) ) = 0 )
33	30, 32	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) = 0 )
34	33	oveq1d 6303	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) = ( 0 / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
35	19, 26	nndivred 10655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n x. pi ) / N ) e. RR )
36	35	resincld 14190	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR )
37	36	recnd 9666	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. CC )
38	26	nnnn0d 10922	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. NN0 )
39	37, 38	expcld 12413	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) e. CC )
40		sincosq1sgn 23446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ) )
41	2, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ) )
42	41	simpld 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) )
43	42	gt0ne0d 10175	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
44	26	nnzd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. ZZ )
45	37, 43, 44	expne0d 12419	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) =/= 0 )
46	39, 45	div0d 10379	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) = 0 )
47	13, 34, 46	3eqtrd 2488	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 )
48	1, 11	basellem2 24001	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( P e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` P ) = M /\ (coeff ` P ) = ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ) )
49	48	simp1d 1019	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> P e. (Poly ` CC ) )
50		plyf 23145	. . . . . . . 8 |- ( P e. (Poly ` CC ) -> P : CC --> CC )
51		ffn 5726	. . . . . . . 8 |- ( P : CC --> CC -> P Fn CC )
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> P Fn CC )
53	52	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> P Fn CC )
54		fniniseg 6001	. . . . . 6 |- ( P Fn CC -> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) <-> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC /\ ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 ) ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) <-> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC /\ ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 ) ) )
56	10, 47, 55	mpbir2and 932	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) )
57		basel.t	. . . 4 |- T = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
58	56, 57	fmptd 6044	. . 3 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) )
59		fveq2 5863	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( T ` k ) = ( T ` m ) )
60		fveq2 5863	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( T ` k ) = ( T ` x ) )
61		fveq2 5863	. . . . . 6 |- ( k = y -> ( T ` k ) = ( T ` y ) )
62	14	zred 11037	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... M ) -> n e. RR )
63	62	ssriv 3435	. . . . . 6 |- ( 1 ... M ) C_ RR
64	9	rpred 11338	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
65	64, 57	fmptd 6044	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) --> RR )
66	65	ffvelrnda 6020	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( T ` k ) e. RR )
67		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> k < m )
68	63	sseli 3427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. RR )
69	68	ad2antrl 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> k e. RR )
70	63	sseli 3427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> m e. RR )
71	70	ad2antll 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> m e. RR )
72	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> pi e. RR )
73		pipos 23408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < pi
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> 0 < pi )
75		ltmul1 10452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ m e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( k < m <-> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) ) )
76	69, 71, 72, 74, 75	syl112anc 1271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k < m <-> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) ) )
77	67, 76	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) )
78		remulcl 9621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ pi e. RR ) -> ( k x. pi ) e. RR )
79	69, 17, 78	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k x. pi ) e. RR )
80		remulcl 9621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ pi e. RR ) -> ( m x. pi ) e. RR )
81	71, 17, 80	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( m x. pi ) e. RR )
82	25	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> N e. NN )
83	82	nnred 10621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> N e. RR )
84	82	nngt0d 10650	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> 0 < N )
85		ltdiv1 10466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) e. RR /\ ( m x. pi ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( k x. pi ) < ( m x. pi ) <-> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) ) )
86	79, 81, 83, 84, 85	syl112anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) < ( m x. pi ) <-> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) ) )
87	77, 86	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) )
88		neghalfpirx 23414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
89		pirp 23409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR+
90		rphalfcl 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
91		rpge0 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( pi / 2 ) )
92	89, 90, 91	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 <_ ( pi / 2 )
93		halfpire 23412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi / 2 ) e. RR
94		le0neg2 10120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( 0 <_ ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ 0 ) )
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 <_ ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ 0 )
96	92, 95	mpbi 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( pi / 2 ) <_ 0
97		iooss1 11668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ -u ( pi / 2 ) <_ 0 ) -> ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
98	88, 96, 97	mp2an 677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) )
99	1	basellem1 24000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
100	99	ad2ant2r 752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
101	98, 100	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
102	1	basellem1 24000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
103	102	ad2ant2rl 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
104	98, 103	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
105		tanord 23480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ ( ( m x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) <-> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
106	101, 104, 105	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) <-> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
107	87, 106	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) )
108		tanrpcl 23452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
109	100, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
110		tanrpcl 23452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
111	103, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
112		rprege0 11313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
113		rprege0 11313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
114		lt2sq 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) /\ ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
115	112, 113, 114	syl2an 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
116	109, 111, 115	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
117	107, 116	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
118		rpexpcl 12288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
119	109, 5, 118	sylancl 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
120		rpexpcl 12288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
121	111, 5, 120	sylancl 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
122	119, 121	ltrecd 11356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <-> ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) < ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
123	117, 122	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) < ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
124		oveq1 6295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( n x. pi ) = ( m x. pi ) )
125	124	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( ( n x. pi ) / N ) = ( ( m x. pi ) / N ) )
126	125	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) )
127	126	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
128		ovex 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. _V
129	127, 57, 128	fvmpt 5946	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> ( T ` m ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
130	129	ad2antll 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
131	111	rpcnd 11340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. CC )
132		2nn0 10883	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
133		expneg 12277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
134	131, 132, 133	sylancl 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
135	130, 134	eqtrd 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
136		oveq1 6295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( n x. pi ) = ( k x. pi ) )
137	136	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( n x. pi ) / N ) = ( ( k x. pi ) / N ) )
138	137	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
139	138	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
140		ovex 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. _V
141	139, 57, 140	fvmpt 5946	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( T ` k ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
142	141	ad2antrl 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` k ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
143	109	rpcnd 11340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
144		expneg 12277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
145	143, 132, 144	sylancl 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
146	142, 145	eqtrd 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` k ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
147	123, 135, 146	3brtr4d 4432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) < ( T ` k ) )
148	147	an32s 812	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) /\ k < m ) -> ( T ` m ) < ( T ` k ) )
149	148	ex 436	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k < m -> ( T ` m ) < ( T ` k ) ) )
150	59, 60, 61, 63, 66, 149	eqord2 10142	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( x = y <-> ( T ` x ) = ( T ` y ) ) )
151	150	biimprd 227	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
152	151	ralrimivva 2808	. . 3 |- ( M e. NN -> A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... M ) ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
153		dff13 6157	. . 3 |- ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> ( T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) /\ A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... M ) ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) ) )
154	58, 152, 153	sylanbrc 669	. 2 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) )
155	48	simp2d 1020	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) = M )
156		nnne0 10639	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
157	155, 156	eqnetrd 2690	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) =/= 0 )
158		fveq2 5863	. . . . . . . . . 10 |- ( P = 0p -> (deg ` P ) = (deg ` 0p ) )
159		dgr0 23209	. . . . . . . . . 10 |- (deg ` 0p ) = 0
160	158, 159	syl6eq 2500	. . . . . . . . 9 |- ( P = 0p -> (deg ` P ) = 0 )
161	160	necon3i 2655	. . . . . . . 8 |- ( (deg ` P ) =/= 0 -> P =/= 0p )
162	157, 161	syl 17	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> P =/= 0p )
163		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( `' P " { 0 } ) = ( `' P " { 0 } )
164	163	fta1 23254	. . . . . . 7 |- ( ( P e. (Poly ` CC ) /\ P =/= 0p ) -> ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) ) )
165	49, 162, 164	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) ) )
166	165	simpld 461	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( `' P " { 0 } ) e. Fin )
167		f1domg 7586	. . . . 5 |- ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) -> ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) ) )
168	166, 154, 167	sylc 62	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) )
169	165	simprd 465	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) )
170		nnnn0 10873	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
171		hashfz1 12526	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
172	170, 171	syl 17	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
173	155, 172	eqtr4d 2487	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) = ( # ` ( 1 ... M ) ) )
174	169, 173	breqtrd 4426	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) )
175		fzfid 12183	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) e. Fin )
176		hashdom 12555	. . . . . 6 |- ( ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( 1 ... M ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) <-> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) )
177	166, 175, 176	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) <-> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) )
178	174, 177	mpbid 214	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) )
179		sbth 7689	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) /\ ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) -> ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) )
180	168, 178, 179	syl2anc 666	. . 3 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) )
181		f1finf1o 7795	. . 3 |- ( ( ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) /\ ( `' P " { 0 } ) e. Fin ) -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
182	180, 166, 181	syl2anc 666	. 2 |- ( M e. NN -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
183	154, 182	mpbid 214	1 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   C_ wss 3403   {csn 3967   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   `'ccnv 4832   "cima 4836   Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ~~ cen 7563   ~<_ cdom 7564   Fincfn 7566   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   -ucneg 9858   / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   RR+crp 11299   (,)cioo 11632   ...cfz 11781   ^cexp 12269   _C cbc 12484   #chash 12512   sum_csu 13745   sincsin 14109   cosccos 14110   tanctan 14111   picpi 14112   0pc0p 22620  Polycply 23131  coeffccoe 23133  degcdgr 23134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-0p 22621  df-limc 22814  df-dv 22815  df-ply 23135  df-idp 23136  df-coe 23137  df-dgr 23138  df-quot 23237

This theorem is referenced by:  basellem5  24004