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Theorem basellem2 20817
Description: Lemma for basel 20825. Show that  P is a polynomial of degree  M, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
Assertion
Ref Expression
basellem2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, j, n, M    j, N, n, t    P, n
Allowed substitution hints:    P( t, j)

Proof of Theorem basellem2
StepHypRef Expression
1 basel.p . . 3  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
2 ssid 3327 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
32a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  CC  C_  CC )
4 nnnn0 10184 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
5 elfznn0 11039 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
6 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  j ) )
76oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  j ) ) )
8 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  j ) )
98oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )
107, 9oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
11 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )
12 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  e.  _V
1310, 11, 12fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
145, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
1514adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
16 basel.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
17 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 9979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
1917, 18mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
2019peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
2116, 20syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
2221nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
23 2z 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
24 nn0z 10260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
25 zmulcl 10280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )
2623, 24, 25sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
27 bccl 11568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  e.  NN0 )
2822, 26, 27syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  _C  (
2  x.  n ) )  e.  NN0 )
2928nn0cnd 10232 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  _C  (
2  x.  n ) )  e.  CC )
30 nnz 10259 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
31 zsubcl 10275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( M  -  n
)  e.  ZZ )
3230, 24, 31syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( M  -  n
)  e.  ZZ )
33 neg1cn 10023 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
34 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
35 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
3634, 35negne0i 9331 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
37 expclz 11361 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  ( M  -  n
)  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  e.  CC )
3833, 36, 37mp3an12 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  -  n )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  e.  CC )
3932, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ ( M  -  n )
)  e.  CC )
4029, 39mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) )  e.  CC )
4140, 11fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC )
42 ffvelrn 5827 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC 
/\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
4341, 5, 42syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
4415, 43eqeltrrd 2479 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  e.  CC )
453, 4, 44elplyd 20074 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
461, 45syl5eqel 2488 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
47 nnre 9963 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
48 nn0re 10186 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  RR )
49 ltnle 9111 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( M  <  j  <->  -.  j  <_  M )
)
5047, 48, 49syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  <->  -.  j  <_  M )
)
5113ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
5222ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  e.  NN0 )
53 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  ZZ )
5453ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  j  e.  ZZ )
55 zmulcl 10280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ )
5623, 54, 55sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  j )  e.  ZZ )
57342timesi 10057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
5857oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  M )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) )
59 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  2  e.  CC )
61 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
6261ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  M  e.  CC )
6334a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  1  e.  CC )
6460, 62, 63adddid 9068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 2  x.  1 ) ) )
6516oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )
6619ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  M )  e.  NN )
6766nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  M )  e.  CC )
6867, 63, 63addassd 9066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 1  +  1 ) ) )
6965, 68syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  + 
1 )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 1  +  1 ) ) )
7058, 64, 693eqtr4a 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
71 zltp1le 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  <  j  <->  ( M  +  1 )  <_  j ) )
7230, 53, 71syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  <->  ( M  +  1 )  <_  j ) )
7372biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( M  + 
1 )  <_  j
)
7447ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  M  e.  RR )
75 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( M  + 
1 )  e.  RR )
7748ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  j  e.  RR )
78 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
79 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
8078, 79pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
82 lemul2 9819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  <_ 
j  <->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8376, 77, 81, 82syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( M  +  1 )  <_ 
j  <->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8473, 83mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) )
8570, 84eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) )
8621nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
8786ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  e.  ZZ )
88 zltp1le 10281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( 2  x.  j
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8987, 56, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  < 
( 2  x.  j
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) ) )
9085, 89mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  <  (
2  x.  j ) )
9190olcd 383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( 2  x.  j )  <  0  \/  N  < 
( 2  x.  j
) ) )
92 bcval4 11553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  j )  <  0  \/  N  <  ( 2  x.  j ) ) )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  =  0 )
9352, 56, 91, 92syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  =  0 )
9493oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  =  ( 0  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
95 zsubcl 10275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  -  j
)  e.  ZZ )
9630, 53, 95syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  -  j
)  e.  ZZ )
97 expclz 11361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  ( M  -  j
)  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
9833, 36, 97mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  -  j )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
9996, 98syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ ( M  -  j )
)  e.  CC )
10099adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
101100mul02d 9220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 0  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  =  0 )
10251, 94, 1013eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  0 )
103102ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  =  0 ) )
10450, 103sylbird 227 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( -.  j  <_  M  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  0 ) )
105104necon1ad 2634 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) )
106105ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) )
107 plyco0 20064 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) ) )
1084, 41, 107syl2anc 643 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) ) )
109106, 108mpbird 224 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
11014oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  x.  ( t ^ j
) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
111110sumeq2i 12448 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( t ^ j
) )
112111mpteq2i 4252 . . . . 5  |-  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( t ^ j
) ) )
1131, 112eqtr4i 2427 . . . 4  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  x.  ( t ^ j
) ) )
114113a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) ) ) )
115 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
116115oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  M ) ) )
117 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  M ) )
118117oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )
119116, 118oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
120 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )  e.  _V
121119, 11, 120fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M
) ) ) )
1224, 121syl 16 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
12361subidd 9355 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  M )  =  0 )
124123oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
125 exp0 11341 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
12633, 125ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
127124, 126syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  1 )
128127oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  1 ) )
12919nnred 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  RR )
130129lep1d 9898 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
131130, 16syl6breqr 4212 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  N )
13219nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN0 )
133 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
134132, 133syl6eleq 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
135 elfz5 11007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
136134, 86, 135syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
137131, 136mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 0 ... N ) )
138 bccl2 11569 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
139137, 138syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
140139nncnd 9972 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
141140mulid1d 9061 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  1 )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M
) ) )
142122, 128, 1413eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
143139nnne0d 10000 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =/=  0 )
144142, 143eqnetrd 2585 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =/=  0 )
14546, 4, 41, 109, 114, 144dgreq 20116 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
14646, 4, 41, 109, 114coeeq 20099 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) )
14746, 145, 1463jca 1134 1  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   ^cexp 11337    _C cbc 11548   sum_csu 12434  Polycply 20056  coeffccoe 20058  degcdgr 20059
This theorem is referenced by:  basellem4  20819  basellem5  20820
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-0p 19515  df-ply 20060  df-coe 20062  df-dgr 20063
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