MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Structured version   Unicode version

Theorem basellem1 22430
Description: Lemma for basel 22439. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
basellem1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 11490 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  e.  NN )
21nnrpd 11038 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  e.  RR+ )
3 pire 21933 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
4 pipos 21935 . . . . . 6  |-  0  <  pi
53, 4elrpii 11006 . . . . 5  |-  pi  e.  RR+
6 rpmulcl 11024 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
72, 5, 6sylancl 662 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
8 basel.n . . . . . 6  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
9 2nn 10491 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
10 nnmulcl 10357 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
119, 10mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
1211peano2nnd 10351 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
138, 12syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
1413nnrpd 11038 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
15 rpdivcl 11025 . . . 4  |-  ( ( ( K  x.  pi )  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
167, 14, 15syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
1716rpred 11039 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
1816rpgt0d 11042 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  (
( K  x.  pi )  /  N ) )
191adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  NN )
20 nnmulcl 10357 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( K  x.  2 )  e.  NN )
2119, 9, 20sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  e.  NN )
2221nnred 10349 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  e.  RR )
2311adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  e.  NN )
2423nnred 10349 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  e.  RR )
2513adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN )
2625nnred 10349 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  RR )
278, 26syl5eqelr 2528 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( 2  x.  M )  +  1 )  e.  RR )
2819nncnd 10350 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  CC )
29 2cn 10404 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
30 mulcom 9380 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( K  x.  2 )  =  ( 2  x.  K ) )
3128, 29, 30sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  =  ( 2  x.  K ) )
32 elfzle2 11467 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  <_  M )
3332adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  <_  M
)
3419nnred 10349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  RR )
35 nnre 10341 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
3635adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  M  e.  RR )
37 2re 10403 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
38 2pos 10425 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
3937, 38pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
41 lemul2 10194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( K  <_  M 
<->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  M ) ) )
4234, 36, 40, 41syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  <_  M 
<->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  M ) ) )
4333, 42mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  K )  <_  (
2  x.  M ) )
4431, 43eqbrtrd 4324 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <_  (
2  x.  M ) )
4524ltp1d 10275 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  <  (
( 2  x.  M
)  +  1 ) )
4622, 24, 27, 44, 45lelttrd 9541 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <  (
( 2  x.  M
)  +  1 ) )
4746, 8syl6breqr 4344 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <  N
)
48 remulcl 9379 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( K  x.  pi )  e.  RR )
4934, 3, 48sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR )
5021nngt0d 10377 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( K  x.  2 ) )
5125nngt0d 10377 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  N
)
527adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
5352rpgt0d 11042 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( K  x.  pi )
)
54 ltdiv2OLD 10230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  x.  2 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( K  x.  pi )  e.  RR )  /\  ( 0  <  ( K  x.  2 )  /\  0  <  N  /\  0  <  ( K  x.  pi ) ) )  ->  ( ( K  x.  2 )  <  N  <->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) ) )
5522, 26, 49, 50, 51, 53, 54syl33anc 1233 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  2 )  < 
N  <->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) ) )
5647, 55mpbid 210 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) )
57 picn 21934 . . . . 5  |-  pi  e.  CC
5857a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  pi  e.  CC )
59 2cnne0 10548 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
6059a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
6119nnne0d 10378 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  =/=  0
)
62 divcan5 10045 . . . 4  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )  -> 
( ( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) )  =  ( pi 
/  2 ) )
6358, 60, 28, 61, 62syl112anc 1222 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  / 
( K  x.  2 ) )  =  ( pi  /  2 ) )
6456, 63breqtrd 4328 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) )
65 0xr 9442 . . 3  |-  0  e.  RR*
66 rehalfcl 10563 . . . 4  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
67 rexr 9441 . . . 4  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
683, 66, 67mp2b 10 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
69 elioo2 11353 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( ( K  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR  /\  0  < 
( ( K  x.  pi )  /  N
)  /\  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
7065, 68, 69mp2an 672 . 2  |-  ( ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR  /\  0  < 
( ( K  x.  pi )  /  N
)  /\  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) ) )
7117, 18, 64, 70syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   class class class wbr 4304  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431    / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   RR+crp 11003   (,)cioo 11312   ...cfz 11449   picpi 13364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-shft 12568  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-ef 13365  df-sin 13367  df-cos 13368  df-pi 13370  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cncf 20466  df-limc 21353  df-dv 21354
This theorem is referenced by:  basellem4  22433  basellem8  22437
  Copyright terms: Public domain W3C validator