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Theorem basdif0 19249
Description: A basis is not affected by the addition or removal of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
basdif0  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  TopBases  <->  B  e.  TopBases )

Proof of Theorem basdif0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3667 . . . 4  |-  B  C_  ( B  u.  { (/) } )
2 undif1 3902 . . . 4  |-  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( B  u.  { (/) } )
31, 2sseqtr4i 3537 . . 3  |-  B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
4 snex 4688 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
5 unexg 6585 . . . 4  |-  ( ( ( B  \  { (/)
} )  e.  TopBases  /\  {
(/) }  e.  _V )  ->  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )
64, 5mpan2 671 . . 3  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  TopBases  ->  (
( B  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  e.  _V )
7 ssexg 4593 . . 3  |-  ( ( B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  /\  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
83, 6, 7sylancr 663 . 2  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  TopBases  ->  B  e.  _V )
9 elex 3122 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  e.  _V )
10 indif1 3742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  \  { (/) } )  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =  ( ( B  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  \  { (/) } )
1110unieqi 4254 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =  U. ( ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  \  { (/)
} )
12 unidif0 4620 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  \  { (/)
} )  =  U. ( B  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)
1311, 12eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =  U. ( B  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)
1413sseq2i 3529 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <-> 
( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
1514ralbii 2895 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
16 inss2 3719 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
17 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  { (/) } ) 
C_  { (/) }
1817sseli 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  y  e.  { (/) } )
19 elsni 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  y  =  (/) )
21 0ss 3814 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )
2220, 21syl6eqss 3554 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  y  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
2316, 22syl5ss 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
2423rgen 2824 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  ( B  i^i  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )
25 ralunb 3685 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <-> 
( A. y  e.  ( B  i^i  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  /\  A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
2624, 25mpbiran 916 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
27 inundif 3905 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B 
\  { (/) } ) )  =  B
2827raleqi 3062 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
2915, 26, 283bitr2i 273 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
3029ralbii 2895 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( B  \  { (/) } ) A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  ( B  \  { (/) } ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
31 inss1 3718 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
3217sseli 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  x  e.  { (/) } )
33 elsni 4052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  x  =  (/) )
3534, 21syl6eqss 3554 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
3631, 35syl5ss 3515 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
3736ralrimivw 2879 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  A. y  e.  B  ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
3837rgen 2824 . . . . . 6  |-  A. x  e.  ( B  i^i  { (/)
} ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )
39 ralunb 3685 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <-> 
( A. x  e.  ( B  i^i  { (/)
} ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  /\  A. x  e.  ( B  \  { (/)
} ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
4038, 39mpbiran 916 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  ( B  \  { (/) } ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
4127raleqi 3062 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
4230, 40, 413bitr2i 273 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( B  \  { (/) } ) A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
4342a1i 11 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. x  e.  ( B  \  { (/) } ) A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y )  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
44 difexg 4595 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  { (/) } )  e.  _V )
45 isbasisg 19243 . . . 4  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( B  \  { (/)
} )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( B  \  { (/)
} ) A. y  e.  ( B  \  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  C_  U. ( ( B  \  { (/) } )  i^i 
~P ( x  i^i  y ) ) ) )
4644, 45syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  (
( B  \  { (/)
} )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( B  \  { (/)
} ) A. y  e.  ( B  \  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  C_  U. ( ( B  \  { (/) } )  i^i 
~P ( x  i^i  y ) ) ) )
47 isbasisg 19243 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
4843, 46, 473bitr4d 285 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  (
( B  \  { (/)
} )  e.  TopBases  <->  B  e.  TopBases ) )
498, 9, 48pm5.21nii 353 1  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  TopBases  <->  B  e.  TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   TopBasesctb 19193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-sn 4028  df-pr 4030  df-uni 4246  df-bases 19196
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