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Theorem basdif0 19327
Description: A basis is not affected by the addition or removal of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
basdif0  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  TopBases  <->  B  e.  TopBases )

Proof of Theorem basdif0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3652 . . . 4  |-  B  C_  ( B  u.  { (/) } )
2 undif1 3889 . . . 4  |-  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( B  u.  { (/) } )
31, 2sseqtr4i 3522 . . 3  |-  B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
4 snex 4678 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
5 unexg 6586 . . . 4  |-  ( ( ( B  \  { (/)
} )  e.  TopBases  /\  {
(/) }  e.  _V )  ->  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )
64, 5mpan2 671 . . 3  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  TopBases  ->  (
( B  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  e.  _V )
7 ssexg 4583 . . 3  |-  ( ( B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  /\  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
83, 6, 7sylancr 663 . 2  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  TopBases  ->  B  e.  _V )
9 elex 3104 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  e.  _V )
10 indif1 3727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  \  { (/) } )  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =  ( ( B  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  \  { (/) } )
1110unieqi 4243 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =  U. ( ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  \  { (/)
} )
12 unidif0 4610 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  \  { (/)
} )  =  U. ( B  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)
1311, 12eqtri 2472 . . . . . . . . 9  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =  U. ( B  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)
1413sseq2i 3514 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <-> 
( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
1514ralbii 2874 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
16 inss2 3704 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
17 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  { (/) } ) 
C_  { (/) }
1817sseli 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  y  e.  { (/) } )
19 elsni 4039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  y  =  (/) )
21 0ss 3800 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )
2220, 21syl6eqss 3539 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  y  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
2316, 22syl5ss 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
2423rgen 2803 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  ( B  i^i  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )
25 ralunb 3670 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <-> 
( A. y  e.  ( B  i^i  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  /\  A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
2624, 25mpbiran 918 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
27 inundif 3892 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B 
\  { (/) } ) )  =  B
2827raleqi 3044 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
2915, 26, 283bitr2i 273 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
3029ralbii 2874 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( B  \  { (/) } ) A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  ( B  \  { (/) } ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
31 inss1 3703 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
3217sseli 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  x  e.  { (/) } )
33 elsni 4039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  x  =  (/) )
3534, 21syl6eqss 3539 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
3631, 35syl5ss 3500 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
3736ralrimivw 2858 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  i^i  {
(/) } )  ->  A. y  e.  B  ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
3837rgen 2803 . . . . . 6  |-  A. x  e.  ( B  i^i  { (/)
} ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )
39 ralunb 3670 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <-> 
( A. x  e.  ( B  i^i  { (/)
} ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  /\  A. x  e.  ( B  \  { (/)
} ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
4038, 39mpbiran 918 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  ( B  \  { (/) } ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
4127raleqi 3044 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ( B  i^i  { (/) } )  u.  ( B  \  { (/) } ) ) A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
4230, 40, 413bitr2i 273 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( B  \  { (/) } ) A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
4342a1i 11 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. x  e.  ( B  \  { (/) } ) A. y  e.  ( B  \  { (/) } ) ( x  i^i  y )  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y )  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
44 difexg 4585 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  { (/) } )  e.  _V )
45 isbasisg 19321 . . . 4  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( B  \  { (/)
} )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( B  \  { (/)
} ) A. y  e.  ( B  \  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  C_  U. ( ( B  \  { (/) } )  i^i 
~P ( x  i^i  y ) ) ) )
4644, 45syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  (
( B  \  { (/)
} )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( B  \  { (/)
} ) A. y  e.  ( B  \  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  C_  U. ( ( B  \  { (/) } )  i^i 
~P ( x  i^i  y ) ) ) )
47 isbasisg 19321 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
4843, 46, 473bitr4d 285 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  (
( B  \  { (/)
} )  e.  TopBases  <->  B  e.  TopBases ) )
498, 9, 48pm5.21nii 353 1  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  TopBases  <->  B  e.  TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   TopBasesctb 19271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-sn 4015  df-pr 4017  df-uni 4235  df-bases 19274
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