Theorem ballotthOLD 29408

Description: Bertrand's ballot problem : the probability that A is ahead throughout the counting. This is Metamath 100 proof #30. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.) Obsolete version of ballotth 29370 as of 6-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotthOLD.m	|- M e. NN
ballotthOLD.n	|- N e. NN
ballotthOLD.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotthOLD.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotthOLD.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotthOLD.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotthOLD.mgtn	|- N < M
ballotthOLD.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
ballotthOLD.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotthOLD.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotthOLD	|- ( P ` E ) = ( ( M - N ) / ( M + N ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   i, E, k   k, I, c   E, c   i, I, c   S, k, i, c   R, i, k   x, c, F   x, M   x, N, k, i   x, E   x, O

Allowed substitution hints:   P( x, i, k, c)   R( x, c)   S( x)   I( x)

Proof of Theorem ballotthOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotthOLD.e	. . . . . 6 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
2		ssrab2 3514	. . . . . 6 |- { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) } C_ O
3	1, 2	eqsstri 3462	. . . . 5 |- E C_ O
4		fzfi 12185	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
5		pwfi 7869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin <-> ~P ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin )
6	4, 5	mpbi 212	. . . . . . . . . 10 |- ~P ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
7		ballotthOLD.o	. . . . . . . . . . 11 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
8		ssrab2 3514	. . . . . . . . . . 11 |- { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M } C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) )
9	7, 8	eqsstri 3462	. . . . . . . . . 10 |- O C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) )
10		ssfi 7792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ O C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> O e. Fin )
11	6, 9, 10	mp2an 678	. . . . . . . . 9 |- O e. Fin
12		ssfi 7792	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. Fin /\ E C_ O ) -> E e. Fin )
13	11, 3, 12	mp2an 678	. . . . . . . 8 |- E e. Fin
14	13	elexi 3055	. . . . . . 7 |- E e. _V
15	14	elpw 3957	. . . . . 6 |- ( E e. ~P O <-> E C_ O )
16		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( x = E -> ( # ` x ) = ( # ` E ) )
17	16	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( x = E -> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) = ( ( # ` E ) / ( # ` O ) ) )
18		ballotthOLD.p	. . . . . . 7 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
19		ovex 6318	. . . . . . 7 |- ( ( # ` E ) / ( # ` O ) ) e. _V
20	17, 18, 19	fvmpt 5948	. . . . . 6 |- ( E e. ~P O -> ( P ` E ) = ( ( # ` E ) / ( # ` O ) ) )
21	15, 20	sylbir 217	. . . . 5 |- ( E C_ O -> ( P ` E ) = ( ( # ` E ) / ( # ` O ) ) )
22	3, 21	ax-mp 5	. . . 4 |- ( P ` E ) = ( ( # ` E ) / ( # ` O ) )
23		hashssdif 12588	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. Fin /\ E C_ O ) -> ( # ` ( O \ E ) ) = ( ( # ` O ) - ( # ` E ) ) )
24	11, 3, 23	mp2an 678	. . . . . . 7 |- ( # ` ( O \ E ) ) = ( ( # ` O ) - ( # ` E ) )
25	24	eqcomi 2460	. . . . . 6 |- ( ( # ` O ) - ( # ` E ) ) = ( # ` ( O \ E ) )
26		hashcl 12538	. . . . . . . . 9 |- ( O e. Fin -> ( # ` O ) e. NN0 )
27	11, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` O ) e. NN0
28	27	nn0cni 10881	. . . . . . 7 |- ( # ` O ) e. CC
29		hashcl 12538	. . . . . . . . 9 |- ( E e. Fin -> ( # ` E ) e. NN0 )
30	13, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` E ) e. NN0
31	30	nn0cni 10881	. . . . . . 7 |- ( # ` E ) e. CC
32		difss 3560	. . . . . . . . . 10 |- ( O \ E ) C_ O
33		ssfi 7792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. Fin /\ ( O \ E ) C_ O ) -> ( O \ E ) e. Fin )
34	11, 32, 33	mp2an 678	. . . . . . . . 9 |- ( O \ E ) e. Fin
35		hashcl 12538	. . . . . . . . 9 |- ( ( O \ E ) e. Fin -> ( # ` ( O \ E ) ) e. NN0 )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( O \ E ) ) e. NN0
37	36	nn0cni 10881	. . . . . . 7 |- ( # ` ( O \ E ) ) e. CC
38	28, 31, 37	subsub23i 9965	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` O ) - ( # ` E ) ) = ( # ` ( O \ E ) ) <-> ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) = ( # ` E ) )
39	25, 38	mpbi 212	. . . . 5 |- ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) = ( # ` E )
40	39	oveq1i 6300	. . . 4 |- ( ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( # ` E ) / ( # ` O ) )
41	22, 40	eqtr4i 2476	. . 3 |- ( P ` E ) = ( ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) / ( # ` O ) )
42		ballotthOLD.m	. . . . . . 7 |- M e. NN
43		ballotthOLD.n	. . . . . . 7 |- N e. NN
44	42, 43, 7	ballotlem1 29319	. . . . . 6 |- ( # ` O ) = ( ( M + N ) _C M )
45	42	nnnn0i 10877	. . . . . . . . 9 |- M e. NN0
46		nnaddcl 10631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
47	42, 43, 46	mp2an 678	. . . . . . . . . 10 |- ( M + N ) e. NN
48	47	nnnn0i 10877	. . . . . . . . 9 |- ( M + N ) e. NN0
49	42	nnrei 10618	. . . . . . . . . 10 |- M e. RR
50	43	nnnn0i 10877	. . . . . . . . . 10 |- N e. NN0
51	49, 50	nn0addge1i 10918	. . . . . . . . 9 |- M <_ ( M + N )
52		elfz2nn0 11885	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... ( M + N ) ) <-> ( M e. NN0 /\ ( M + N ) e. NN0 /\ M <_ ( M + N ) ) )
53	45, 48, 51, 52	mpbir3an 1190	. . . . . . . 8 |- M e. ( 0 ... ( M + N ) )
54		bccl2 12508	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> ( ( M + N ) _C M ) e. NN )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( M + N ) _C M ) e. NN
56	55	nnne0i 10644	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) _C M ) =/= 0
57	44, 56	eqnetri 2694	. . . . 5 |- ( # ` O ) =/= 0
58	28, 57	pm3.2i 457	. . . 4 |- ( ( # ` O ) e. CC /\ ( # ` O ) =/= 0 )
59		divsubdir 10303	. . . 4 |- ( ( ( # ` O ) e. CC /\ ( # ` ( O \ E ) ) e. CC /\ ( ( # ` O ) e. CC /\ ( # ` O ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( ( # ` O ) / ( # ` O ) ) - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) ) )
60	28, 37, 58, 59	mp3an 1364	. . 3 |- ( ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( ( # ` O ) / ( # ` O ) ) - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) )
61	28, 57	dividi 10340	. . . 4 |- ( ( # ` O ) / ( # ` O ) ) = 1
62	61	oveq1i 6300	. . 3 |- ( ( ( # ` O ) / ( # ` O ) ) - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) ) = ( 1 - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) )
63	41, 60, 62	3eqtri 2477	. 2 |- ( P ` E ) = ( 1 - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) )
64		ballotthOLD.f	. . . . . . 7 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
65		ballotthOLD.mgtn	. . . . . . 7 |- N < M
66		ballotthOLD.i	. . . . . . 7 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
67		ballotthOLD.s	. . . . . . 7 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
68		ballotthOLD.r	. . . . . . 7 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
69	42, 43, 7, 18, 64, 1, 65, 66, 67, 68	ballotlem8OLD 29407	. . . . . 6 |- ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) = ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
70	69	oveq1i 6300	. . . . 5 |- ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
71	70	oveq1i 6300	. . . 4 |- ( ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) )
72		rabxm 3755	. . . . . . 7 |- ( O \ E ) = ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } u. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
73	72	fveq2i 5868	. . . . . 6 |- ( # ` ( O \ E ) ) = ( # ` ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } u. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
74		ssrab2 3514	. . . . . . . . . 10 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ ( O \ E )
75	74, 32	sstri 3441	. . . . . . . . 9 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ O
76	75, 9	sstri 3441	. . . . . . . 8 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) )
77		ssfi 7792	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } e. Fin )
78	6, 76, 77	mp2an 678	. . . . . . 7 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } e. Fin
79		ssrab2 3514	. . . . . . . . . 10 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ ( O \ E )
80	79, 32	sstri 3441	. . . . . . . . 9 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ O
81	80, 9	sstri 3441	. . . . . . . 8 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) )
82		ssfi 7792	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } e. Fin )
83	6, 81, 82	mp2an 678	. . . . . . 7 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } e. Fin
84		rabnc 3756	. . . . . . 7 |- ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } i^i { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) = (/)
85		hashun 12561	. . . . . . 7 |- ( ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } e. Fin /\ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } e. Fin /\ ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } i^i { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) = (/) ) -> ( # ` ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } u. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) )
86	78, 83, 84, 85	mp3an 1364	. . . . . 6 |- ( # ` ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } u. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
87	73, 86	eqtri 2473	. . . . 5 |- ( # ` ( O \ E ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
88	87	oveq1i 6300	. . . 4 |- ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) )
89		ssrab2 3514	. . . . . . . . 9 |- { c e. O | -. 1 e. c } C_ O
90	11	elexi 3055	. . . . . . . . . 10 |- O e. _V
91	90	elpw2 4567	. . . . . . . . 9 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } e. ~P O <-> { c e. O | -. 1 e. c } C_ O )
92	89, 91	mpbir 213	. . . . . . . 8 |- { c e. O | -. 1 e. c } e. ~P O
93		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { c e. O | -. 1 e. c } -> ( # ` x ) = ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) )
94	93	oveq1d 6305	. . . . . . . . 9 |- ( x = { c e. O | -. 1 e. c } -> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) = ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) )
95		ovex 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) e. _V
96	94, 18, 95	fvmpt 5948	. . . . . . . 8 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } e. ~P O -> ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) )
97	92, 96	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) )
98	42, 43, 7, 18	ballotlem2 29321	. . . . . . 7 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( N / ( M + N ) )
99		nfrab1 2971	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ c { c e. O | -. 1 e. c }
100		nfrab1 2971	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ c { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
101	99, 100	dfss2f 3423	. . . . . . . . . . 11 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> A. c ( c e. { c e. O | -. 1 e. c } -> c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
102	42, 43, 7, 18, 64, 1	ballotlem4 29331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. O -> ( -. 1 e. c -> -. c e. E ) )
103	102	imdistani 696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. O /\ -. 1 e. c ) -> ( c e. O /\ -. c e. E ) )
104		rabid 2967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. { c e. O | -. 1 e. c } <-> ( c e. O /\ -. 1 e. c ) )
105		eldif 3414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ( O \ E ) <-> ( c e. O /\ -. c e. E ) )
106	103, 104, 105	3imtr4i 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. { c e. O | -. 1 e. c } -> c e. ( O \ E ) )
107	104	simprbi 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. { c e. O | -. 1 e. c } -> -. 1 e. c )
108		rabid 2967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) )
109	106, 107, 108	sylanbrc 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. { c e. O | -. 1 e. c } -> c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
110	101, 109	mpgbir 1673	. . . . . . . . . 10 |- { c e. O | -. 1 e. c } C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
111		rabss2 3512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O \ E ) C_ O -> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ { c e. O | -. 1 e. c } )
112	32, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ { c e. O | -. 1 e. c }
113	110, 112	eqssi 3448	. . . . . . . . 9 |- { c e. O | -. 1 e. c } = { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
114	113	fveq2i 5868	. . . . . . . 8 |- ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
115	114	oveq1i 6300	. . . . . . 7 |- ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) )
116	97, 98, 115	3eqtr3i 2481	. . . . . 6 |- ( N / ( M + N ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) )
117	116	oveq2i 6301	. . . . 5 |- ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) = ( 2 x. ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) )
118		2cn 10680	. . . . . 6 |- 2 e. CC
119		hashcl 12538	. . . . . . . 8 |- ( { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } e. Fin -> ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) e. NN0 )
120	83, 119	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) e. NN0
121	120	nn0cni 10881	. . . . . 6 |- ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) e. CC
122	118, 121, 28, 57	divassi 10363	. . . . 5 |- ( ( 2 x. ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) ) = ( 2 x. ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) )
123	121	2timesi 10730	. . . . . 6 |- ( 2 x. ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
124	123	oveq1i 6300	. . . . 5 |- ( ( 2 x. ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) )
125	117, 122, 124	3eqtr2i 2479	. . . 4 |- ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) = ( ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) )
126	71, 88, 125	3eqtr4ri 2484	. . 3 |- ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) = ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) )
127	126	oveq2i 6301	. 2 |- ( 1 - ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) ) = ( 1 - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) )
128	47	nncni 10619	. . . 4 |- ( M + N ) e. CC
129	43	nncni 10619	. . . . 5 |- N e. CC
130	118, 129	mulcli 9648	. . . 4 |- ( 2 x. N ) e. CC
131	47	nnne0i 10644	. . . . 5 |- ( M + N ) =/= 0
132	128, 131	pm3.2i 457	. . . 4 |- ( ( M + N ) e. CC /\ ( M + N ) =/= 0 )
133		divsubdir 10303	. . . 4 |- ( ( ( M + N ) e. CC /\ ( 2 x. N ) e. CC /\ ( ( M + N ) e. CC /\ ( M + N ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( M + N ) - ( 2 x. N ) ) / ( M + N ) ) = ( ( ( M + N ) / ( M + N ) ) - ( ( 2 x. N ) / ( M + N ) ) ) )
134	128, 130, 132, 133	mp3an 1364	. . 3 |- ( ( ( M + N ) - ( 2 x. N ) ) / ( M + N ) ) = ( ( ( M + N ) / ( M + N ) ) - ( ( 2 x. N ) / ( M + N ) ) )
135	129	2timesi 10730	. . . . . 6 |- ( 2 x. N ) = ( N + N )
136	135	oveq2i 6301	. . . . 5 |- ( ( M + N ) - ( 2 x. N ) ) = ( ( M + N ) - ( N + N ) )
137	42	nncni 10619	. . . . . . 7 |- M e. CC
138	137, 129, 129, 129	addsub4i 9971	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) - ( N + N ) ) = ( ( M - N ) + ( N - N ) )
139	129	subidi 9945	. . . . . . 7 |- ( N - N ) = 0
140	139	oveq2i 6301	. . . . . 6 |- ( ( M - N ) + ( N - N ) ) = ( ( M - N ) + 0 )
141	137, 129	subcli 9950	. . . . . . 7 |- ( M - N ) e. CC
142	141	addid1i 9820	. . . . . 6 |- ( ( M - N ) + 0 ) = ( M - N )
143	138, 140, 142	3eqtri 2477	. . . . 5 |- ( ( M + N ) - ( N + N ) ) = ( M - N )
144	136, 143	eqtri 2473	. . . 4 |- ( ( M + N ) - ( 2 x. N ) ) = ( M - N )
145	144	oveq1i 6300	. . 3 |- ( ( ( M + N ) - ( 2 x. N ) ) / ( M + N ) ) = ( ( M - N ) / ( M + N ) )
146	128, 131	dividi 10340	. . . 4 |- ( ( M + N ) / ( M + N ) ) = 1
147	118, 129, 128, 131	divassi 10363	. . . 4 |- ( ( 2 x. N ) / ( M + N ) ) = ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) )
148	146, 147	oveq12i 6302	. . 3 |- ( ( ( M + N ) / ( M + N ) ) - ( ( 2 x. N ) / ( M + N ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) )
149	134, 145, 148	3eqtr3ri 2482	. 2 |- ( 1 - ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) ) = ( ( M - N ) / ( M + N ) )
150	63, 127, 149	3eqtr2i 2479	1 |- ( P ` E ) = ( ( M - N ) / ( M + N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   {crab 2741   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   "cima 4837   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ...cfz 11784   _C cbc 12487   #chash 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12214  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516

This theorem is referenced by: (None)