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Theorem ballotth 26868
Description: Bertrand's ballot problem : the probability that A is ahead throughout the counting. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotth  |-  ( P `
 E )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k   
i, E, k    k, I, c    E, c    i, I, c    S, k, i, c    R, i, k    x, c, F    x, M    x, N, k, i    x, E   
x, O
Allowed substitution hints:    P( x, i, k, c)    R( x, c)    S( x)    I( x)

Proof of Theorem ballotth
StepHypRef Expression
1 ballotth.e . . . . . 6  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
2 ssrab2 3430 . . . . . 6  |-  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 c ) `  i ) }  C_  O
31, 2eqsstri 3379 . . . . 5  |-  E  C_  O
4 fzfi 11786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
5 pwfi 7598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  e.  Fin  <->  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin )
64, 5mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
7 ballotth.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
8 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  C_ 
~P ( 1 ... ( M  +  N
) )
97, 8eqsstri 3379 . . . . . . . . . 10  |-  O  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)
10 ssfi 7525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  e.  Fin  /\  O  C_  ~P (
1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  O  e.  Fin )
116, 9, 10mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  O  e. 
Fin
12 ssfi 7525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  e.  Fin  /\  E  C_  O )  ->  E  e.  Fin )
1311, 3, 12mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  E  e. 
Fin
1413elexi 2976 . . . . . . 7  |-  E  e. 
_V
1514elpw 3859 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ~P O  <->  E  C_  O
)
16 fveq2 5684 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  E
) )
1716oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( # `  x )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( # `  E
)  /  ( # `  O ) ) )
18 ballotth.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
19 ovex 6111 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  E )  /  ( # `  O
) )  e.  _V
2017, 18, 19fvmpt 5767 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ~P O  -> 
( P `  E
)  =  ( (
# `  E )  /  ( # `  O
) ) )
2115, 20sylbir 213 . . . . 5  |-  ( E 
C_  O  ->  ( P `  E )  =  ( ( # `  E )  /  ( # `
 O ) ) )
223, 21ax-mp 5 . . . 4  |-  ( P `
 E )  =  ( ( # `  E
)  /  ( # `  O ) )
23 hashssdif 12159 . . . . . . . 8  |-  ( ( O  e.  Fin  /\  E  C_  O )  -> 
( # `  ( O 
\  E ) )  =  ( ( # `  O )  -  ( # `
 E ) ) )
2411, 3, 23mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  =  ( ( # `  O
)  -  ( # `  E ) )
2524eqcomi 2441 . . . . . 6  |-  ( (
# `  O )  -  ( # `  E
) )  =  (
# `  ( O  \  E ) )
26 hashcl 12118 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  Fin  ->  ( # `
 O )  e. 
NN0 )
2711, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( # `  O )  e.  NN0
2827nn0cni 10583 . . . . . . 7  |-  ( # `  O )  e.  CC
29 hashcl 12118 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 E )  e. 
NN0 )
3013, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( # `  E )  e.  NN0
3130nn0cni 10583 . . . . . . 7  |-  ( # `  E )  e.  CC
32 difss 3476 . . . . . . . . . 10  |-  ( O 
\  E )  C_  O
33 ssfi 7525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  Fin  /\  ( O  \  E ) 
C_  O )  -> 
( O  \  E
)  e.  Fin )
3411, 32, 33mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
\  E )  e. 
Fin
35 hashcl 12118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  \  E )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( O  \  E ) )  e. 
NN0 )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  e.  NN0
3736nn0cni 10583 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  e.  CC
3828, 31, 37subsub23i 9690 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  O
)  -  ( # `  E ) )  =  ( # `  ( O  \  E ) )  <-> 
( ( # `  O
)  -  ( # `  ( O  \  E
) ) )  =  ( # `  E
) )
3925, 38mpbi 208 . . . . 5  |-  ( (
# `  O )  -  ( # `  ( O  \  E ) ) )  =  ( # `  E )
4039oveq1i 6096 . . . 4  |-  ( ( ( # `  O
)  -  ( # `  ( O  \  E
) ) )  / 
( # `  O ) )  =  ( (
# `  E )  /  ( # `  O
) )
4122, 40eqtr4i 2460 . . 3  |-  ( P `
 E )  =  ( ( ( # `  O )  -  ( # `
 ( O  \  E ) ) )  /  ( # `  O
) )
42 ballotth.m . . . . . . 7  |-  M  e.  NN
43 ballotth.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
4442, 43, 7ballotlem1 26817 . . . . . 6  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
4542nnnn0i 10579 . . . . . . . . 9  |-  M  e. 
NN0
46 nnaddcl 10336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
4742, 43, 46mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  NN
4847nnnn0i 10579 . . . . . . . . 9  |-  ( M  +  N )  e. 
NN0
4942nnrei 10323 . . . . . . . . . 10  |-  M  e.  RR
5043nnnn0i 10579 . . . . . . . . . 10  |-  N  e. 
NN0
5149, 50nn0addge1i 10620 . . . . . . . . 9  |-  M  <_ 
( M  +  N
)
52 elfz2nn0 11472 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  e. 
NN0  /\  M  <_  ( M  +  N ) ) )
5345, 48, 51, 52mpbir3an 1170 . . . . . . . 8  |-  M  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
)
54 bccl2 12091 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( M  +  N
)  _C  M )  e.  NN )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( M  +  N )  _C  M )  e.  NN
5655nnne0i 10348 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  _C  M )  =/=  0
5744, 56eqnetri 2619 . . . . 5  |-  ( # `  O )  =/=  0
5828, 57pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( (
# `  O )  e.  CC  /\  ( # `  O )  =/=  0
)
59 divsubdir 10019 . . . 4  |-  ( ( ( # `  O
)  e.  CC  /\  ( # `  ( O 
\  E ) )  e.  CC  /\  (
( # `  O )  e.  CC  /\  ( # `
 O )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( # `  O )  -  ( # `
 ( O  \  E ) ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( ( # `  O
)  /  ( # `  O ) )  -  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) ) ) )
6028, 37, 58, 59mp3an 1314 . . 3  |-  ( ( ( # `  O
)  -  ( # `  ( O  \  E
) ) )  / 
( # `  O ) )  =  ( ( ( # `  O
)  /  ( # `  O ) )  -  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
6128, 57dividi 10056 . . . 4  |-  ( (
# `  O )  /  ( # `  O
) )  =  1
6261oveq1i 6096 . . 3  |-  ( ( ( # `  O
)  /  ( # `  O ) )  -  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) ) )  =  ( 1  -  (
( # `  ( O 
\  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
6341, 60, 623eqtri 2461 . 2  |-  ( P `
 E )  =  ( 1  -  (
( # `  ( O 
\  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
64 ballotth.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
65 ballotth.mgtn . . . . . . 7  |-  N  < 
M
66 ballotth.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
67 ballotth.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
68 ballotth.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
6942, 43, 7, 18, 64, 1, 65, 66, 67, 68ballotlem8 26867 . . . . . 6  |-  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )  =  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )
7069oveq1i 6096 . . . . 5  |-  ( (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c } )  +  ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )
7170oveq1i 6096 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )
72 rabxm 3653 . . . . . . 7  |-  ( O 
\  E )  =  ( { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  u.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
7372fveq2i 5687 . . . . . 6  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  =  (
# `  ( {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }  u.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )
74 ssrab2 3430 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  ( O  \  E )
7574, 32sstri 3358 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  O
7675, 9sstri 3358 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)
77 ssfi 7525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  e.  Fin  /\ 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  ~P (
1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  e.  Fin )
786, 76, 77mp2an 672 . . . . . . 7  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  e.  Fin
79 ssrab2 3430 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  ( O  \  E
)
8079, 32sstri 3358 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  O
8180, 9sstri 3358 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_ 
~P ( 1 ... ( M  +  N
) )
82 ssfi 7525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  e.  Fin  /\ 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
) )  ->  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin )
836, 81, 82mp2an 672 . . . . . . 7  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin
84 rabnc 3654 . . . . . . 7  |-  ( { c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }  i^i  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  =  (/)
85 hashun 12137 . . . . . . 7  |-  ( ( { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  e.  Fin  /\  { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin  /\  ( { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  i^i  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
)  =  (/) )  -> 
( # `  ( { c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }  u.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) ) )
8678, 83, 84, 85mp3an 1314 . . . . . 6  |-  ( # `  ( { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  u.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
8773, 86eqtri 2457 . . . . 5  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
8887oveq1i 6096 . . . 4  |-  ( (
# `  ( O  \  E ) )  / 
( # `  O ) )  =  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )
89 ssrab2 3430 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O
9011elexi 2976 . . . . . . . . . 10  |-  O  e. 
_V
9190elpw2 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  <->  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O )
9289, 91mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O
93 fveq2 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } ) )
9493oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  (
( # `  x )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
95 ovex 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  e. 
_V
9694, 18, 95fvmpt 5767 . . . . . . . 8  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  ->  ( P `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
9792, 96ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
9842, 43, 7, 18ballotlem2 26819 . . . . . . 7  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
99 nfrab1 2895 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ c { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
100 nfrab1 2895 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ c { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
10199, 100dfss2f 3340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  <->  A. c
( c  e.  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  c  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
10242, 43, 7, 18, 64, 1ballotlem4 26829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  O  ->  ( -.  1  e.  c  ->  -.  c  e.  E
) )
103102imdistani 690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  ->  ( c  e.  O  /\  -.  c  e.  E ) )
104 rabid 2891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  <->  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c ) )
105 eldif 3331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  <->  ( c  e.  O  /\  -.  c  e.  E ) )
106103, 104, 1053imtr4i 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  c  e.  ( O  \  E
) )
107104simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  -.  1  e.  c )
108 rabid 2891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  <->  ( c  e.  ( O  \  E
)  /\  -.  1  e.  c ) )
109106, 107, 108sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )
110101, 109mpgbir 1595 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_ 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
111 rabss2 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O  \  E ) 
C_  O  ->  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_ 
{ c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )
11232, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_ 
{ c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
113110, 112eqssi 3365 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  =  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
114113fveq2i 5687 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )
115114oveq1i 6096 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
11697, 98, 1153eqtr3i 2465 . . . . . 6  |-  ( N  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
117116oveq2i 6097 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( N  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( 2  x.  (
( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) ) )
118 2cn 10384 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
119 hashcl 12118 . . . . . . . 8  |-  ( { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin  ->  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  e. 
NN0 )
12083, 119ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )  e. 
NN0
121120nn0cni 10583 . . . . . 6  |-  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )  e.  CC
122118, 121, 28, 57divassi 10079 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( 2  x.  ( (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  / 
( # `  O ) ) )
1231212timesi 10434 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )
124123oveq1i 6096 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )
125117, 122, 1243eqtr2i 2463 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( N  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( ( ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  / 
( # `  O ) )
12671, 88, 1253eqtr4ri 2468 . . 3  |-  ( 2  x.  ( N  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) )
127126oveq2i 6097 . 2  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( N  /  ( M  +  N )
) ) )  =  ( 1  -  (
( # `  ( O 
\  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
12847nncni 10324 . . . 4  |-  ( M  +  N )  e.  CC
12943nncni 10324 . . . . 5  |-  N  e.  CC
130118, 129mulcli 9383 . . . 4  |-  ( 2  x.  N )  e.  CC
13147nnne0i 10348 . . . . 5  |-  ( M  +  N )  =/=  0
132128, 131pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  e.  CC  /\  ( M  +  N )  =/=  0 )
133 divsubdir 10019 . . . 4  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  ( ( M  +  N )  e.  CC  /\  ( M  +  N
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( M  +  N
)  -  ( 2  x.  N ) )  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( M  +  N )  / 
( M  +  N
) )  -  (
( 2  x.  N
)  /  ( M  +  N ) ) ) )
134128, 130, 132, 133mp3an 1314 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  ( 2  x.  N ) )  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( M  +  N )  / 
( M  +  N
) )  -  (
( 2  x.  N
)  /  ( M  +  N ) ) )
1351292timesi 10434 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N
)
136135oveq2i 6097 . . . . 5  |-  ( ( M  +  N )  -  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( M  +  N )  -  ( N  +  N )
)
13742nncni 10324 . . . . . . 7  |-  M  e.  CC
138137, 129, 129, 129addsub4i 9696 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  -  ( N  +  N ) )  =  ( ( M  -  N )  +  ( N  -  N ) )
139129subidi 9671 . . . . . . 7  |-  ( N  -  N )  =  0
140139oveq2i 6097 . . . . . 6  |-  ( ( M  -  N )  +  ( N  -  N ) )  =  ( ( M  -  N )  +  0 )
141137, 129subcli 9676 . . . . . . 7  |-  ( M  -  N )  e.  CC
142141addid1i 9548 . . . . . 6  |-  ( ( M  -  N )  +  0 )  =  ( M  -  N
)
143138, 140, 1423eqtri 2461 . . . . 5  |-  ( ( M  +  N )  -  ( N  +  N ) )  =  ( M  -  N
)
144136, 143eqtri 2457 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  -  ( 2  x.  N ) )  =  ( M  -  N
)
145144oveq1i 6096 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  ( 2  x.  N ) )  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
146128, 131dividi 10056 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  /  ( M  +  N ) )  =  1
147118, 129, 128, 131divassi 10079 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  N )  /  ( M  +  N ) )  =  ( 2  x.  ( N  /  ( M  +  N ) ) )
148146, 147oveq12i 6098 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  /  ( M  +  N ) )  -  ( ( 2  x.  N )  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( 1  -  (
2  x.  ( N  /  ( M  +  N ) ) ) )
149134, 145, 1483eqtr3ri 2466 . 2  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( N  /  ( M  +  N )
) ) )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
15063, 127, 1493eqtr2i 2463 1  |-  ( P `
 E )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2600   A.wral 2709   {crab 2713    \ cdif 3318    u. cun 3319    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3630   ifcif 3784   ~Pcpw 3853   class class class wbr 4285    e. cmpt 4343   `'ccnv 4831   "cima 4835   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   supcsup 7682   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ...cfz 11429    _C cbc 12070   #chash 12095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-seq 11799  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096
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