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Theorem ballotth 28659
Description: Bertrand's ballot problem : the probability that A is ahead throughout the counting. This is Metamath 100 proof #30. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotth  |-  ( P `
 E )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k   
i, E, k    k, I, c    E, c    i, I, c    S, k, i, c    R, i, k    x, c, F    x, M    x, N, k, i    x, E   
x, O
Allowed substitution hints:    P( x, i, k, c)    R( x, c)    S( x)    I( x)

Proof of Theorem ballotth
StepHypRef Expression
1 ballotth.e . . . . . 6  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
2 ssrab2 3499 . . . . . 6  |-  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 c ) `  i ) }  C_  O
31, 2eqsstri 3447 . . . . 5  |-  E  C_  O
4 fzfi 11985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
5 pwfi 7730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  e.  Fin  <->  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin )
64, 5mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
7 ballotth.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
8 ssrab2 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  C_ 
~P ( 1 ... ( M  +  N
) )
97, 8eqsstri 3447 . . . . . . . . . 10  |-  O  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)
10 ssfi 7656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  e.  Fin  /\  O  C_  ~P (
1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  O  e.  Fin )
116, 9, 10mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  O  e. 
Fin
12 ssfi 7656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  e.  Fin  /\  E  C_  O )  ->  E  e.  Fin )
1311, 3, 12mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  E  e. 
Fin
1413elexi 3044 . . . . . . 7  |-  E  e. 
_V
1514elpw 3933 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ~P O  <->  E  C_  O
)
16 fveq2 5774 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  E
) )
1716oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( # `  x )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( # `  E
)  /  ( # `  O ) ) )
18 ballotth.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
19 ovex 6224 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  E )  /  ( # `  O
) )  e.  _V
2017, 18, 19fvmpt 5857 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ~P O  -> 
( P `  E
)  =  ( (
# `  E )  /  ( # `  O
) ) )
2115, 20sylbir 213 . . . . 5  |-  ( E 
C_  O  ->  ( P `  E )  =  ( ( # `  E )  /  ( # `
 O ) ) )
223, 21ax-mp 5 . . . 4  |-  ( P `
 E )  =  ( ( # `  E
)  /  ( # `  O ) )
23 hashssdif 12379 . . . . . . . 8  |-  ( ( O  e.  Fin  /\  E  C_  O )  -> 
( # `  ( O 
\  E ) )  =  ( ( # `  O )  -  ( # `
 E ) ) )
2411, 3, 23mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  =  ( ( # `  O
)  -  ( # `  E ) )
2524eqcomi 2395 . . . . . 6  |-  ( (
# `  O )  -  ( # `  E
) )  =  (
# `  ( O  \  E ) )
26 hashcl 12330 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  Fin  ->  ( # `
 O )  e. 
NN0 )
2711, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( # `  O )  e.  NN0
2827nn0cni 10724 . . . . . . 7  |-  ( # `  O )  e.  CC
29 hashcl 12330 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 E )  e. 
NN0 )
3013, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( # `  E )  e.  NN0
3130nn0cni 10724 . . . . . . 7  |-  ( # `  E )  e.  CC
32 difss 3545 . . . . . . . . . 10  |-  ( O 
\  E )  C_  O
33 ssfi 7656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  Fin  /\  ( O  \  E ) 
C_  O )  -> 
( O  \  E
)  e.  Fin )
3411, 32, 33mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
\  E )  e. 
Fin
35 hashcl 12330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  \  E )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( O  \  E ) )  e. 
NN0 )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  e.  NN0
3736nn0cni 10724 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  e.  CC
3828, 31, 37subsub23i 9823 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  O
)  -  ( # `  E ) )  =  ( # `  ( O  \  E ) )  <-> 
( ( # `  O
)  -  ( # `  ( O  \  E
) ) )  =  ( # `  E
) )
3925, 38mpbi 208 . . . . 5  |-  ( (
# `  O )  -  ( # `  ( O  \  E ) ) )  =  ( # `  E )
4039oveq1i 6206 . . . 4  |-  ( ( ( # `  O
)  -  ( # `  ( O  \  E
) ) )  / 
( # `  O ) )  =  ( (
# `  E )  /  ( # `  O
) )
4122, 40eqtr4i 2414 . . 3  |-  ( P `
 E )  =  ( ( ( # `  O )  -  ( # `
 ( O  \  E ) ) )  /  ( # `  O
) )
42 ballotth.m . . . . . . 7  |-  M  e.  NN
43 ballotth.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
4442, 43, 7ballotlem1 28608 . . . . . 6  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
4542nnnn0i 10720 . . . . . . . . 9  |-  M  e. 
NN0
46 nnaddcl 10474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
4742, 43, 46mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  NN
4847nnnn0i 10720 . . . . . . . . 9  |-  ( M  +  N )  e. 
NN0
4942nnrei 10461 . . . . . . . . . 10  |-  M  e.  RR
5043nnnn0i 10720 . . . . . . . . . 10  |-  N  e. 
NN0
5149, 50nn0addge1i 10761 . . . . . . . . 9  |-  M  <_ 
( M  +  N
)
52 elfz2nn0 11691 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  e. 
NN0  /\  M  <_  ( M  +  N ) ) )
5345, 48, 51, 52mpbir3an 1176 . . . . . . . 8  |-  M  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
)
54 bccl2 12303 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( M  +  N
)  _C  M )  e.  NN )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( M  +  N )  _C  M )  e.  NN
5655nnne0i 10487 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  _C  M )  =/=  0
5744, 56eqnetri 2678 . . . . 5  |-  ( # `  O )  =/=  0
5828, 57pm3.2i 453 . . . 4  |-  ( (
# `  O )  e.  CC  /\  ( # `  O )  =/=  0
)
59 divsubdir 10157 . . . 4  |-  ( ( ( # `  O
)  e.  CC  /\  ( # `  ( O 
\  E ) )  e.  CC  /\  (
( # `  O )  e.  CC  /\  ( # `
 O )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( # `  O )  -  ( # `
 ( O  \  E ) ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( ( # `  O
)  /  ( # `  O ) )  -  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) ) ) )
6028, 37, 58, 59mp3an 1322 . . 3  |-  ( ( ( # `  O
)  -  ( # `  ( O  \  E
) ) )  / 
( # `  O ) )  =  ( ( ( # `  O
)  /  ( # `  O ) )  -  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
6128, 57dividi 10194 . . . 4  |-  ( (
# `  O )  /  ( # `  O
) )  =  1
6261oveq1i 6206 . . 3  |-  ( ( ( # `  O
)  /  ( # `  O ) )  -  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) ) )  =  ( 1  -  (
( # `  ( O 
\  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
6341, 60, 623eqtri 2415 . 2  |-  ( P `
 E )  =  ( 1  -  (
( # `  ( O 
\  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
64 ballotth.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
65 ballotth.mgtn . . . . . . 7  |-  N  < 
M
66 ballotth.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
67 ballotth.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
68 ballotth.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
6942, 43, 7, 18, 64, 1, 65, 66, 67, 68ballotlem8 28658 . . . . . 6  |-  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )  =  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )
7069oveq1i 6206 . . . . 5  |-  ( (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c } )  +  ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )
7170oveq1i 6206 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )
72 rabxm 3735 . . . . . . 7  |-  ( O 
\  E )  =  ( { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  u.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
7372fveq2i 5777 . . . . . 6  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  =  (
# `  ( {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }  u.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )
74 ssrab2 3499 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  ( O  \  E )
7574, 32sstri 3426 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  O
7675, 9sstri 3426 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)
77 ssfi 7656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  e.  Fin  /\ 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  ~P (
1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  e.  Fin )
786, 76, 77mp2an 670 . . . . . . 7  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  e.  Fin
79 ssrab2 3499 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  ( O  \  E
)
8079, 32sstri 3426 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  O
8180, 9sstri 3426 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_ 
~P ( 1 ... ( M  +  N
) )
82 ssfi 7656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  e.  Fin  /\ 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
) )  ->  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin )
836, 81, 82mp2an 670 . . . . . . 7  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin
84 rabnc 3736 . . . . . . 7  |-  ( { c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }  i^i  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  =  (/)
85 hashun 12353 . . . . . . 7  |-  ( ( { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  e.  Fin  /\  { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin  /\  ( { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  i^i  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
)  =  (/) )  -> 
( # `  ( { c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }  u.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) ) )
8678, 83, 84, 85mp3an 1322 . . . . . 6  |-  ( # `  ( { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  u.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
8773, 86eqtri 2411 . . . . 5  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
8887oveq1i 6206 . . . 4  |-  ( (
# `  ( O  \  E ) )  / 
( # `  O ) )  =  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )
89 ssrab2 3499 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O
9011elexi 3044 . . . . . . . . . 10  |-  O  e. 
_V
9190elpw2 4529 . . . . . . . . 9  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  <->  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O )
9289, 91mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O
93 fveq2 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } ) )
9493oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  (
( # `  x )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
95 ovex 6224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  e. 
_V
9694, 18, 95fvmpt 5857 . . . . . . . 8  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  ->  ( P `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
9792, 96ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
9842, 43, 7, 18ballotlem2 28610 . . . . . . 7  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
99 nfrab1 2963 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ c { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
100 nfrab1 2963 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ c { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
10199, 100dfss2f 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  <->  A. c
( c  e.  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  c  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
10242, 43, 7, 18, 64, 1ballotlem4 28620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  O  ->  ( -.  1  e.  c  ->  -.  c  e.  E
) )
103102imdistani 688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  ->  ( c  e.  O  /\  -.  c  e.  E ) )
104 rabid 2959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  <->  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c ) )
105 eldif 3399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  <->  ( c  e.  O  /\  -.  c  e.  E ) )
106103, 104, 1053imtr4i 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  c  e.  ( O  \  E
) )
107104simprbi 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  -.  1  e.  c )
108 rabid 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  <->  ( c  e.  ( O  \  E
)  /\  -.  1  e.  c ) )
109106, 107, 108sylanbrc 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )
110101, 109mpgbir 1630 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_ 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
111 rabss2 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O  \  E ) 
C_  O  ->  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_ 
{ c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )
11232, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_ 
{ c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
113110, 112eqssi 3433 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  =  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
114113fveq2i 5777 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )
115114oveq1i 6206 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
11697, 98, 1153eqtr3i 2419 . . . . . 6  |-  ( N  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
117116oveq2i 6207 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( N  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( 2  x.  (
( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) ) )
118 2cn 10523 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
119 hashcl 12330 . . . . . . . 8  |-  ( { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin  ->  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  e. 
NN0 )
12083, 119ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )  e. 
NN0
121120nn0cni 10724 . . . . . 6  |-  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )  e.  CC
122118, 121, 28, 57divassi 10217 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( 2  x.  ( (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  / 
( # `  O ) ) )
1231212timesi 10573 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )
124123oveq1i 6206 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )
125117, 122, 1243eqtr2i 2417 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( N  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( ( ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  / 
( # `  O ) )
12671, 88, 1253eqtr4ri 2422 . . 3  |-  ( 2  x.  ( N  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) )
127126oveq2i 6207 . 2  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( N  /  ( M  +  N )
) ) )  =  ( 1  -  (
( # `  ( O 
\  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
12847nncni 10462 . . . 4  |-  ( M  +  N )  e.  CC
12943nncni 10462 . . . . 5  |-  N  e.  CC
130118, 129mulcli 9512 . . . 4  |-  ( 2  x.  N )  e.  CC
13147nnne0i 10487 . . . . 5  |-  ( M  +  N )  =/=  0
132128, 131pm3.2i 453 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  e.  CC  /\  ( M  +  N )  =/=  0 )
133 divsubdir 10157 . . . 4  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  ( ( M  +  N )  e.  CC  /\  ( M  +  N
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( M  +  N
)  -  ( 2  x.  N ) )  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( M  +  N )  / 
( M  +  N
) )  -  (
( 2  x.  N
)  /  ( M  +  N ) ) ) )
134128, 130, 132, 133mp3an 1322 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  ( 2  x.  N ) )  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( M  +  N )  / 
( M  +  N
) )  -  (
( 2  x.  N
)  /  ( M  +  N ) ) )
1351292timesi 10573 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N
)
136135oveq2i 6207 . . . . 5  |-  ( ( M  +  N )  -  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( M  +  N )  -  ( N  +  N )
)
13742nncni 10462 . . . . . . 7  |-  M  e.  CC
138137, 129, 129, 129addsub4i 9829 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  -  ( N  +  N ) )  =  ( ( M  -  N )  +  ( N  -  N ) )
139129subidi 9803 . . . . . . 7  |-  ( N  -  N )  =  0
140139oveq2i 6207 . . . . . 6  |-  ( ( M  -  N )  +  ( N  -  N ) )  =  ( ( M  -  N )  +  0 )
141137, 129subcli 9808 . . . . . . 7  |-  ( M  -  N )  e.  CC
142141addid1i 9678 . . . . . 6  |-  ( ( M  -  N )  +  0 )  =  ( M  -  N
)
143138, 140, 1423eqtri 2415 . . . . 5  |-  ( ( M  +  N )  -  ( N  +  N ) )  =  ( M  -  N
)
144136, 143eqtri 2411 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  -  ( 2  x.  N ) )  =  ( M  -  N
)
145144oveq1i 6206 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  ( 2  x.  N ) )  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
146128, 131dividi 10194 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  /  ( M  +  N ) )  =  1
147118, 129, 128, 131divassi 10217 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  N )  /  ( M  +  N ) )  =  ( 2  x.  ( N  /  ( M  +  N ) ) )
148146, 147oveq12i 6208 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  /  ( M  +  N ) )  -  ( ( 2  x.  N )  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( 1  -  (
2  x.  ( N  /  ( M  +  N ) ) ) )
149134, 145, 1483eqtr3ri 2420 . 2  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( N  /  ( M  +  N )
) ) )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
15063, 127, 1493eqtr2i 2417 1  |-  ( P `
 E )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   {crab 2736    \ cdif 3386    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ifcif 3857   ~Pcpw 3927   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   `'ccnv 4912   "cima 4916   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   supcsup 7815   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ...cfz 11593    _C cbc 12282   #chash 12307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-seq 12011  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308
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