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Theorem ballotlemsimaOLD 29398
Description: The image by  S of an interval before the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-May-2017.) Obsolete version of ballotlemsima 29360 as of 6-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotthOLD.m  |-  M  e.  NN
ballotthOLD.n  |-  N  e.  NN
ballotthOLD.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotthOLD.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotthOLD.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotthOLD.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotthOLD.mgtn  |-  N  < 
M
ballotthOLD.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotthOLD.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemsimaOLD  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    C, i, k    i,
c, F, k    i, E, k    k, I, c    E, c    i, I, c   
k, J    S, k
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    S( x, i, c)    E( x)    F( x)    I( x)    J( x, i, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemsimaOLD
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5182 . . . . . 6  |-  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  C_  ran  ( S `  C
)
2 ballotthOLD.m . . . . . . . . 9  |-  M  e.  NN
3 ballotthOLD.n . . . . . . . . 9  |-  N  e.  NN
4 ballotthOLD.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
5 ballotthOLD.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
6 ballotthOLD.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
7 ballotthOLD.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
8 ballotthOLD.mgtn . . . . . . . . 9  |-  N  < 
M
9 ballotthOLD.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
10 ballotthOLD.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsf1oOLD 29396 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) ) )
1211simpld 461 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
) )
13 f1of 5819 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) --> ( 1 ... ( M  +  N )
) )
14 frn 5740 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) --> ( 1 ... ( M  +  N ) )  ->  ran  ( S `  C
)  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
1512, 13, 143syl 18 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ran  ( S `  C ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )
161, 15syl5ss 3445 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) " ( 1 ... J ) ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )
17 fzssuz 11846 . . . . . 6  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
18 uzssz 11185 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
1917, 18sstri 3443 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ZZ
2016, 19syl6ss 3446 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) " ( 1 ... J ) ) 
C_  ZZ )
2120adantr 467 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  C_  ZZ )
2221sselda 3434 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
23 elfzelz 11807 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( ( S `  C ) `
 J ) ... ( I `  C
) )  ->  k  e.  ZZ )
2423adantl 468 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) )  ->  k  e.  ZZ )
25 f1ofn 5820 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( S `  C )  Fn  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
2612, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C )  Fn  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2726adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( S `  C )  Fn  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
282, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemiexOLD 29384 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
2928simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3029adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
31 elfzuz3 11804 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
33 elfzuz3 11804 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  (
I `  C )  e.  ( ZZ>= `  J )
)
3433adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
35 uztrn 11182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C
) )  /\  (
I `  C )  e.  ( ZZ>= `  J )
)  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
3632, 34, 35syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
37 fzss2 11845 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  ( 1 ... J )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3836, 37syl 17 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... J )  C_  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
39 fvelimab 5926 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  C
)  Fn  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( 1 ... J
)  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) )  <->  E. j  e.  (
1 ... J ) ( ( S `  C
) `  j )  =  k ) )
4027, 38, 39syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) )  <->  E. j  e.  (
1 ... J ) ( ( S `  C
) `  j )  =  k ) )
4140adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
42 1zzd 10975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
432nnzi 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  e.  ZZ
443nnzi 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  e.  ZZ
45 zaddcl 10984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
4643, 44, 45mp2an 679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
48 elfzelz 11807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
4948adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
50 elfzle1 11809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  1  <_  J )
5150adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  <_  J
)
5249zred 11047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  RR )
53 elfzelz 11807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
5429, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
5554adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
5655zred 11047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  RR )
5747zred 11047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
58 elfzle2 11810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  <_  ( I `  C
) )
5958adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  <_  (
I `  C )
)
60 elfzle2 11810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
6129, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
6261adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  <_  ( M  +  N )
)
6352, 56, 57, 59, 62letrd 9797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  <_  ( M  +  N )
)
64 elfz4 11800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( M  +  N ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
6542, 47, 49, 51, 63, 64syl32anc 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
662, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsvOLD 29392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  if ( J  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J
) )
6765, 66syldan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  if ( J  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J
) )
68 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
69 iftrue 3889 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  <_  ( I `  C )  ->  if ( J  <_  ( I `
 C ) ,  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ,  J )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
7068, 58, 693syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  if ( J  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J )  =  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) )
7167, 70eqtrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
7271oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J ) ... ( I `  C
) )  =  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( I `  C ) ) )
7372eleq2d 2516 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
)  <->  k  e.  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( I `  C ) ) ) )
7473adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) ) )
7554ad2antrr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
7675zcnd 11048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
77 1cnd 9664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
7876, 77pncand 9992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  1 )  =  ( I `  C ) )
7978oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) )
8079eleq2d 2516 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) ) )
81 1zzd 10975 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
8248ad2antlr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  J  e.  ZZ )
8375peano2zd 11050 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  ZZ )
84 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
85 fzrev 11865 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( ( ( I `  C )  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
8681, 82, 83, 84, 85syl22anc 1270 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
8774, 80, 863bitr2d 285 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
88 risset 2917 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k ) )
8988a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  e.  ( 1 ... J )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k ) ) )
90 eqcom 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  =  j  <->  j  =  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
) )
9154ad2antrr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
9291adantlr 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
9392zcnd 11048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
94 1cnd 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  1  e.  CC )
9593, 94addcld 9667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  CC )
96 simplr 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
9796zcnd 11048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  k  e.  CC )
98 elfzelz 11807 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... J )  ->  j  e.  ZZ )
9998adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ZZ )
10099zcnd 11048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  CC )
101 subsub23 9885 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  =  j  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
10295, 97, 100, 101syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  =  j  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
10390, 102syl5bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
j  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  k )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
104 simpll 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  C  e.  ( O  \  E
) )
10538sselda 3434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
1062, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsvOLD 29392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  j )  =  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
107104, 105, 106syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( S `  C
) `  j )  =  if ( j  <_ 
( I `  C
) ,  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
10898adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ZZ )
109108zred 11047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  RR )
11048ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  e.  ZZ )
111110zred 11047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  e.  RR )
11291zred 11047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  RR )
113 elfzle2 11810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... J )  ->  j  <_  J )
114113adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  <_  J )
11558ad2antlr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  <_  ( I `  C
) )
116109, 111, 112, 114, 115letrd 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  <_  ( I `  C
) )
117 iftrue 3889 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  <_  ( I `  C )  ->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) )
119107, 118eqtrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( S `  C
) `  j )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) )
120119eqeq1d 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( S `  C ) `  j
)  =  k  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
121120adantlr 722 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( S `  C ) `  j
)  =  k  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
122103, 121bitr4d 260 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
j  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  k )  <->  ( ( S `  C ) `  j )  =  k ) )
123122rexbidva 2900 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... J ) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
12487, 89, 1233bitrd 283 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
12541, 124bitr4d 260 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  <->  k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) )
12622, 24, 125eqrdav 2452 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743    \ cdif 3403    i^i cin 3405    C_ wss 3406   ifcif 3883   ~Pcpw 3953   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5580   -->wf 5581   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   supcsup 7959   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    < clt 9680    <_ cle 9681    - cmin 9865    / cdiv 10276   NNcn 10616   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791   #chash 12522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-hash 12523
This theorem is referenced by:  ballotlemfrcOLD  29409
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