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Theorem ballotlemsima 28279
Description: The image by  S of an interval before the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemsima  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    k, J    S, k
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    S( x, i, c)    E( x)    F( x)    I( x)    J( x, i, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemsima
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5354 . . . . . 6  |-  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  C_  ran  ( S `  C
)
2 ballotth.m . . . . . . . . 9  |-  M  e.  NN
3 ballotth.n . . . . . . . . 9  |-  N  e.  NN
4 ballotth.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
5 ballotth.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
6 ballotth.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
7 ballotth.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
8 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9  |-  N  < 
M
9 ballotth.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
10 ballotth.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsf1o 28277 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) ) )
1211simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
) )
13 f1of 5822 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) --> ( 1 ... ( M  +  N )
) )
14 frn 5743 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) --> ( 1 ... ( M  +  N ) )  ->  ran  ( S `  C
)  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ran  ( S `  C ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )
161, 15syl5ss 3520 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) " ( 1 ... J ) ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )
17 fzssuz 11736 . . . . . 6  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
18 uzssz 11113 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
1917, 18sstri 3518 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ZZ
2016, 19syl6ss 3521 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) " ( 1 ... J ) ) 
C_  ZZ )
2120adantr 465 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  C_  ZZ )
2221sselda 3509 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
23 elfzelz 11700 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( ( S `  C ) `
 J ) ... ( I `  C
) )  ->  k  e.  ZZ )
2423adantl 466 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) )  ->  k  e.  ZZ )
25 f1ofn 5823 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( S `  C )  Fn  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
2612, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C )  Fn  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( S `  C )  Fn  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
282, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemiex 28265 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
2928simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3029adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
31 elfzuz3 11697 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
33 elfzuz3 11697 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  (
I `  C )  e.  ( ZZ>= `  J )
)
3433adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
35 uztrn 11110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C
) )  /\  (
I `  C )  e.  ( ZZ>= `  J )
)  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
3632, 34, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
37 fzss2 11735 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  ( 1 ... J )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3836, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... J )  C_  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
39 fvelimab 5930 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  C
)  Fn  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( 1 ... J
)  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) )  <->  E. j  e.  (
1 ... J ) ( ( S `  C
) `  j )  =  k ) )
4027, 38, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) )  <->  E. j  e.  (
1 ... J ) ( ( S `  C
) `  j )  =  k ) )
4140adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
42 1z 10906 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
442nnzi 10900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  e.  ZZ
453nnzi 10900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  e.  ZZ
46 zaddcl 10915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
4744, 45, 46mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
49 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
51 elfzle1 11701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  1  <_  J )
5251adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  <_  J
)
5350zred 10978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  RR )
54 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
5529, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
5756zred 10978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  RR )
5848zred 10978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
59 elfzle2 11702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  <_  ( I `  C
) )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  <_  (
I `  C )
)
61 elfzle2 11702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
6229, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  <_  ( M  +  N )
)
6453, 57, 58, 60, 63letrd 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  <_  ( M  +  N )
)
65 elfz4 11693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( M  +  N ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
6643, 48, 50, 52, 64, 65syl32anc 1236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
672, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsv 28273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  if ( J  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J
) )
6866, 67syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  if ( J  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J
) )
69 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
70 iftrue 3951 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  <_  ( I `  C )  ->  if ( J  <_  ( I `
 C ) ,  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ,  J )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
7169, 59, 703syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  if ( J  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J )  =  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) )
7268, 71eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
7372oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J ) ... ( I `  C
) )  =  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( I `  C ) ) )
7473eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
)  <->  k  e.  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( I `  C ) ) ) )
7574adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) ) )
7655ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
7776zcnd 10979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
78 ax-1cn 9562 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
7978a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
8077, 79pncand 9943 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  1 )  =  ( I `  C ) )
8180oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) )
8281eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) ) )
8342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
8449ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  J  e.  ZZ )
8576peano2zd 10981 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  ZZ )
86 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
87 fzrev 11754 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( ( ( I `  C )  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
8883, 84, 85, 86, 87syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
8975, 82, 883bitr2d 281 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
90 risset 2992 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k ) )
9190a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  e.  ( 1 ... J )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k ) ) )
92 eqcom 2476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  =  j  <->  j  =  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
) )
9355ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
9493adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
9594zcnd 10979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
9678a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  1  e.  CC )
9795, 96addcld 9627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  CC )
98 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
9998zcnd 10979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  k  e.  CC )
100 elfzelz 11700 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... J )  ->  j  e.  ZZ )
101100adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ZZ )
102101zcnd 10979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  CC )
103 subsub23 9837 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  =  j  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
10497, 99, 102, 103syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  =  j  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
10592, 104syl5bbr 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
j  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  k )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
106 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  C  e.  ( O  \  E
) )
10738sselda 3509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
1082, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsv 28273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  j )  =  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
109106, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( S `  C
) `  j )  =  if ( j  <_ 
( I `  C
) ,  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
110100adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ZZ )
111110zred 10978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  RR )
11249ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  e.  ZZ )
113112zred 10978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  e.  RR )
11493zred 10978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  RR )
115 elfzle2 11702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... J )  ->  j  <_  J )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  <_  J )
11759ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  <_  ( I `  C
) )
118111, 113, 114, 116, 117letrd 9750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  <_  ( I `  C
) )
119 iftrue 3951 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  <_  ( I `  C )  ->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) )
121109, 120eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( S `  C
) `  j )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) )
122121eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( S `  C ) `  j
)  =  k  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
123122adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( S `  C ) `  j
)  =  k  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
124105, 123bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
j  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  k )  <->  ( ( S `  C ) `  j )  =  k ) )
125124rexbidva 2975 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... J ) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
12689, 91, 1253bitrd 279 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
12741, 126bitr4d 256 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  <->  k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) )
12822, 24, 127eqrdav 2465 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    \ cdif 3478    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ifcif 3945   ~Pcpw 4016   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   ran crn 5006   "cima 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supcsup 7912   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   NNcn 10548   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   #chash 12385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-hash 12386
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