Theorem ballotlemsima 29341

Description: The image by S of an interval before the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemsima	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) = ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c   k, J   S, k

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   S( x, i, c)   E( x)   F( x)   I( x)   J( x, i, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemsima

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5178	. . . . . 6 |- ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ran ( S ` C )
2		ballotth.m	. . . . . . . . 9 |- M e. NN
3		ballotth.n	. . . . . . . . 9 |- N e. NN
4		ballotth.o	. . . . . . . . 9 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
5		ballotth.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
6		ballotth.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
7		ballotth.e	. . . . . . . . 9 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
8		ballotth.mgtn	. . . . . . . . 9 |- N < M
9		ballotth.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
10		ballotth.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemsf1o 29339	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) /\ `' ( S ` C ) = ( S ` C ) ) )
12	11	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) )
13		f1of 5812	. . . . . . 7 |- ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) --> ( 1 ... ( M + N ) ) )
14		frn 5733	. . . . . . 7 |- ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) --> ( 1 ... ( M + N ) ) -> ran ( S ` C ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ran ( S ` C ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
16	1, 15	syl5ss 3442	. . . . 5 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
17		fzssuz 11836	. . . . . 6 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
18		uzssz 11175	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
19	17, 18	sstri 3440	. . . . 5 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ZZ
20	16, 19	syl6ss 3443	. . . 4 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ZZ )
21	20	adantr 467	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ZZ )
22	21	sselda 3431	. 2 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) ) -> k e. ZZ )
23		elfzelz 11797	. . 3 |- ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) -> k e. ZZ )
24	23	adantl 468	. 2 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) -> k e. ZZ )
25		f1ofn 5813	. . . . . . 7 |- ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) )
26	12, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) )
27	26	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) )
28	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemiex 29327	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
29	28	simpld 461	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
30	29	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
31		elfzuz3 11794	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) )
33		elfzuz3 11794	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` J ) )
34	33	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` J ) )
35		uztrn 11172	. . . . . . 7 |- ( ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) /\ ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` J ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` J ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` J ) )
37		fzss2 11835	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` J ) -> ( 1 ... J ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... J ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
39		fvelimab 5919	. . . . 5 |- ( ( ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( 1 ... J ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
40	27, 38, 39	syl2anc 666	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
41	40	adantr 467	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
42		1zzd 10965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> 1 e. ZZ )
43	2	nnzi 10958	. . . . . . . . . . . . 13 |- M e. ZZ
44	3	nnzi 10958	. . . . . . . . . . . . 13 |- N e. ZZ
45		zaddcl 10974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
46	43, 44, 45	mp2an 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M + N ) e. ZZ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
48		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
49	48	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
50		elfzle1 11799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> 1 <_ J )
51	50	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> 1 <_ J )
52	49	zred 11037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. RR )
53		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
54	29, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
55	54	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
56	55	zred 11037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. RR )
57	47	zred 11037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. RR )
58		elfzle2 11800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
59	58	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
60		elfzle2 11800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
61	29, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
62	61	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
63	52, 56, 57, 59, 62	letrd 9789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J <_ ( M + N ) )
64		elfz4 11790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ ( M + N ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
65	42, 47, 49, 51, 63, 64	syl32anc 1275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
66	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemsv 29335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
67	65, 66	syldan 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
68		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
69		iftrue 3886	. . . . . . . . . 10 |- ( J <_ ( I ` C ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
70	68, 58, 69	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
71	67, 70	eqtrd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
72	71	oveq1d 6303	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) = ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) )
73	72	eleq2d 2513	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) ) )
74	73	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) ) )
75	54	ad2antrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
76	75	zcnd 11038	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( I ` C ) e. CC )
77		1cnd 9656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> 1 e. CC )
78	76, 77	pncand 9984	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) = ( I ` C ) )
79	78	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) )
80	79	eleq2d 2513	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) <-> k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) ) )
81		1zzd 10965	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
82	48	ad2antlr 732	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> J e. ZZ )
83	75	peano2zd 11040	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. ZZ )
84		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
85		fzrev 11855	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( ( ( I ` C ) + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) ) )
86	81, 82, 83, 84, 85	syl22anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) ) )
87	74, 80, 86	3bitr2d 285	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) ) )
88		risset 2914	. . . . 5 |- ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) )
89	88	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) ) )
90		eqcom 2457	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) = j <-> j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) )
91	54	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
92	91	adantlr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
93	92	zcnd 11038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. CC )
94		1cnd 9656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> 1 e. CC )
95	93, 94	addcld 9659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. CC )
96		simplr 761	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> k e. ZZ )
97	96	zcnd 11038	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> k e. CC )
98		elfzelz 11797	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... J ) -> j e. ZZ )
99	98	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. ZZ )
100	99	zcnd 11038	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. CC )
101		subsub23 9877	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) e. CC /\ k e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) = j <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
102	95, 97, 100, 101	syl3anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) = j <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
103	90, 102	syl5bbr 263	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
104		simpll 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> C e. ( O \ E ) )
105	38	sselda 3431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
106	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemsv 29335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
107	104, 105, 106	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
108	98	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. ZZ )
109	108	zred 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. RR )
110	48	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> J e. ZZ )
111	110	zred 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> J e. RR )
112	91	zred 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. RR )
113		elfzle2 11800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... J ) -> j <_ J )
114	113	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j <_ J )
115	58	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
116	109, 111, 112, 114, 115	letrd 9789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j <_ ( I ` C ) )
117		iftrue 3886	. . . . . . . . . 10 |- ( j <_ ( I ` C ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
119	107, 118	eqtrd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
120	119	eqeq1d 2452	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` j ) = k <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
121	120	adantlr 720	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` j ) = k <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
122	103, 121	bitr4d 260	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) <-> ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
123	122	rexbidva 2897	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( E. j e. ( 1 ... J ) j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
124	87, 89, 123	3bitrd 283	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
125	41, 124	bitr4d 260	. 2 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
126	22, 24, 125	eqrdav 2449	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) = ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   \ cdif 3400   i^i cin 3402   C_ wss 3403   ifcif 3880   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   `'ccnv 4832   ran crn 4834   "cima 4836   Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288  infcinf 7952   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   / cdiv 10266   NNcn 10606   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   ...cfz 11781   #chash 12512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-hash 12513

This theorem is referenced by:  ballotlemfrc  29352