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Theorem ballotlemsima 26917
Description: The image by  S of an interval before the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemsima  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    k, J    S, k
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    S( x, i, c)    E( x)    F( x)    I( x)    J( x, i, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemsima
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5199 . . . . . 6  |-  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  C_  ran  ( S `  C
)
2 ballotth.m . . . . . . . . 9  |-  M  e.  NN
3 ballotth.n . . . . . . . . 9  |-  N  e.  NN
4 ballotth.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
5 ballotth.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
6 ballotth.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
7 ballotth.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
8 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9  |-  N  < 
M
9 ballotth.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
10 ballotth.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsf1o 26915 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) ) )
1211simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
) )
13 f1of 5660 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) --> ( 1 ... ( M  +  N )
) )
14 frn 5584 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) --> ( 1 ... ( M  +  N ) )  ->  ran  ( S `  C
)  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ran  ( S `  C ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )
161, 15syl5ss 3386 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) " ( 1 ... J ) ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )
17 fzssuz 11518 . . . . . 6  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
18 uzssz 10899 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
1917, 18sstri 3384 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ZZ
2016, 19syl6ss 3387 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) " ( 1 ... J ) ) 
C_  ZZ )
2120adantr 465 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  C_  ZZ )
2221sselda 3375 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
23 elfzelz 11472 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( ( S `  C ) `
 J ) ... ( I `  C
) )  ->  k  e.  ZZ )
2423adantl 466 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) )  ->  k  e.  ZZ )
25 f1ofn 5661 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( S `  C )  Fn  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
2612, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C )  Fn  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( S `  C )  Fn  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
282, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemiex 26903 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
2928simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3029adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
31 elfzuz3 11469 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
33 elfzuz3 11469 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  (
I `  C )  e.  ( ZZ>= `  J )
)
3433adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
35 uztrn 10896 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C
) )  /\  (
I `  C )  e.  ( ZZ>= `  J )
)  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
3632, 34, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
37 fzss2 11517 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  ( 1 ... J )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3836, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... J )  C_  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
39 fvelimab 5766 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  C
)  Fn  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( 1 ... J
)  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) )  <->  E. j  e.  (
1 ... J ) ( ( S `  C
) `  j )  =  k ) )
4027, 38, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) )  <->  E. j  e.  (
1 ... J ) ( ( S `  C
) `  j )  =  k ) )
4140adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
42 1z 10695 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
442nnzi 10689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  e.  ZZ
453nnzi 10689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  e.  ZZ
46 zaddcl 10704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
4744, 45, 46mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
49 elfzelz 11472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
51 elfzle1 11473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  1  <_  J )
5251adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  <_  J
)
5350zred 10766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  RR )
54 elfzelz 11472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
5529, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
5756zred 10766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  RR )
5848zred 10766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
59 elfzle2 11474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  <_  ( I `  C
) )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  <_  (
I `  C )
)
61 elfzle2 11474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
6229, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  <_  ( M  +  N )
)
6453, 57, 58, 60, 63letrd 9547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  <_  ( M  +  N )
)
65 elfz4 11465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( M  +  N ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
6643, 48, 50, 52, 64, 65syl32anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
672, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsv 26911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  if ( J  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J
) )
6866, 67syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  if ( J  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J
) )
69 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
70 iftrue 3816 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  <_  ( I `  C )  ->  if ( J  <_  ( I `
 C ) ,  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ,  J )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
7169, 59, 703syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  if ( J  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J )  =  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) )
7268, 71eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
7372oveq1d 6125 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J ) ... ( I `  C
) )  =  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( I `  C ) ) )
7473eleq2d 2510 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
)  <->  k  e.  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( I `  C ) ) ) )
7574adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) ) )
7655ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
7776zcnd 10767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
78 ax-1cn 9359 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
7978a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
8077, 79pncand 9739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  1 )  =  ( I `  C ) )
8180oveq2d 6126 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) )
8281eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) ) )
8342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
8449ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  J  e.  ZZ )
8576peano2zd 10769 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  ZZ )
86 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
87 fzrev 11538 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( ( ( I `  C )  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
8883, 84, 85, 86, 87syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
8975, 82, 883bitr2d 281 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
90 risset 2782 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k ) )
9190a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  e.  ( 1 ... J )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k ) ) )
92 eqcom 2445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  =  j  <->  j  =  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
) )
9355ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
9493adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
9594zcnd 10767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
9678a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  1  e.  CC )
9795, 96addcld 9424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  CC )
98 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
9998zcnd 10767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  k  e.  CC )
100 elfzelz 11472 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... J )  ->  j  e.  ZZ )
101100adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ZZ )
102101zcnd 10767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  CC )
103 subsub23 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  =  j  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
10497, 99, 102, 103syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  =  j  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
10592, 104syl5bbr 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
j  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  k )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
106 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  C  e.  ( O  \  E
) )
10738sselda 3375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
1082, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsv 26911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  j )  =  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
109106, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( S `  C
) `  j )  =  if ( j  <_ 
( I `  C
) ,  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
110100adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ZZ )
111110zred 10766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  RR )
11249ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  e.  ZZ )
113112zred 10766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  e.  RR )
11493zred 10766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  RR )
115 elfzle2 11474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... J )  ->  j  <_  J )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  <_  J )
11759ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  <_  ( I `  C
) )
118111, 113, 114, 116, 117letrd 9547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  <_  ( I `  C
) )
119 iftrue 3816 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  <_  ( I `  C )  ->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) )
121109, 120eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( S `  C
) `  j )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) )
122121eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( S `  C ) `  j
)  =  k  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
123122adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( S `  C ) `  j
)  =  k  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
124105, 123bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
j  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  k )  <->  ( ( S `  C ) `  j )  =  k ) )
125124rexbidva 2751 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... J ) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
12689, 91, 1253bitrd 279 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
12741, 126bitr4d 256 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  <->  k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) )
12822, 24, 127eqrdav 2442 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   E.wrex 2735   {crab 2738    \ cdif 3344    i^i cin 3346    C_ wss 3347   ifcif 3810   ~Pcpw 3879   class class class wbr 4311    e. cmpt 4369   `'ccnv 4858   ran crn 4860   "cima 4862    Fn wfn 5432   -->wf 5433   -1-1-onto->wf1o 5436   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   supcsup 7709   CCcc 9299   RRcr 9300   0cc0 9301   1c1 9302    + caddc 9304    < clt 9437    <_ cle 9438    - cmin 9614    / cdiv 10012   NNcn 10341   ZZcz 10665   ZZ>=cuz 10880   ...cfz 11456   #chash 12122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-sup 7710  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-rp 11011  df-fz 11457  df-hash 12123
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