Theorem ballotlemsima 26917

Description: The image by S of an interval before the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemsima	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) = ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c   k, J   S, k

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   S( x, i, c)   E( x)   F( x)   I( x)   J( x, i, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemsima

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5199	. . . . . 6 |- ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ran ( S ` C )
2		ballotth.m	. . . . . . . . 9 |- M e. NN
3		ballotth.n	. . . . . . . . 9 |- N e. NN
4		ballotth.o	. . . . . . . . 9 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
5		ballotth.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
6		ballotth.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
7		ballotth.e	. . . . . . . . 9 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
8		ballotth.mgtn	. . . . . . . . 9 |- N < M
9		ballotth.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
10		ballotth.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemsf1o 26915	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) /\ `' ( S ` C ) = ( S ` C ) ) )
12	11	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) )
13		f1of 5660	. . . . . . 7 |- ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) --> ( 1 ... ( M + N ) ) )
14		frn 5584	. . . . . . 7 |- ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) --> ( 1 ... ( M + N ) ) -> ran ( S ` C ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
15	12, 13, 14	3syl 20	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ran ( S ` C ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
16	1, 15	syl5ss 3386	. . . . 5 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
17		fzssuz 11518	. . . . . 6 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
18		uzssz 10899	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
19	17, 18	sstri 3384	. . . . 5 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ZZ
20	16, 19	syl6ss 3387	. . . 4 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ZZ )
21	20	adantr 465	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ZZ )
22	21	sselda 3375	. 2 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) ) -> k e. ZZ )
23		elfzelz 11472	. . 3 |- ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) -> k e. ZZ )
24	23	adantl 466	. 2 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) -> k e. ZZ )
25		f1ofn 5661	. . . . . . 7 |- ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) )
26	12, 25	syl 16	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) )
27	26	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) )
28	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemiex 26903	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
29	28	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
30	29	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
31		elfzuz3 11469	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) )
33		elfzuz3 11469	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` J ) )
34	33	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` J ) )
35		uztrn 10896	. . . . . . 7 |- ( ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) /\ ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` J ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` J ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` J ) )
37		fzss2 11517	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` J ) -> ( 1 ... J ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
38	36, 37	syl 16	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... J ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
39		fvelimab 5766	. . . . 5 |- ( ( ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( 1 ... J ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
40	27, 38, 39	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
41	40	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
42		1z 10695	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> 1 e. ZZ )
44	2	nnzi 10689	. . . . . . . . . . . . 13 |- M e. ZZ
45	3	nnzi 10689	. . . . . . . . . . . . 13 |- N e. ZZ
46		zaddcl 10704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
47	44, 45, 46	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M + N ) e. ZZ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
49		elfzelz 11472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
51		elfzle1 11473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> 1 <_ J )
52	51	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> 1 <_ J )
53	50	zred 10766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. RR )
54		elfzelz 11472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
55	29, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
56	55	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
57	56	zred 10766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. RR )
58	48	zred 10766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. RR )
59		elfzle2 11474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
60	59	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
61		elfzle2 11474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
62	29, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
63	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
64	53, 57, 58, 60, 63	letrd 9547	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J <_ ( M + N ) )
65		elfz4 11465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ ( M + N ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
66	43, 48, 50, 52, 64, 65	syl32anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
67	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemsv 26911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
68	66, 67	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
69		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
70		iftrue 3816	. . . . . . . . . 10 |- ( J <_ ( I ` C ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
71	69, 59, 70	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
72	68, 71	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
73	72	oveq1d 6125	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) = ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) )
74	73	eleq2d 2510	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) ) )
75	74	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) ) )
76	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
77	76	zcnd 10767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( I ` C ) e. CC )
78		ax-1cn 9359	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
79	78	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> 1 e. CC )
80	77, 79	pncand 9739	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) = ( I ` C ) )
81	80	oveq2d 6126	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) )
82	81	eleq2d 2510	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) <-> k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) ) )
83	42	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
84	49	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> J e. ZZ )
85	76	peano2zd 10769	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. ZZ )
86		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
87		fzrev 11538	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( ( ( I ` C ) + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) ) )
88	83, 84, 85, 86, 87	syl22anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) ) )
89	75, 82, 88	3bitr2d 281	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) ) )
90		risset 2782	. . . . 5 |- ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) )
91	90	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) ) )
92		eqcom 2445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) = j <-> j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) )
93	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
94	93	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
95	94	zcnd 10767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. CC )
96	78	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> 1 e. CC )
97	95, 96	addcld 9424	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. CC )
98		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> k e. ZZ )
99	98	zcnd 10767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> k e. CC )
100		elfzelz 11472	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... J ) -> j e. ZZ )
101	100	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. ZZ )
102	101	zcnd 10767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. CC )
103		subsub23 9634	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) e. CC /\ k e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) = j <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
104	97, 99, 102, 103	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) = j <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
105	92, 104	syl5bbr 259	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
106		simpll 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> C e. ( O \ E ) )
107	38	sselda 3375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
108	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemsv 26911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
109	106, 107, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
110	100	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. ZZ )
111	110	zred 10766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. RR )
112	49	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> J e. ZZ )
113	112	zred 10766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> J e. RR )
114	93	zred 10766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. RR )
115		elfzle2 11474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... J ) -> j <_ J )
116	115	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j <_ J )
117	59	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
118	111, 113, 114, 116, 117	letrd 9547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j <_ ( I ` C ) )
119		iftrue 3816	. . . . . . . . . 10 |- ( j <_ ( I ` C ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
120	118, 119	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
121	109, 120	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
122	121	eqeq1d 2451	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` j ) = k <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
123	122	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` j ) = k <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
124	105, 123	bitr4d 256	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) <-> ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
125	124	rexbidva 2751	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( E. j e. ( 1 ... J ) j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
126	89, 91, 125	3bitrd 279	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
127	41, 126	bitr4d 256	. 2 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
128	22, 24, 127	eqrdav 2442	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) = ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2734   E.wrex 2735   {crab 2738   \ cdif 3344   i^i cin 3346   C_ wss 3347   ifcif 3810   ~Pcpw 3879   class class class wbr 4311   e. cmpt 4369   `'ccnv 4858   ran crn 4860   "cima 4862   Fn wfn 5432   -->wf 5433   -1-1-onto->wf1o 5436   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   supcsup 7709   CCcc 9299   RRcr 9300   0cc0 9301   1c1 9302   + caddc 9304   < clt 9437   <_ cle 9438   - cmin 9614   / cdiv 10012   NNcn 10341   ZZcz 10665   ZZ>=cuz 10880   ...cfz 11456   #chash 12122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-sup 7710  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-rp 11011  df-fz 11457  df-hash 12123

This theorem is referenced by:  ballotlemfrc  26928