Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemsi Structured version   Unicode version

Theorem ballotlemsi 27028
Description: The image by  S of the first tie pick is the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemsi  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) `  ( I `  C ) )  =  1 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    S( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemsi
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . 5  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . 5  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . . 5  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . . 5  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotth.e . . . . 5  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
7 ballotth.mgtn . . . . 5  |-  N  < 
M
8 ballotth.i . . . . 5  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 27015 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
109simpld 459 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
11 ballotth.s . . . 4  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11ballotlemsv 27023 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  if ( ( I `  C )  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( I `  C
) ) ,  ( I `  C ) ) )
1310, 12mpdan 668 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) `  ( I `  C ) )  =  if ( ( I `
 C )  <_ 
( I `  C
) ,  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  ( I `  C ) ) ,  ( I `  C
) ) )
14 elfzelz 11551 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
1514zred 10845 . . . . 5  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  RR )
1610, 15syl 16 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  RR )
1716leidd 10004 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( I `  C
) )
18 iftrue 3892 . . 3  |-  ( ( I `  C )  <_  ( I `  C )  ->  if ( ( I `  C )  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( I `  C
) ) ,  ( I `  C ) )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  ( I `  C ) ) )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  if ( ( I `  C )  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( I `  C
) ) ,  ( I `  C ) )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  ( I `  C ) ) )
2016recnd 9510 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
21 ax-1cn 9438 . . . 4  |-  1  e.  CC
2221a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  CC )
2320, 22pncan2d 9819 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  ( I `
 C ) )  =  1 )
2413, 19, 233eqtrd 2495 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) `  ( I `  C ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2793   {crab 2797    \ cdif 3420    i^i cin 3422   ifcif 3886   ~Pcpw 3955   class class class wbr 4387    |-> cmpt 4445   `'ccnv 4934   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   supcsup 7788   CCcc 9378   RRcr 9379   0cc0 9380   1c1 9381    + caddc 9383    < clt 9516    <_ cle 9517    - cmin 9693    / cdiv 10091   NNcn 10420   ZZcz 10744   ...cfz 11535   #chash 12201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-sup 7789  df-card 8207  df-cda 8435  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-hash 12202
This theorem is referenced by:  ballotlemfrci  27041
  Copyright terms: Public domain W3C validator