Theorem ballotlemsdom 28090

Description: Domain of S for a given counting C. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemsdom	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   S( x, i, k, c)   E( x)   F( x)   I( x)   J( x, i, k, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . 3 |- N e. NN
3		ballotth.o	. . 3 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4		ballotth.p	. . 3 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5		ballotth.f	. . 3 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6		ballotth.e	. . 3 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7		ballotth.mgtn	. . 3 |- N < M
8		ballotth.i	. . 3 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
9		ballotth.s	. . 3 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemsv 28088	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
11		fzssuz 11720	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
12		uzssz 11097	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
13	11, 12	sstri 3513	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ZZ
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ballotlemiex 28080	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
15	14	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
16	13, 15	sseldi 3502	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
17	16	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
18		nnaddcl 10554	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
19	1, 2, 18	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( M + N ) e. NN
20	19	nnzi 10884	. . . . . 6 |- ( M + N ) e. ZZ
21	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
22	15	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
23		elfzle2 11686	. . . . . 6 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
24	22, 23	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
25		eluz2 11084	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) <-> ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) )
26		fzss2 11719	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
27	25, 26	sylbir 213	. . . . 5 |- ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
28	17, 21, 24, 27	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
29		1z 10890	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> 1 e. ZZ )
31		simplr 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
32	13, 31	sseldi 3502	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
33		elfzle1 11685	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> 1 <_ J )
34	31, 33	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> 1 <_ J )
35		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
36		elfz4 11677	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
37	30, 17, 32, 34, 35, 36	syl32anc 1236	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
38		fzrev3i 11742	. . . . . 6 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
40		ax-1cn 9546	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. CC )
42	16	zcnd 10963	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. CC )
43	41, 42	addcomd 9777	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( 1 + ( I ` C ) ) = ( ( I ` C ) + 1 ) )
44	43	oveq1d 6297	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
45	44	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
46	45	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
47	39, 46	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
48	28, 47	sseldd 3505	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
49		simplr 754	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ -. J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
50	48, 49	ifclda 3971	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
51	10, 50	eqeltrd 2555	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   NNcn 10532   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   #chash 12369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-hash 12370

This theorem is referenced by:  ballotlemsel1i  28091  ballotlemsf1o  28092  ballotlemfrceq  28107  ballotlemfrcn0  28108