Theorem ballotlemsdom 26846

Description: Domain of S for a given counting C. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemsdom	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   S( x, i, k, c)   E( x)   F( x)   I( x)   J( x, i, k, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . 3 |- N e. NN
3		ballotth.o	. . 3 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4		ballotth.p	. . 3 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5		ballotth.f	. . 3 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6		ballotth.e	. . 3 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7		ballotth.mgtn	. . 3 |- N < M
8		ballotth.i	. . 3 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
9		ballotth.s	. . 3 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemsv 26844	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
11		fzssuz 11491	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
12		uzssz 10872	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
13	11, 12	sstri 3360	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ZZ
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ballotlemiex 26836	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
15	14	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
16	13, 15	sseldi 3349	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
17	16	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
18		nnaddcl 10336	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
19	1, 2, 18	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( M + N ) e. NN
20	19	nnzi 10662	. . . . . 6 |- ( M + N ) e. ZZ
21	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
22	15	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
23		elfzle2 11447	. . . . . 6 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
24	22, 23	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
25		eluz2 10859	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) <-> ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) )
26		fzss2 11490	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
27	25, 26	sylbir 213	. . . . 5 |- ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
28	17, 21, 24, 27	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
29		1z 10668	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> 1 e. ZZ )
31		simplr 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
32	13, 31	sseldi 3349	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
33		elfzle1 11446	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> 1 <_ J )
34	31, 33	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> 1 <_ J )
35		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
36		elfz4 11438	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
37	30, 17, 32, 34, 35, 36	syl32anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
38		fzrev3i 11515	. . . . . 6 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
40		ax-1cn 9332	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. CC )
42	16	zcnd 10740	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. CC )
43	41, 42	addcomd 9563	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( 1 + ( I ` C ) ) = ( ( I ` C ) + 1 ) )
44	43	oveq1d 6101	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
45	44	eleq1d 2504	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
46	45	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
47	39, 46	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
48	28, 47	sseldd 3352	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
49		simplr 754	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ -. J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
50	48, 49	ifclda 3816	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
51	10, 50	eqeltrd 2512	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   \ cdif 3320   i^i cin 3322   C_ wss 3323   ifcif 3786   ~Pcpw 3855   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supcsup 7682   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   / cdiv 9985   NNcn 10314   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429   #chash 12095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-hash 12096

This theorem is referenced by:  ballotlemsel1i  26847  ballotlemsf1o  26848  ballotlemfrceq  26863  ballotlemfrcn0  26864