Theorem ballotlemsdom 27031

Description: Domain of S for a given counting C. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemsdom	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   S( x, i, k, c)   E( x)   F( x)   I( x)   J( x, i, k, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . 3 |- N e. NN
3		ballotth.o	. . 3 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4		ballotth.p	. . 3 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5		ballotth.f	. . 3 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6		ballotth.e	. . 3 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7		ballotth.mgtn	. . 3 |- N < M
8		ballotth.i	. . 3 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
9		ballotth.s	. . 3 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemsv 27029	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
11		fzssuz 11609	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
12		uzssz 10984	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
13	11, 12	sstri 3466	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ZZ
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ballotlemiex 27021	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
15	14	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
16	13, 15	sseldi 3455	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
17	16	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
18		nnaddcl 10448	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
19	1, 2, 18	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( M + N ) e. NN
20	19	nnzi 10774	. . . . . 6 |- ( M + N ) e. ZZ
21	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
22	15	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
23		elfzle2 11565	. . . . . 6 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
24	22, 23	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
25		eluz2 10971	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) <-> ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) )
26		fzss2 11608	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
27	25, 26	sylbir 213	. . . . 5 |- ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
28	17, 21, 24, 27	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
29		1z 10780	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> 1 e. ZZ )
31		simplr 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
32	13, 31	sseldi 3455	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
33		elfzle1 11564	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> 1 <_ J )
34	31, 33	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> 1 <_ J )
35		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
36		elfz4 11556	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
37	30, 17, 32, 34, 35, 36	syl32anc 1227	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
38		fzrev3i 11633	. . . . . 6 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
40		ax-1cn 9444	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. CC )
42	16	zcnd 10852	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. CC )
43	41, 42	addcomd 9675	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( 1 + ( I ` C ) ) = ( ( I ` C ) + 1 ) )
44	43	oveq1d 6208	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
45	44	eleq1d 2520	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
46	45	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
47	39, 46	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
48	28, 47	sseldd 3458	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
49		simplr 754	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ -. J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
50	48, 49	ifclda 3922	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
51	10, 50	eqeltrd 2539	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   {crab 2799   \ cdif 3426   i^i cin 3428   C_ wss 3429   ifcif 3892   ~Pcpw 3961   class class class wbr 4393   |-> cmpt 4451   `'ccnv 4940   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   supcsup 7794   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   + caddc 9389   < clt 9522   <_ cle 9523   - cmin 9699   / cdiv 10097   NNcn 10426   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   ...cfz 11547   #chash 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-hash 12214

This theorem is referenced by:  ballotlemsel1i  27032  ballotlemsf1o  27033  ballotlemfrceq  27048  ballotlemfrcn0  27049