Theorem ballotlemsdom 29344

Description: Domain of S for a given counting C. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemsdom	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   S( x, i, k, c)   E( x)   F( x)   I( x)   J( x, i, k, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . 3 |- N e. NN
3		ballotth.o	. . 3 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4		ballotth.p	. . 3 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5		ballotth.f	. . 3 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6		ballotth.e	. . 3 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7		ballotth.mgtn	. . 3 |- N < M
8		ballotth.i	. . 3 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9		ballotth.s	. . 3 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemsv 29342	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
11		fzssuz 11839	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
12		uzssz 11178	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
13	11, 12	sstri 3441	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ZZ
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ballotlemiex 29334	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
15	14	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
16	13, 15	sseldi 3430	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
17	16	ad2antrr 732	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
18		nnaddcl 10631	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
19	1, 2, 18	mp2an 678	. . . . . . 7 |- ( M + N ) e. NN
20	19	nnzi 10961	. . . . . 6 |- ( M + N ) e. ZZ
21	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
22	15	ad2antrr 732	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
23		elfzle2 11803	. . . . . 6 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
25		eluz2 11165	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) <-> ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) )
26		fzss2 11838	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
27	25, 26	sylbir 217	. . . . 5 |- ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
28	17, 21, 24, 27	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
29		1zzd 10968	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> 1 e. ZZ )
30		simplr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
31	13, 30	sseldi 3430	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
32		elfzle1 11802	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> 1 <_ J )
33	30, 32	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> 1 <_ J )
34		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
35		elfz4 11793	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
36	29, 17, 31, 33, 34, 35	syl32anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
37		fzrev3i 11862	. . . . . 6 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
39		1cnd 9659	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. CC )
40	16	zcnd 11041	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. CC )
41	39, 40	addcomd 9835	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( 1 + ( I ` C ) ) = ( ( I ` C ) + 1 ) )
42	41	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
43	42	eleq1d 2513	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
44	43	ad2antrr 732	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
45	38, 44	mpbid 214	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
46	28, 45	sseldd 3433	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
47		simplr 762	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ -. J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
48	46, 47	ifclda 3913	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
49	10, 48	eqeltrd 2529	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   \ cdif 3401   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  infcinf 7955   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   #chash 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516

This theorem is referenced by:  ballotlemsel1i  29345  ballotlemsf1o  29346  ballotlemfrceq  29361  ballotlemfrcn0  29362