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Theorem ballotlemsdom 26846
Description: Domain of  S for a given counting  C. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemsdom  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    S( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x)    J( x, i, k, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemsdom
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . 3  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . 3  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotth.e . . 3  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
7 ballotth.mgtn . . 3  |-  N  < 
M
8 ballotth.i . . 3  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
9 ballotth.s . . 3  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsv 26844 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  if ( J  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J
) )
11 fzssuz 11491 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
12 uzssz 10872 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
1311, 12sstri 3360 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ZZ
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 26836 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1514simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
1613, 15sseldi 3349 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
1716ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
18 nnaddcl 10336 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
191, 2, 18mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( M  +  N )  e.  NN
2019nnzi 10662 . . . . . 6  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
2215ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
23 elfzle2 11447 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
25 eluz2 10859 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
I `  C )
)  <->  ( ( I `
 C )  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  ( I `
 C )  <_ 
( M  +  N
) ) )
26 fzss2 11490 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
I `  C )
)  ->  ( 1 ... ( I `  C ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2725, 26sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  <_  ( M  +  N ) )  -> 
( 1 ... (
I `  C )
)  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
2817, 21, 24, 27syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  (
1 ... ( I `  C ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
29 1z 10668 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  1  e.  ZZ )
31 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3213, 31sseldi 3349 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
33 elfzle1 11446 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  1  <_  J )
3431, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  1  <_  J )
35 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  J  <_  ( I `  C
) )
36 elfz4 11438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( I `
 C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )
3730, 17, 32, 34, 35, 36syl32anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )
38 fzrev3i 11515 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  (
( 1  +  ( I `  C ) )  -  J )  e.  ( 1 ... ( I `  C
) ) )
3937, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  (
( 1  +  ( I `  C ) )  -  J )  e.  ( 1 ... ( I `  C
) ) )
40 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  CC )
4216zcnd 10740 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
4341, 42addcomd 9563 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  +  ( I `
 C ) )  =  ( ( I `
 C )  +  1 ) )
4443oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( 1  +  ( I `  C ) )  -  J )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
4544eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( 1  +  ( I `  C
) )  -  J
)  e.  ( 1 ... ( I `  C ) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) ) )
4645ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  (
( ( 1  +  ( I `  C
) )  -  J
)  e.  ( 1 ... ( I `  C ) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) ) )
4739, 46mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  J )  e.  ( 1 ... ( I `  C
) ) )
4828, 47sseldd 3352 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  J  <_ 
( I `  C
) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )
49 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  /\  -.  J  <_  ( I `  C
) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
5048, 49ifclda 3816 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  if ( J  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
5110, 50eqeltrd 2512 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714    \ cdif 3320    i^i cin 3322    C_ wss 3323   ifcif 3786   ~Pcpw 3855   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supcsup 7682   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429   #chash 12095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-hash 12096
This theorem is referenced by:  ballotlemsel1i  26847  ballotlemsf1o  26848  ballotlemfrceq  26863  ballotlemfrcn0  26864
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