Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemrv2 Structured version   Unicode version

Theorem ballotlemrv2 29350
Description: Value of  R after the tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|-> inf ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  c ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemrv2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( I `  C
)  <  J )  ->  ( J  e.  ( R `  C )  <-> 
J  e.  C ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    k, J    S, k, i, c
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    R( x, i, k, c)    S( x)    E( x)    F( x)    I( x)    J( x, i, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemrv2
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . 4  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . 4  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . 4  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . 4  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . 4  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotth.e . . . 4  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
7 ballotth.mgtn . . . 4  |-  N  < 
M
8 ballotth.i . . . 4  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|-> inf ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  c ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  <  ) )
9 ballotth.s . . . 4  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
10 ballotth.r . . . 4  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemrv 29348 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( J  e.  ( R `  C
)  <->  if ( J  <_ 
( I `  C
) ,  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  J ) ,  J )  e.  C
) )
12113adant3 1025 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( I `  C
)  <  J )  ->  ( J  e.  ( R `  C )  <-> 
if ( J  <_ 
( I `  C
) ,  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  J ) ,  J )  e.  C
) )
13 fzssuz 11840 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
14 uzssz 11179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
1513, 14sstri 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ZZ
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 29330 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1716simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
1815, 17sseldi 3462 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
1918adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
2019zred 11041 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  RR )
21 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
2215, 21sseldi 3462 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
2322zred 11041 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  J  e.  RR )
2420, 23ltnled 9783 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( I `
 C )  < 
J  <->  -.  J  <_  ( I `  C ) ) )
2524biimp3a 1364 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( I `  C
)  <  J )  ->  -.  J  <_  (
I `  C )
)
2625iffalsed 3920 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( I `  C
)  <  J )  ->  if ( J  <_ 
( I `  C
) ,  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  J ) ,  J )  =  J )
2726eleq1d 2491 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( I `  C
)  <  J )  ->  ( if ( J  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J )  e.  C  <->  J  e.  C
) )
2812, 27bitrd 256 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( I `  C
)  <  J )  ->  ( J  e.  ( R `  C )  <-> 
J  e.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   {crab 2779    \ cdif 3433    i^i cin 3435   ifcif 3909   ~Pcpw 3979   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   "cima 4853   ` cfv 5598  (class class class)co 6302  infcinf 7958   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    < clt 9676    <_ cle 9677    - cmin 9861    / cdiv 10270   NNcn 10610   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   ...cfz 11785   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-inf 7960  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-hash 12516
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator