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Theorem ballotlemodife 28619
Description: Elements of  ( O 
\  E ). (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
Assertion
Ref Expression
ballotlemodife  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  <->  ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O, c    F, c, i    C, i
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, c)    E( x, i, c)    F( x)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemodife
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3399 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  <->  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E ) )
2 df-or 368 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )  <-> 
( -.  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O )  ->  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) ) )
3 pm3.24 880 . . . . 5  |-  -.  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)
43a1bi 335 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) )  <-> 
( -.  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O )  ->  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) ) )
52, 4bitr4i 252 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )  <-> 
( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
6 ballotth.m . . . . . . 7  |-  M  e.  NN
7 ballotth.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
8 ballotth.o . . . . . . 7  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
9 ballotth.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
10 ballotth.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
11 ballotth.e . . . . . . 7  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
126, 7, 8, 9, 10, 11ballotleme 28618 . . . . . 6  |-  ( C  e.  E  <->  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
1312notbii 294 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  E  <->  -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
1413anbi2i 692 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E
)  <->  ( C  e.  O  /\  -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) ) )
15 ianor 486 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) )  <-> 
( -.  C  e.  O  \/  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
1615anbi2i 692 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) ) )  <->  ( C  e.  O  /\  ( -.  C  e.  O  \/  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) ) ) )
17 andi 865 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  ( -.  C  e.  O  \/  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )  <->  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) ) )
1814, 16, 173bitri 271 . . 3  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E
)  <->  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O )  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) ) )
19 0p1e1 10564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2019oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( M  +  N ) )  =  ( 1 ... ( M  +  N )
)
21 0z 10792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
22 fzp1ss 11653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( M  +  N ) ) 
C_  ( 0 ... ( M  +  N
) ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
)
2420, 23eqsstr3i 3448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
)
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  O  ->  (
1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
2625sseld 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  O  ->  (
i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  -> 
i  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ) )
2726imdistani 688 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ) )
28 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  C  e.  O
)
29 elfzelz 11609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  ZZ )
3029adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
316, 7, 8, 9, 10, 28, 30ballotlemfelz 28612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  j )  e.  ZZ )
3231zred 10884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  j )  e.  RR )
3332sbimi 1753 . . . . . . . . 9  |-  ( [ i  /  j ] ( C  e.  O  /\  j  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  [ i  / 
j ] ( ( F `  C ) `
 j )  e.  RR )
34 sban 2144 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ i  /  j ] ( C  e.  O  /\  j  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  <-> 
( [ i  / 
j ] C  e.  O  /\  [ i  /  j ] j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) ) ) )
35 nfv 1715 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  C  e.  O
3635sbf 2125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ i  /  j ] C  e.  O  <->  C  e.  O )
37 clelsb3 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ i  /  j ] j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )  <->  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
3836, 37anbi12i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ i  /  j ] C  e.  O  /\  [ i  /  j ] j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  <->  ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ) )
3934, 38bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( [ i  /  j ] ( C  e.  O  /\  j  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  <-> 
( C  e.  O  /\  i  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) ) )
40 nfv 1715 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ( F `  C ) `  i
)  e.  RR
41 fveq2 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  (
( F `  C
) `  j )  =  ( ( F `
 C ) `  i ) )
4241eleq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
( ( F `  C ) `  j
)  e.  RR  <->  ( ( F `  C ) `  i )  e.  RR ) )
4340, 42sbie 2153 . . . . . . . . 9  |-  ( [ i  /  j ] ( ( F `  C ) `  j
)  e.  RR  <->  ( ( F `  C ) `  i )  e.  RR )
4433, 39, 433imtr3i 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  i )  e.  RR )
4527, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  i )  e.  RR )
46 0red 9508 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  0  e.  RR )
4745, 46lenltd 9642 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( ( F `  C
) `  i )
) )
4847rexbidva 2890 . . . . 5  |-  ( C  e.  O  ->  ( E. i  e.  (
1 ... ( M  +  N ) ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  -.  0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
49 rexnal 2830 . . . . 5  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  -.  0  <  ( ( F `  C ) `
 i )  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
)
5048, 49syl6bb 261 . . . 4  |-  ( C  e.  O  ->  ( E. i  e.  (
1 ... ( M  +  N ) ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
5150pm5.32i 635 . . 3  |-  ( ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 )  <->  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
525, 18, 513bitr4i 277 . 2  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E
)  <->  ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
) )
531, 52bitri 249 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  <->  ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399   [wsb 1747    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736    \ cdif 3386    i^i cin 3388    C_ wss 3389   ~Pcpw 3927   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   ZZcz 10781   ...cfz 11593   #chash 12307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-hash 12308
This theorem is referenced by:  ballotlem5  28621  ballotlemrc  28652
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