Theorem ballotlemimin 28641

Description: ( I ` C ) is the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemimin	|- ( C e. ( O \ E ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I   k, c, E   i, I

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   E( x)   F( x)   I( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemimin

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 11715	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) )
2	1	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) )
3		elfzelz 11713	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k e. ZZ )
4		ballotth.m	. . . . . . . . . 10 |- M e. NN
5		ballotth.n	. . . . . . . . . 10 |- N e. NN
6		ballotth.o	. . . . . . . . . 10 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
7		ballotth.p	. . . . . . . . . 10 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
8		ballotth.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
9		ballotth.e	. . . . . . . . . 10 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
10		ballotth.mgtn	. . . . . . . . . 10 |- N < M
11		ballotth.i	. . . . . . . . . 10 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ballotlemiex 28637	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
13	12	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
14		elfznn 11739	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. NN )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. NN )
16	15	nnzd 10989	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
17		zltlem1 10937	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) -> ( k < ( I ` C ) <-> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
18	3, 16, 17	syl2anr 478	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> ( k < ( I ` C ) <-> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
19	2, 18	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> k < ( I ` C ) )
20	19	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> k < ( I ` C ) )
21		1zzd 10916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. ZZ )
22	16, 21	zsubcld 10995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
23	22	zred 10990	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR )
24		nnaddcl 10578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
25	4, 5, 24	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M + N ) e. NN
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. NN )
27	26	nnred 10571	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. RR )
28		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
29	13, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
30	26	nnzd 10989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ZZ )
31		zlem1lt 10936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
32	16, 30, 31	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
33	29, 32	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) )
34	23, 27, 33	ltled 9750	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
35		eluz 11119	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
36	22, 30, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
37	34, 36	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
38		fzss2 11749	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
40	39	sseld 3498	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) )
41		rabid 3034	. . . . . . . 8 |- ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } <-> ( k e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) )
42	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ballotlemsup 28640	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. z `' < w /\ A. w e. RR ( w `' < z -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } w `' < y ) ) )
43		gtso 9683	. . . . . . . . . . . 12 |- `' < Or RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. z `' < w /\ A. w e. RR ( w `' < z -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } w `' < y ) ) -> `' < Or RR )
45		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. z `' < w /\ A. w e. RR ( w `' < z -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } w `' < y ) ) -> E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. z `' < w /\ A. w e. RR ( w `' < z -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } w `' < y ) ) )
46	44, 45	supub 7936	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. z `' < w /\ A. w e. RR ( w `' < z -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } w `' < y ) ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < k ) )
47	42, 46	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < k ) )
48	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ballotlemi 28636	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) = sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
49	48	breq1d 4466	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) `' < k <-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < k ) )
50	49	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( -. ( I ` C ) `' < k <-> -. sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < k ) )
51	47, 50	sylibrd 234	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. ( I ` C ) `' < k ) )
52	41, 51	syl5bir 218	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( k e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. ( I ` C ) `' < k ) )
53	40, 52	syland 481	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. ( I ` C ) `' < k ) )
54	53	imp 429	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) ) -> -. ( I ` C ) `' < k )
55		ltrel 9666	. . . . . 6 |- Rel <
56	55	relbrcnv 5387	. . . . 5 |- ( ( I ` C ) `' < k <-> k < ( I ` C ) )
57	54, 56	sylnib 304	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) ) -> -. k < ( I ` C ) )
58	57	anassrs 648	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. k < ( I ` C ) )
59	20, 58	pm2.65da 576	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
60	59	nrexdv 2913	1 |- ( C e. ( O \ E ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   \ cdif 3468   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   Or wor 4808   `'ccnv 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   #chash 12408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409

This theorem is referenced by:  ballotlemic  28642  ballotlem1c  28643