Theorem ballotlemimin 29411

Description: ( I ` C ) is the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemimin	|- ( C e. ( O \ E ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I   k, c, E   i, I

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   E( x)   F( x)   I( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemimin

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 11829	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) )
2	1	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) )
3		elfzelz 11826	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k e. ZZ )
4		ballotth.m	. . . . . . . . . 10 |- M e. NN
5		ballotth.n	. . . . . . . . . 10 |- N e. NN
6		ballotth.o	. . . . . . . . . 10 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
7		ballotth.p	. . . . . . . . . 10 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
8		ballotth.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
9		ballotth.e	. . . . . . . . . 10 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
10		ballotth.mgtn	. . . . . . . . . 10 |- N < M
11		ballotth.i	. . . . . . . . . 10 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ballotlemiex 29407	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
13	12	simpld 466	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
14		elfznn 11854	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. NN )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. NN )
16	15	nnzd 11062	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
17		zltlem1 11013	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) -> ( k < ( I ` C ) <-> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
18	3, 16, 17	syl2anr 486	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> ( k < ( I ` C ) <-> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
19	2, 18	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> k < ( I ` C ) )
20	19	adantr 472	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> k < ( I ` C ) )
21		1zzd 10992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. ZZ )
22	16, 21	zsubcld 11068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
23	22	zred 11063	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR )
24		nnaddcl 10653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
25	4, 5, 24	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M + N ) e. NN
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. NN )
27	26	nnred 10646	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. RR )
28		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
29	13, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
30	26	nnzd 11062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ZZ )
31		zlem1lt 11012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
32	16, 30, 31	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
33	29, 32	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) )
34	23, 27, 33	ltled 9800	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
35		eluz 11196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
36	22, 30, 35	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
37	34, 36	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
38		fzss2 11864	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
40	39	sseld 3417	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) )
41		rabid 2953	. . . . . . . 8 |- ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } <-> ( k e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) )
42	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ballotlemsup 29410	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) )
43		ltso 9732	. . . . . . . . . . . 12 |- < Or RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) -> < Or RR )
45		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) -> E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) )
46	44, 45	inflb 8023	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
48	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ballotlemi 29406	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) = inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
49	48	breq2d 4407	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( k < ( I ` C ) <-> k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
50	49	notbid 301	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( -. k < ( I ` C ) <-> -. k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
51	47, 50	sylibrd 242	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. k < ( I ` C ) ) )
52	41, 51	syl5bir 226	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( k e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. k < ( I ` C ) ) )
53	40, 52	syland 489	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. k < ( I ` C ) ) )
54	53	imp 436	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) ) -> -. k < ( I ` C ) )
55		biid 244	. . . . 5 |- ( k < ( I ` C ) <-> k < ( I ` C ) )
56	54, 55	sylnib 311	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) ) -> -. k < ( I ` C ) )
57	56	anassrs 660	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. k < ( I ` C ) )
58	20, 57	pm2.65da 586	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
59	58	nrexdv 2842	1 |- ( C e. ( O \ E ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   Or wor 4759   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   #chash 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554

This theorem is referenced by:  ballotlemic  29412  ballotlem1c  29413