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Theorem ballotlemic 28620
Description: If the first vote is for B, the vote on the first tie is for A. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemic  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  C
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I   
k, c, E    i, I
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemic
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . 3  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . 3  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 eldifi 3622 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  O )
76ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  C  e.  O
)
8 ballotth.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
9 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10  |-  N  < 
M
10 ballotth.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
111, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemiex 28615 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1211simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
13 elfznn 11739 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  NN )
161, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemi1 28616 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  =/=  1
)
17 eluz2b3 11180 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( I `
 C )  e.  NN  /\  ( I `
 C )  =/=  1 ) )
1815, 16, 17sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
19 uz2m1nn 11181 . . . . 5  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2120adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  e.  NN )
22 elnnuz 11142 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2322biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
24 eluzfz1 11718 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2520, 23, 243syl 20 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2625adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )
27 1nn 10567 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  NN )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 28ballotlemfp1 28605 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  1  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  (
1  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
3029simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  1  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) ) )
3130imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) )
32 1m1e0 10625 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3332fveq2i 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  C ) `
 ( 1  -  1 ) )  =  ( ( F `  C ) `  0
)
3433oveq1i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  -  1 )
3534a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  -  1 ) )
361, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 28609 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  O  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
376, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  0 )  =  0 )
3938oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  0 )  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
4031, 35, 393eqtrrd 2503 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( 0  -  1 )  =  ( ( F `  C ) `  1
) )
41 0le1 10097 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
42 0re 9613 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
43 1re 9612 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
44 suble0 10087 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 0  -  1 )  <_  0  <->  0  <_  1 ) )
4542, 43, 44mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  -  1 )  <_  0  <->  0  <_  1 )
4641, 45mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( 0  -  1 )  <_ 
0
4740, 46syl6eqbrr 4494 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  <_ 
0 )
4847adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) ` 
1 )  <_  0
)
49 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) ` 
1 ) )
5049breq1d 4466 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  1 )  <_ 
0 ) )
5150rspcev 3210 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  /\  ( ( F `  C ) `  1
)  <_  0 )  ->  E. i  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
5226, 48, 51syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  E. i  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
53 0lt1 10096 . . . . 5  |-  0  <  1
54 1p0e1 10669 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
551, 2, 3, 4, 5, 6, 14ballotlemfp1 28605 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  ( I `
 C )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( I `  C )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
5655simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  ( I `  C
)  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  -  1 ) ) )
5756imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  -  1 ) )
5811simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  0 )
5958adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  0 )
6057, 59eqtr3d 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  - 
1 )  =  0 )
616adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  C  e.  O
)
6214nnzd 10989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
64 1zzd 10916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  ZZ )
6563, 64zsubcld 10995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  e.  ZZ )
661, 2, 3, 4, 5, 61, 65ballotlemfelz 28604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  ZZ )
6766zcnd 10991 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  CC )
68 1cnd 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  CC )
69 0cnd 9606 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  e.  CC )
7067, 68, 69subaddd 9968 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  -  1 )  =  0  <->  ( 1  +  0 )  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) ) )
7160, 70mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( 1  +  0 )  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7254, 71syl5eqr 2512 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7353, 72syl5breq 4491 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  <  (
( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7473adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  <  (
( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
751, 2, 3, 4, 5, 7, 21, 52, 74ballotlemfc0 28606 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
761, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemimin 28619 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
7776ad2antrr 725 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
7875, 77condan 794 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    \ cdif 3468    i^i cin 3470   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   #chash 12407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12408
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