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Theorem ballotlemic 26894
Description: If the first vote is for B, the vote on the first tie is for A. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemic  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  C
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I   
k, c, E    i, I
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemic
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . 3  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . 3  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 eldifi 3483 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  O )
76ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  C  e.  O
)
8 ballotth.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
9 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10  |-  N  < 
M
10 ballotth.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
111, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemiex 26889 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1211simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
13 elfznn 11483 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  NN )
161, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemi1 26890 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  =/=  1
)
17 eluz2b3 10933 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( I `
 C )  e.  NN  /\  ( I `
 C )  =/=  1 ) )
1815, 16, 17sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
19 uz2m1nn 10934 . . . . 5  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2120adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  e.  NN )
22 elnnuz 10902 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2322biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
24 eluzfz1 11463 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2520, 23, 243syl 20 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2625adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )
27 1nn 10338 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  NN )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 28ballotlemfp1 26879 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  1  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  (
1  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
3029simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  1  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) ) )
3130imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) )
32 1m1e0 10395 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3332fveq2i 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  C ) `
 ( 1  -  1 ) )  =  ( ( F `  C ) `  0
)
3433oveq1i 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  -  1 )
3534a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  -  1 ) )
361, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 26883 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  O  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
376, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  0 )  =  0 )
3938oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  0 )  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
4031, 35, 393eqtrrd 2480 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( 0  -  1 )  =  ( ( F `  C ) `  1
) )
41 0le1 9868 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
42 0re 9391 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
43 1re 9390 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
44 suble0 9858 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 0  -  1 )  <_  0  <->  0  <_  1 ) )
4542, 43, 44mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  -  1 )  <_  0  <->  0  <_  1 )
4641, 45mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( 0  -  1 )  <_ 
0
4740, 46syl6eqbrr 4335 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  <_ 
0 )
4847adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) ` 
1 )  <_  0
)
49 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) ` 
1 ) )
5049breq1d 4307 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  1 )  <_ 
0 ) )
5150rspcev 3078 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  /\  ( ( F `  C ) `  1
)  <_  0 )  ->  E. i  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
5226, 48, 51syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  E. i  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
53 0lt1 9867 . . . . 5  |-  0  <  1
54 1p0e1 10439 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
551, 2, 3, 4, 5, 6, 14ballotlemfp1 26879 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  ( I `
 C )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( I `  C )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
5655simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  ( I `  C
)  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  -  1 ) ) )
5756imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  -  1 ) )
5811simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  0 )
5958adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  0 )
6057, 59eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  - 
1 )  =  0 )
616adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  C  e.  O
)
6214nnzd 10751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
64 1z 10681 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  ZZ )
6663, 65zsubcld 10757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  e.  ZZ )
671, 2, 3, 4, 5, 61, 66ballotlemfelz 26878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  ZZ )
6867zcnd 10753 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  CC )
69 ax-1cn 9345 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
7069a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  CC )
71 0cnd 9384 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  e.  CC )
7268, 70, 71subaddd 9742 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  -  1 )  =  0  <->  ( 1  +  0 )  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) ) )
7360, 72mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( 1  +  0 )  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7454, 73syl5eqr 2489 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7553, 74syl5breq 4332 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  <  (
( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7675adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  <  (
( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
771, 2, 3, 4, 5, 7, 21, 52, 76ballotlemfc0 26880 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
781, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemimin 26893 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
7978ad2antrr 725 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
8077, 79condan 792 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724    \ cdif 3330    i^i cin 3332   ~Pcpw 3865   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supcsup 7695   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   ...cfz 11442   #chash 12108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-hash 12109
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