Theorem ballotlemfrcn0OLD 29393

Description: Value of F for a reversed counting ( R ` C ), before the first tie, cannot be zero . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2017.) Obsolete version of ballotlemfrcn0 29355 as of 6-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotthOLD.m	|- M e. NN
ballotthOLD.n	|- N e. NN
ballotthOLD.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotthOLD.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotthOLD.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotthOLD.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotthOLD.mgtn	|- N < M
ballotthOLD.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
ballotthOLD.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotthOLD.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfrcn0OLD	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   C, i, k   i, c, F, k   i, E, k   k, I, c   E, c   i, I, c   k, J   S, k, i, c   R, i   i, J

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   R( x, k, c)   S( x)   E( x)   F( x)   I( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemfrcn0OLD

Dummy variables v u y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 10965	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 e. ZZ )
2		ballotthOLD.m	. . . . . . . 8 |- M e. NN
3		ballotthOLD.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
4		nnaddcl 10628	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
5	2, 3, 4	mp2an 677	. . . . . . 7 |- ( M + N ) e. NN
6	5	nnzi 10958	. . . . . 6 |- ( M + N ) e. ZZ
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
8		ballotthOLD.o	. . . . . . . . 9 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
9		ballotthOLD.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
10		ballotthOLD.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
11		ballotthOLD.e	. . . . . . . . 9 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
12		ballotthOLD.mgtn	. . . . . . . . 9 |- N < M
13		ballotthOLD.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
14		ballotthOLD.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
15	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotlemsdomOLD 29375	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
16		elfzelz 11797	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
18	17	3adant3 1027	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
19	18, 1	zsubcld 11042	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ )
20	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotlemsgt1OLD 29374	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 < ( ( S ` C ) ` J ) )
21		zltlem1 10986	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ ) -> ( 1 < ( ( S ` C ) ` J ) <-> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
22	21	biimpa 487	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ ) /\ 1 < ( ( S ` C ) ` J ) ) -> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
23	1, 18, 20, 22	syl21anc 1266	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
24	18	zred 11037	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. RR )
25		1red 9655	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 e. RR )
26	24, 25	resubcld 10044	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. RR )
27		simp1 1007	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> C e. ( O \ E ) )
28	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	ballotlemiexOLD 29365	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
29	28	simpld 461	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
30		elfzelz 11797	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
31	27, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
32	31	zred 11037	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. RR )
33	7	zred 11037	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. RR )
34		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> J e. ZZ )
35	34	3ad2ant2 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
36		elfzle1 11799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> 1 <_ J )
37	36	3ad2ant2 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 <_ J )
38	35	zred 11037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. RR )
39		simp3 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J < ( I ` C ) )
40	38, 32, 39	ltled 9780	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
41		elfz4 11790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
42	1, 31, 35, 37, 40, 41	syl32anc 1275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
43	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotlemsel1iOLD 29376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
44	27, 42, 43	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
45		elfzle2 11800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) )
47		zlem1lt 10985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) ) )
48	18, 31, 47	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) ) )
49	46, 48	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) )
50	26, 32, 49	ltled 9780	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <_ ( I ` C ) )
51		elfzle2 11800	. . . . . . 7 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
52	27, 29, 51	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
53	26, 32, 33, 50, 52	letrd 9789	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
54		elfz4 11790	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
55	1, 7, 19, 23, 53, 54	syl32anc 1275	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
56		fvex 5873	. . . . . . . . . 10 |- ( I ` C ) e. _V
57		ovex 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. _V
58	56, 57	brcnv 5016	. . . . . . . . 9 |- ( ( I ` C ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) )
59	49, 58	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
60	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	ballotlemiOLD 29364	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) = sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
61	60	breq1d 4411	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
62	61	3ad2ant1 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( I ` C ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
63	59, 62	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
64		gtso 9712	. . . . . . . . . 10 |- `' < Or RR
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> `' < Or RR )
66	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	ballotlemsupOLD 29368	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. z `' < w /\ A. w e. RR ( w `' < z -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } w `' < y ) ) )
67	65, 66	supub 7970	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
68	67	con2d 119	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) -> -. ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } ) )
69	27, 63, 68	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } )
70		fveq2 5863	. . . . . . . 8 |- ( k = ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
71	70	eqeq1d 2452	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
72	71	elrab 3195	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } <-> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
73	69, 72	sylnib 306	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
74		imnan 424	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) <-> -. ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
75	73, 74	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
76	55, 75	mpd 15	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 )
77	76	neqned 2630	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 )
78		ballotthOLD.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
79	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 78	ballotlemroOLD 29386	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. O )
80	79	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( R ` C ) e. O )
81		elfzelz 11797	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
82	81	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
83	2, 3, 8, 9, 10, 80, 82	ballotlemfelz 29316	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. ZZ )
84	83	zcnd 11038	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC )
85	84	negeq0d 9975	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 <-> -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 ) )
86		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) ) = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )
87	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 78, 86	ballotlemfrceqOLD 29392	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )
88	87	eqeq1d 2452	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 <-> -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 ) )
89	85, 88	bitr4d 260	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
90	89	necon3bid 2667	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 ) )
91	27, 42, 90	syl2anc 666	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 ) )
92	77, 91	mpbird 236	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   {crab 2740   \ cdif 3400   i^i cin 3402   ifcif 3880   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   Or wor 4753   `'ccnv 4832   "cima 4836   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   |-> cmpt2 6290   Fincfn 7566   supcsup 7951   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   -ucneg 9858   / cdiv 10266   NNcn 10606   ZZcz 10934   ...cfz 11781   #chash 12512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-hash 12513

This theorem is referenced by:  ballotlemircOLD  29395